TRI10: Trigonometrische Gleichungen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 10. Klasse

Mathe-Videos

In dieser Lektion schauen wir uns an, wie wir trigonometrische Gleichungen am Besten lösen können. Wir hatten bereits zuvor bei den Trigonometrischen Funktionen gesehen, wie wir die allgemeinen Funktionsgleichungen verändern können und damit den Verlauf der Graphen. Nun werden wir unter anderem die Nullstellen dieser Graphen berechnen.

Mathe-Video TRI10-1 Trigonometrische Gleichung - Einführung

Einführung zu Gleichungen und Lösungsmöglichkeiten (1 Lösung, mehrere Lösungen, keine Lösung). Was ist das Intervall und wie beeinflusst es die Lösungsmenge bei den Trigonometrischen Gleichungen. Wie ist die Lösung im Bogenmaß anzugeben.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • TRI10-2 Trigonometrische Gleichung - Zweite Lösung per Identität
    Die Gleichung sin(x)=0,5 hat 2 Lösungen im Intervall [0°, 360°]. Darstellung der 2. Lösung am Einheitskreis mittels Identität sin(x) = sin(180°-x). Wir lernen den Periodizitätssummand kennen. Lösung am Sinusgraphen, Umrechnung der Lösung ins Bogenmaß.
  • TRI10-3 Trigonometrische Gleichung - cos(x)=-0,5 und sin(2·x)=0,5 lösen
    Wir lösen die Gleichung cos(x)=-0,5. Darstellung am Einheitskreis. 2. Lösung mit Hilfe der Identität cos(x) = cos(-x). Periodizitätssummand bei Kosinus. Lösung der Aufgabe: sin(2·x)=0,5. Wie verändert der Faktor vor x die Lösung + Periode. Darstellung am Funktionsgraphen.
  • TRI10-4 Trigonometrische Gleichung - Nullstellen des Sinusgraphen
    Wir untersuchen sin(x), sin(2x), sin(x+10°), sin(x-90°) und sin(2·x-90°). Auswirkungen auf die Nullstelle des Sinusgraphen. Herleitung der allgemeinen Lösungsformel x = -c/b + k·180/b für alle Nullstellen von sin(b·x)+c = 0.
  • TRI10-5 Trigonometrische Gleichung - Lösen von Sinusgleichungen
    Nullstellen bei a·sin(b·x+c)+d=0. Lösung der Gleichung sin(2x+30°)-0,5=0. Berechnung der Periode und Ermittlung der 2. Nullstelle mittels Sinusidentität unter Berücksichtigung der veränderten Sinusgleichung.
  • TRI10-6 Trigonometrische Gleichung - Kosinus- und Tangensgleichungen
    Wir lösen Kosinusgleichung und Tangensgleichung. Berechnung der Aufgabe cos(2x-90°)+0,5=0. Ermittlung der 2. Lösung über Kosinusidentität. Aufgabe: 0,3·tan(1,5x-90°)+0,3=0. Periode bei Tangens mit 180°/b.
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Testet nach den Videos auch die Matheprogramme zu den Nullstellen trigonometrischer Funktionen.

Wissen zur Lektion

Einführung

Als nächstes wollen wir uns die trigonometrischen Gleichungen anschauen. Tasten wir uns an das Thema heran:

2·x = 4

Die Lösung der Gleichung ist x = 2, eine eindeutige Lösung.

2/x = 0

Hier hat x keine Lösung. Denn:

2/x = 0 | ·x
2 = 0·x
2 = 0

Der Wert für x ist nicht definiert.

x2 = 4

Lösung ist hier x1 = 2 und x2 = -2. Es gibt zwei Lösungen

Es gibt Gleichungen, bei denen wir mehrere Lösungen für x herausbekommen.

Bei den trigonometrischen Gleichungen erhalten wir unendlich viele Lösungen. Beispiel:

sin(x) = 1

Wenn wir an den Einheitskreis denken, erkennen wir sofort, dass x = 90° sein muss. Lösung mittels Arkussinus:

sin(x) = 1 | sin-1()
sin-1( sin(x) ) = sin-1(1)
x = 90°

Es scheint eine eindeutige Lösung zu sein, aber dies ist nicht unbedingt der Fall. Wir hatten gelernt, dass wir im Einheitskreis beliebig oft 360° vorwärts gehen oder rückwärts gehen können und damit den gleichen Sinuswert erhalten. Das heißt:

sin(90°+360°) = 1

oder

sin(90°-720°) = 1

Dies müssen wir bei unserer Lösung für sin(x)=1 berücksichtigen.

Es wäre nur ein Ergebnis mit x = 90°, wenn wir nur Winkel zwischen 0° und 360° betrachten. So eine Festlegung nennt man dann “Intervall” (lateinisch „Intervallum“ = Zwischenraum). Schreibweise: [0°, 360°]

Wenn wir jedoch das Intervall [0°, 720°] wählen, so haben wir zwei Ergebnisse: x1 = 90° und x2 = 90°+360° = 450°.

Wir merken uns: Mit der Festlegung des Intervalls erhalten wir die entsprechenden Lösungsmöglichkeiten für x.

Wenn wir kein Intervall haben, dann geht das Intervall geht von -unendlich bis unendlich: ]-∞, ∞[. Die Klammern werden hier umgedreht, da so gezeigt wird, dass das Element nicht enthalten ist. Da wir Unendlich nicht als Zahl erreichen können, kann Unendlich auch nicht im Intervall enthalten sein.

Mit diesem Intervall haben wir unendlich viele Lösungen. Wir könnten jetzt beliebig oft +360° bzw. -360° rechnen, der Sinuswert wäre stets der gleiche. Lösungen sind: …, -630°, -270°, 90°, 450°, 810°, 1170°, … Dies drücken wir mit einer Variablen wie folgt aus:

sin(x) = 1
x = 90° + k·360°

Dies ist die Lösungsgleichung, sie beschreibt uns die möglichen Werte für x.

Der Vollständigkeit halber die Angabe der Lösung in Bogenmaß:

x = 90° + k·360°
x = 0,5π + k·2π

Schauen wir uns den Funktionsgraphen von f(x) = sin(x) = y an und betrachten die Lösungen (wann ist y = 1):

~plot~ sin(x);1;x=0.5pi;x=-1.5pi ~plot~

Wir erkennen z. B. x1 = 0,5π = 90° und x2 = -1,5π = 270°

Wenn wir herauszoomen, sehen wir weitere mögliche Werte.

Intervall-Schreibweisen

Zur Information seien hier die wichtigsten Intervallschreibweisen notiert:

1. abgeschlossenes Intervall: [a, b] → Alle Werte von a bis b sind enthalten.

2. offenes Intervall: ]a, b[ → Alle Werte zwischen a und b sind enthalten. a und b sind nicht enthalten.

3. halboffenes Intervall - linksoffen: ]a, b] → Alle Werte zwischen a und b sind enthalten. a ist nicht enthalten.

4. halboffenes Intervall - rechtsoffen: [a, b[ → Alle Werte zwischen a und b sind enthalten. b ist nicht enthalten.

5. unbeschränktes Intervall: ]-∞, ∞[

Hier eine komplette Übersicht aller Intervalle:

Schreibweise

Alternativ

Mengenschreibweise

Bezeichnung

Darstellung am Zahlenstrahl

]a, b[

(a, b)

{x ∈ ℝ | a < x < b}

offen
(a und b exklusive)

Intervall offen

[a, b]

[a, b]

{x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}

geschlossen
(a und b enthalten)

Intervall geschlossen

[a, b[

[a, b)

{x ∈ ℝ | a ≤ x < b}

halboffen
rechtsoffen
(a enthalten)

Intervall halboffen rechts

]a, b]

(a, b]

{x ∈ ℝ | a < x ≤ b}

halboffen
linksoffen
(b enthalten)

Intervall halboffen links

]a, ∞[

(a, ∞)

{x ∈ ℝ | a < x}

offen
(a exklusive)

Intervall offen links

[a, ∞[

[a, ∞)

{x ∈ ℝ | a ≤ x}

geschlossen
(a enthalten)

Intervall offen rechts

]-∞, b[

(-∞, b)

{x ∈ ℝ | x < b}

offen
(b exklusive)

Intervall offen links

]-∞, b]

(-∞, b]

{x ∈ ℝ | x ≤ b}

geschlossen
(b enthalten)

Intervall geschlossen links

]-∞, ∞[

(-∞, ∞)

unbeschränkt
(alle reellen Zahlen)

Intervall unbeschränkt

Lösung von sin(x) = 0,5 per Identität

Versuchen wir also als nächstes folgende trigonometrische Gleichung zu lösen:

sin(x) = 0,5

Vorgehensweise: Zuerst der Blick zum Einheitskreis: Wann hat Sinus den Wert 0,5?

Einheitskreis mit Winkeln 30 Grad und 150 Grad

y = 0,5 wird erreicht bei 30° sowie bei 150°. Dass das der gleiche Wert ist, hatten wir schon bei den Identitäten (Programm „Identitäten für Sinus und Kosinus“) gesehen, mit denen wir auf Winkel mit gleichen Sinuswerten kommen.

Berechnen wir nun die Werte für x, statt sie abzulesen.

sin(x) = 0,5
sin(x) = 0,5 | sin-1()
sin-1( sin(x) ) = sin-1(0,5)
x1 = 30°

Nun nehmen wir die folgende Identität zu Hilfe und formen sie mit Hilfe vom Arkussinus um, sodass wir die zweite Lösung erhalten:

sin(x) = sin(180°-x)
sin(x) = 0,5
sin(180°-x) = 0,5 | sin-1()
180°-x = sin(-1)(0,5)
180°-x = 30° | -180°
-x = -150° | ·(-1)
x2 = 150°

Lösung im beschränkten Intervall

Die Lösung beschreibt sich also mit:

Gleichung: sin(x) = 0,5

Lösung: x1 = 30°, x2 = 150°, im Intervall [0°, 360°]

Lösung mit unbeschränktem Intervall

Bei einem unbeschränkten Intervall ]-∞, ∞[ müssen wir unsere Lösungen wie folgt ergänzen:

x1 = 30° + k · 360°

x2 = 150° + k · 360°

Den Term k · 360° (die Variable k muss eine ganze Zahl sein) nennt man „Periodizitätssummand“. Summand, weil wir ihn auf die Lösung addieren und er aus der Periode des Kreises bzw. der Sinusschwingung entsteht.

Die Lösungen können wir uns nun im Koordinatensystem betrachten:

Sinusgraph und Nullstellen

Mit Einteilung als Bogenmaß würden wir folgende Lösungen haben inklusive Graphen:

x1 = 30° + k · 360°
x1 = 30°/180° π + k · 360°/180° π
x1 = 1/6 π + k · 2π

x2 = 150° + k · 360°
x2 = 150°/180° π + k · 360°/180° π
x2 = 5/6 π + k · 2π

Sinusgraph und Nullstellen im Bogenmaß

Lösen der trigonometrischen Gleichungen: cos(x) = -0,5

Lösen wir eine Kosinusgleichung:

cos(x) = -0,5

Wir wollen den Winkel finden, der den Kosinuswert -0,5 hat. Schauen wir zuerst wieder am Einheitskreis:

Einheitskreis mit Kosinus

Auf der x-Achse des Einheitskreises ist links x = -0,5 zu finden, dies ist beim Winkel 120° der Fall. Verwenden wir den Arcuskosinus, um dies zu berechnen:

cos(x) = -0,5 | cos-1
cos-1(cos(x)) = cos-1(-0,5)
x1 = 120°

Fragt sich, ob es noch weitere Werte als Lösungen gibt. Hierfür müssen wir das Intervall kennen. Für das Intervall 0° bis 360° lohnt ein Blick auf den Einheitskreis:

Einheitskreis mit Kosinus und Identität

Mit der Identität cos(x) = cos(-x) errechnen wir den zweiten Winkel.

cos(x) = cos(-x)
cos(120°) = cos(-120°) = 0,5

Jetzt wissen wir, dass diese Identität gilt: cos(x) = cos(360° + x) und wir setzen ein:

cos(x) = cos(360° + x) | x = -120°
cos(-120°) = cos(360° - 120°) = cos(240°)
x2 = 240°

Es gibt mehrere Wege, um auf diesen Wert zu kommen, je nachdem, welche Identitäten wir zur Hilfe nehmen.

Lösung: Im Intervall [0°, 360°] haben wir zwei Lösungen: x1 = 120° und x2 = 240°

Lösung im unbeschränkten Interval

Liegt keine Einschränkung des Intervalls vor, dann müssen wir den Periodizitätssummanden heraufaddieren:

cos(x) = -0,5
x1 = 120° + k·360°
x2 = 240° + k·360°

Lösen der trigonometrischen Gleichungen: sin(2·x) = 0,5

Wenn wir einen Faktor bei unserem x haben, so gehen wir wie folgt vor:

sin(2·x) = 0,5 | sin-1
sin-1( sin(2·x) ) = sin-1(0,5)
2·x = 30° | :2
x = 15°

In Bogenmaß: x = 15°/180° · π = 1/6 · π ≈ 0,5236

Der Sinusgraph sieht dann wie folgt aus:

~plot~ sin(2x);x=0.167*pi;0.5;zoom ~plot~

Vergleichen wir die Graphen f(x) = sin(x) mit g(x) = sin(2x):

~plot~ sin(x);sin(2x) ~plot~

Wir sehen, die Periode ist bei sin(2x) nur noch 180°. Wenn wir ein unbeschränktes Intervall haben, dann müssen wir die Lösung wie folgt festhalten:

x1 = 15° + k · 180°

Der Periodizitätssummand ergibt sich also, indem wir bei sin(b·x) das b nehmen und Periode p = 360°/b rechnen.

Die Periode bei sin(2·x) ist also: p = 360°/2 = 180°

Nullstellen des Sinusgraphen berechnen

Bei sin(x + c) bestimmt das c die Verschiebung des Sinusgraphen nach links bzw. rechts. Beispiel: Bei sin(x + 45°) verschieben wir den Graphen um -45°, also nach links.

~plot~ sin(x);sin(x+45/180*pi) ~plot~

Damit verschieben sich auch alle Nullstellen, zum Beispiel x1 = 0 wird zu x1 = -45°.

Wenn wir jetzt noch einen Faktor an das x schreiben, zum Beispiel 2, verändern wir die Periode und unseren Graphen:

~plot~ sin(x+45/180*pi);sin(2x+45/180*pi) ~plot~

Die Nullstelle bei x1 = -45° wandert nun zu x1 = -45°/2 = -22,5°, da die Schwingung doppelt so schnell erfolgt.

Umstellen der allgemeinen Gleichung zum Bestimmen von Nullstellen:

sin(b·x + c) = 0 | sin-1
b·x + c = sin-1(0)
b·x + c = 0 | -c
b·x = -c | :b
x = -c/b

sin(b·x + c) = 0 → Lösung via: x = -c/b

An dieser Stelle zur Erinnerung:

Sinusgleichung mit allen Parametern

Lösung zur Sinusgleichung sin(3·x - 90°)

Haben wir zum Beispiel sin(3·x - 90°) wissen wir, dass die Nullstelle bei 30° liegen wird. Die -90° verschiebt den Graphen um 90°, also nach rechts. Da aber der Faktor 3 beim x steht (Stauchung des Graphen in Richtung x-Achse), müssen wir die Schwingung “verschnellern”, also ist diese Nullstelle bei x = 90°/3 = 30°. Als Bogenmaß für die Zeichnung: x = 30° = 30°/180° · π ≈ 0,5236

~plot~ sin(3x-90/180*pi);x=30/180*pi;zoom ~plot~

Die Periode ist jetzt p = 360°/3 = 120°, das heißt die Lösung beim unbeschränkten Intervall:

x = 30° + k·120°

Wir kommen also auf weitere Nullstellen, wenn k=1, dann x=150°, wenn k=2, dann x=270° usw.

~plot~ sin(3x-90/180*pi);x=30/180*pi;x=150/180*pi;x=270/180*pi; ~plot~

Fassen wir bisher allgemein zusammen:

Gleichung: sin(b·x + c) = 0

Erste Nullstelle: x1 = - c/b

Allgemeine Lösungsformel: x = - c/b + k · 180°/b

Periode: T = 360°/b

Solange der Sinusgraph nicht nach oben oder unten verschoben wird, können wir diese Formeln verwenden. Bei einer Verschiebung müssen wir den Wert jedoch berücksichtigen, wie wir im Folgenden sehen.

Lösen von Sinusgleichungen der Form sin(b·x + c) + d = 0

Betrachten wir uns die Nullstellen und halten fest, dass wir die Nullstellen nicht verändern, wenn wir den Graphen strecken oder stauchen:

~plot~ sin(x);2sin(x);5sin(x) ~plot~

Addieren wir jedoch einen Wert d herauf, so ändern sich alle Nullstellen:

~plot~ sin(x)+0.5;2sin(x)+0.5;5sin(x)+0.5;0.5 ~plot~

Jede Nullstelle bzw. jeder Punkt der Nullstellen verschiebt sich um 0,5 nach oben.

Lösungsformel für Nullstellen von sin(b·x + c) + d = 0

Unter Berücksichtigung von d lässt sich folgende allgemeine Lösungsformel für Nullstellen herleiten:

sin(b·x + c) + d = 0 | -d
sin(b·x + c) = -d | sin-1
b·x + c = sin-1(-d)
b·x + c = sin-1(-d) | -c
b·x = sin-1(-d) - c | :b
x = (sin-1(-d) - c) / b

Berechnen wir noch eine Beispielaufgabe, um sicherer zu werden:

sin(2·x+30°) - 0,5 = 0

Lösungsformel:
x = (sin-1(-d) - c) / b

x = (sin-1(-(-0,5)) - 30°) / 2
x = (sin-1(0,5) - 30°) / 2
x = (30° - 30°) / 2
x = 0° / 2
x = 0°

Überprüfen wir die Lösung x = 0° graphisch:

~plot~ sin(2x+30/180*pi)-0,5;x=0 ~plot~

Wir sehen die Nullstelle bei 0°.

Wenn wir die Lösungen im Falle eines unbeschränkten Intervalls benötigen, so müssen wir noch die Periode bestimmen.

Periode T = 360°/ b
Periode T = 360°/ 2 = 180°

Periode in Bogenmaß T = 180°/180° · π = 1· π ≈ 3,1416

Die Nullstellenformel lautet damit:

x1 = 0° + k·180°

Zeichnen wir den Graphen und schauen, ob wir die Nullstelle wiederfinden:

Sinusgraph mit Nullstellen

Die erste Nullstelle ist bei x = 0°, eine weitere bei 180°. Doch es gibt noch eine zweite Nullstelle bei 60°, wie rechnen wir diese aus? Hierzu nutzen wir erneut die Identitäten:

sin(x) = sin(180° - x)

Jedoch ist unser Term nicht x, sondern vielmehr 2x+30°. Dieses müssen wir nun für die Identitätsformel einsetzen:

sin(2x+30°) = sin(180° - (2x+30°))

Formen wir das um:

sin(2x+30°) = sin(180° - 2x - 30°)
sin(2x+30°) = sin(150° - 2x)

Und setzen wir nun die Nullstelle x1 = 0 ein.

sin(2x+30°) = sin(150° - 2x) | x = 0
sin(2·0+30°) = sin(150° - 2·0)
sin(30°) = sin(150°)

Nun müssen wir den x-Wert bestimmen, der zu 150° führt.

sin(2x+30°) = sin(150°)
2x+30° = 150° | -30°
2·x = 120° | :2
x = 60°

Die zweite Nullstelle liegt also bei 60°. Auch hier legen wir den Periodensummanden fest:

Periode T = 360°/ b
Periode T = 360°/ 2 = 180°

x2 = 60° + k·180°

Die Lösungen für die Nullstellen zusammengefasst:

x1 = 0° + k·180°

x2 = 60° + k·180°

Tipp: Verwendet das Programm “Nullstellen bei Sinusfunktionen bestimmen” (unten), um eure Lösungen bei verschiedenen Aufgaben auf Richtigkeit zu überprüfen.

Sinusgleichung ohne Lösung

Falls es kein Ergebnis für die Nullstellen gibt (Wert ist nicht definiert), so gibt es keine Nullstellen. Dies tritt auf, wenn der Graph die x-Achse nicht berührt. Beispiel:

~plot~ sin(2x+pi)-2;sin(x)+3 ~plot~

Nun sind wir in der Lage, allgemeine Sinusgleichungen zu berechnen. Schauen wir, ob wir Gleichungen mit Kosinus und Tangens genauso lösen können.

Kosinus- und Tangensgleichungen

Wie bei der allgemeinen Sinusgleichung können wir auch die allgemeine Kosinusgleichung aufstellen:

a·cos(b·x + c) + d = 0

Das a ignorieren wir wieder, da wir es durch die Division eliminieren können.

Bilden wir die allgemeine Lösungsformel, um die Nullstelle x zu bestimmen:

cos(b·x + c) + d = 0 | -d
cos(b·x + c) = -d | cos-1
b·x + c = cos-1(-d)
b·x + c = cos-1(-d) | -c
b·x = cos-1(-d) - c | :b
x = (cos-1(-d) - c) / b

Das Prinzip ist das gleiche wie bei der Sinusgleichung.

Lösen der Beispielaufgabe 1·cos(2·x-90°) + 0,5

Berechnen wir im Folgenden eine Beispielaufgabe:

1·cos(2·x-90°) + 0,5

Anwendung der Lösungsformel für Nullstellen:

x = (cos-1(-d) - c) / b
x = (cos-1(-0,5) - (-90°)) / 2
x = (120° + 90°) / 2
x1 = 105°

Weitere Nullstelle mit Identität bestimmen:

Identität: cos(x) = cos(-x)

Nun haben wir nicht nur x, sondern 2·x-90°:

cos(2·x-90°) = cos(-(2·x-90°))
cos(2·x-90°) = cos(-2·x + 90°) | x1 = 105°
cos(2·105° - 90°) = cos(-2·105° + 90°)
cos(120°) = cos(-120°)

Um auf x = -120° zu kommen, rechnen wir:

cos(2·x-90°) = cos(-120°)
2·x-90° = -120° | +90°
2·x = -30° | :2
x2 = -15°

Kosinusgraph mit allen Parametern

Die zweite Nullstelle ist bei x = -15°.

Die Periode ist T = 360° / 2 = 180°, Perioditätssummand damit k·180°. Das heißt wir rechnen auf -15° die 180° herauf und kommen auf 165°. Eine weitere Nullstelle. Allgemein notieren wir die Lösung also als:

x1 = 105° + k·180°

x2 = -15° + k·180° bzw.
x2 = 165° + k·180° (hier haben wir auf die -15° + 180° heraufaddiert)

Tangensgleichung lösen

Die allgemeine Tangensgleichung lautet:

a·tan(b·x + c) + d = 0

Wir wollen die Nullstellen ermitteln, tun wir das an einem Beispiel:

f(x) = 0,3·tan(1,5·x - 90°) + 0,3

Zuerst schauen wir uns den Graphen an:

~plot~ 0.3*tan(1.5*x-90/180*pi)+0*3;zoom ~plot~

Tangensgraph mit allen Parametern

Wir erkennen die ersten beiden Nullstellen bei 30° und 150°. Berechnen wir diese statt sie nur abzulesen:

0,3·tan(1,5·x - 90°) + 0,3 = 0 | -0,3
0,3·tan(1,5·x - 90°) = -0,3 | :0,3
tan(1,5·x - 90°) = -1 | tan-1
1,5·x - 90° = tan-1(-1)
1,5·x - 90° = -45° | +90°
1,5·x = 45° | :1,5
x1 = 30°

Die Periode bei tan(x) geht von 0° bis 180. Bei dem Beispiel haben wir jedoch b=1,5, damit ergibt sich eine Periode von T = 180° / 1,5 = 120°.

Nun können wir rechnen:

x2 = x1 + T | x1 = 30°, T = 120°
x2 = 30° + 120°
x2 = 150°

Ohne Einschränkung des Intervalls müssen wir noch den Periodizitätssummanden einbringen:

x1 = 30° + k·120°

x2 = 150° + k·120°

Wir können beide Ergebnisse zusammenfassen, denn x2 ergit sich aus der Formel mit x1, wenn wir k = 1 einsetzen (x1 = 30° + 1·120° = 150°). Wir laufen alle Nullstellen mit der +k·120° ab, die Lösung für alle Nullstellen lautet also:

x = 30° + k·120°

Jetzt wissen wir, wie man Sinusgleichungen, Kosinusgleichungen und Tangensgleichungen lösen kann.

Es gibt auch Gleichungen, die weitaus schwieriger sind, wie zum Beispiel sin(x)·cos(20°)+cos(x)·sin(20°) = 1. Für Lösungen solcher Gleichungen benötigen wir die sogenannten Additionstheoreme, die wir uns in der nächsten Lektion ansehen.

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  • Sinusfunktion Nullstellen
    Sinusfunktion Nullstellen
    Dieses Programm berechnet uns die Nullstellen der allgemeinen Sinusfunktion a*sin(b*x+c)+d und zeigt sie im Koordinatensystem an. Verändert ihr die Werte, verändert sich der Graph.
  • Kosinusfunktion Nullstellen
    Kosinusfunktion Nullstellen
    Dieses Programm berechnet uns die Nullstellen der allgemeinen Kosinusfunktion a*cos(b*x+c)+d und zeigt sie im Koordinatensystem an.
  • Tangensfunktion Nullstellen
    Tangensfunktion Nullstellen
    Dieses Programm berechnet uns die Nullstellen der allgemeinen Tangensfunktion a*tan(b*x+c)+d und zeigt sie im Koordinatensystem an.
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Tags: Trigonometrie, Trigonometrische Gleichungen, Periodizität, Periode und Periodizitätssummand, Nullstellen berechnen, Einheitskreis und Funktionsgraph, Sinus Kosinus und Tangens

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