Kettenregel (Ableitung)

Kettenregel

$$ f(x) = g(h(x)) → f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$

Die Kettenregel erlaubt unter anderem das Ableiten von Klammern oder komplizierteren Exponenten. Schauen wir uns zwei Beispiele an.

Beispiel 1

f(x) = (4x² + 2)²

Wir haben nun die sogenannte “äußere” Funktion mit der Klammer, und die “innere” Funktion, der Klammerinhalt.

f(x) = g(h(x)) → g(h(x)) = h(x)² und h(x) = (4x² + 2)

g’(h(x)) = 2·h(x) und h’(x) = 8x

f’(x) = g’(h(x)) · h’(x) = 2·h(x) · 8x = 2·(4x²+2) · 8x = 16x·(4x²+2)

Es sieht komplizierter aus als es ist und bedarf nur etwas Übung. Der Übung wegen direkt ein weiteres Beispiel.

Beispiel 2

f(x) = sin(3x² + 2x)

Auch hier haben wir wieder eine äußere und eine innere Funktion. Diese müssen wir identifizieren, um sie wie in Beispiel 1 zuordnen zu können.

f(x) = g(h(x)) → g(h(x)) = sin(h(x)) und h(x) = 3x² + 2x

g’(h(x)) = cos(h(x)) und h’(x) = 6x + 2

f’(x) = g’(h(x)) · h’(x) = cos(h(x)) · (6x + 2) = cos(3x² + 2x) · (6x + 2)

Abschlussbemerkung

Hier wurde euch ein kleiner Einblick in die Differentialrechnung gewährt. Ihr könnt nun losstarten und euch der ersten Ableitungen annehmen. Es ist dabei essentiell, dass die Regeln verstanden und angewendet werden können, was sich nur über Übung erreichen lässt. Viel Spaß!

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