Beispielaufgaben zu Additionstheoremen

Beispielaufgaben zu Additionstheoremen

Aufgabe: Berechne sin(x) · cos(20°) + cos(x) · sin(20°) = 0

Die erste Aufgabe soll lauten:

sin(x) · cos(20°) + cos(x) · sin(20°) = 0 für das Intervall [-90°, 90°]

Hier müssen wir erkennen, dass sich ein Additionstheorem dahinter verbirgt, und zwar:

sin(α) · cos(ß) + cos(α) · sin(ß) = sin(α + ß)

Mit den Werten der Aufgabe:

sin(x) · cos(20°) + cos(x) · sin(20°) = sin(x + 20°)

Wir dürfen also schreiben:

sin(x + 20°) = 0

Und dies können wir einfach lösen:

sin(x + 20°) = 0 | sin-1

x + 20° = sin-1(0)

x + 20° = 0° | - 20°

x = -20°

Aufgabe: sin(180° - x) = sin(x) nachweisen

Dies ist eine Identität, die wir nun nachweisen wollen. Hierzu nutzen wir das Additionstheorem für Sinus:

sin(α ± ß) = sin(α) · cos(ß) ± cos(α) · sin(ß)

Und setzen beide Werte aus der Aufgabe ein:

sin(α - ß) = sin(α) · cos(ß) - cos(α) · sin(ß) | a = 180°, ß = x

sin(180° - x) = sin(180°) · cos(x) - cos(180°) · sin(x)

sin(180° - x) = 0 · cos(x) - (-1) · sin(x)

sin(180° - x) = sin(x)

Richtig. Wir haben die Identität mit dem Additionstheorem nachgewiesen.

Aufgabe: Berechne 2·cos(α) - 1 / cos(α) = 0

Berechnen wir diese Aufgabe für das Intervall [0°, 90°]. Formen wir die Gleichung um, sodass wir eine Doppelwinkelfunktion erhalten:

2·cos(α) - 1 / cos(α) = 0

Die Doppelwinkelfunktion lautet: cos(2·α) = 2 · cos2(α) - 1, das heißt wir können in der Gleichung ein cos2(α) erzeugen:

2·cos(α) - 1 / cos(α) = 0 | · cos(α)

2·cos(α)·cos(α) - cos(α) · 1 / cos(α) = 0

2·cos2(α) - 1 = 0

Den Linksterm können wir nun mit Hilfe der Doppelwinkelfunktion ersetzen:

2·cos2(α) - 1 = 0

cos(2·α) = 0   | cos-1

2·a = cos-1(0)

2·a = 90°   | :2

a = 45°

Fertig, dies ist die Lösung unserer Aufgabe.

Aufgabe: Drücke tan(α) + tan(ß) = 0 mit Sinus aus

Der erste Schritt bei dieser Aufgabe ist das Umwandeln des Tangens. Dieser lässt sich bekanntlich darstellen als Sinus/Kosinus:

tan(α) + tan(ß) = 0

tan(α) + tan(ß) = 0

sin(α)/cos(α) + sin(ß)/cos(ß) = 0

Entfernen wir als nächstes den Kosinus aus den Nennern der Brüche:

sin(α)/cos(α) + sin(ß)/cos(ß) = 0   | · cos(α)

sin(α) + cos(α) · sin(ß)/cos(ß) = 0   | · cos(ß)

sin(α) · cos(ß) + cos(α) · sin(ß) = 0

Der Linksterm ist das Additionstheorem für Sinus, das heißt, wir können ihn ersetzen mit:

sin(α + ß) = 0

Die Gleichung tan(α) + tan(ß) = 0 kann also nur mit Sinus ausgedrückt werden als sin(α + ß) = 0.

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