VEK04: Vektorsubtraktion

Inhalte:

Laut Lehrplan: 7. - 8. Klasse

Mathe-Videos

Nachdem wir die Vektoraddition kennengelernt haben, folgt nun ihre "Umkehrung", die Vektorsubtraktion. Hierzu nutzen wir den sogenannten Gegenvektor. Für die Dreiecksaufgabe in Teil 2 ist es notwendig, dass ihr wisst, wie man die Vektorlänge berechnet.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • Vektorsubtraktion mit dem Gegenvektor. Vektor a - Vektor b als Vektor a + Gegenvektor b. Geometrische Deutung der Subtraktion bei Ortsvektoren. Reihenfolge der Subtraktion entscheidet über die Richtung des resultierenden Vektors. Subtraktion von Verschiebungsvektoren.
  • Die gegebenen Dreieckspunkte werden als Ortsvektoren interpretiert, danach subtrahieren wir die Ortsvektoren, um die Vektoren zwischen ihnen zu erschaffen. Anschließend erhalten wir mittels der Vektorlängen den Dreiecksumfang. Rechnerisch und geometrische Darstellung.
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Wissen zur Lektion

Nachdem wir uns die Vektoraddition angeschaut haben, wenden wir uns der Subtraktion von Vektoren zu. Diese lehnt sich stark an die Addition an - man führt sie sogar auf diese zurück. Um eine Subtraktion in eine Addition umzuwandeln, wissen wir, dass wir schreiben können a - b = a + (-b). Genauso machen wir das bei den Vektoren. Es gilt die gleiche Regel: a - b = a + (-b). Das - b ist dabei der Gegenvektor zu b. Gegenvektor bedeutet also nichts anderes, als dass der gleiche Vektor vorliegt, dieser jedoch ein anderes Vorzeichen trägt, was in der Umkehrung der Richtung resultiert.

$$ \vec v = \begin{pmatrix} -3\\2 \end{pmatrix} $$

$$ -\vec v = -\begin{pmatrix} -3\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\-2 \end{pmatrix} $$

Betrachten wir eine Graphik, um uns das zu veranschaulichen. Zur Erinnerung: Vektoren kann man einzeichnen, wo man will, wichtig sind nur Länge und Richtung. Die beiden abgebildeten Vektoren sind also abgesehen von der Richtung identisch, auch wenn sie nicht aufeinanderliegen.

Vektor und Gegenvektor

Mit Hilfe des Gegenvektors können wir die Subtraktion nun wie eine Addition behandeln.

Vorgehen bei einer Subtraktion:

1. Bestimmen des Gegenvektors des Subtrahenden

2. Resultierender Vektor = Minuend + Gegenvektor des Subtrahenden

1. Bestimmen des Gegenvektors des Subtrahenden

Gegenvektor bestimmen

2. Resultierender Vektor = Minuend + Gegenvektor des Subtrahenden

Resultierender Vektor

Hinweis zum Nullvektor: Am Ende des zweiten Videos erwähnen wir kurz den Nullvektor, der definiert sein muss, damit wir ein Ergebnis erhalten, wenn wir einen Vektor mit sich selbst subtrahieren. Also als Vektoren: a - a = o

Mathe-Programme zu Vektoren

Nachstehend die Programme zur Vektorsubtraktion aus den Videos:

  • Gegenvektor
    Gegenvektor
    Wird ein Vektor gedreht, sodass er in die entgegengesetzte Richtung zeigt, nennen wir ihn Gegenvektor. Seine Komponenten sind im Vorzeichen getauscht. Er hat jedoch die gleiche Länge.
  • Vektorsubtraktion: Ortsvektoren
    Vektorsubtraktion: Ortsvektoren
    Dieses Programm stellt die Vektorsubtraktion geometrisch dar, mit Verschiebung des Vektors b als Gegenvektor auf den Vektor a.
  • Vektorsubtraktion bei Dreiecksaufgabe
    Vektorsubtraktion bei Dreiecksaufgabe
    Drei Punkte sind gegeben, die wir zu Ortsvektoren wandeln können. Subtrahieren wir die Ortsvektoren, so erhalten wir die Vektoren zwischen ihnen.
  • Vektorsubtraktion: Verbindungsvektoren
    Vektorsubtraktion: Verbindungsvektoren
    Mit diesem Programm können Vektoren auf der Ebene beliebig verschoben werden. Beim korrekten Anordnen der Vektoren als Gegenvektoren ergibt sich der resultierende Vektor.
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Tags: einfache Vektorrechnung für Schüler
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