Additionstheorems Kosinus

Herleitung des Additionstheorems für Kosinus

Als nächstes wollen wir klären, welches Additionstheorem für cos(α + ß) gilt. Nehmen wir uns zuerst eine Grafik vom Einheitskreis und zeichnen beide Winkel mit Dreiecken ein:

Additionstheorem Kosinus Schritt 01

Zeichnen wir nun Hilfslinien ein, durch die zwei neue Dreiecke entstehen:

Additionstheorem Kosinus Schritt 02

Wir sehen, dass sich der Kosinus vom Gesamtwinkel, also cos(α +ß), ergibt aus x1 - x2.

Additionstheorem Kosinus Schritt 03

Wir müssen also berechnen: cos(α +ß) = x1 - x2.

Additionstheorem Kosinus Schritt 02

Die Strecke x1 erhalten wir mit:

cos(α) = Ankathete / Hypotenuse

cos(α) = x1 / cos(ß)   | ·cos(ß)

x1 = cos(α) · cos(ß)

Die Strecke x2 erhalten wir mit:

sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse

sin(α) = x2 / sin(ß)

x2 = sin(α) · sin(ß)

Damit können wir also das Additionstheorem für Kosinus aufstellen:

cos(α + ß) = x1 - x2

cos(α + ß) = cos(α) · cos(ß) - sin(α) · sin(ß)

Auf diese Art und Weise können wir die Kosinuswerte beliebiger Winkel bestimmen, die sich aus zwei Winkeln ergeben.

Additionstheorem für cos(α - ß)

Bei der Herleitung dieses Kosinus-Additionstheorems gehen wir genauso vor wie zuvor. Wir setzen zuerst (-ß) ein:

cos(α + ß) = cos(α) · cos(ß) - sin(α) · sin(ß)

cos(α + (-ß)) = cos(α) · cos(-ß) - sin(α) · sin(-ß)

Nun müssen wir die negativen Vorzeichen bei -ß wegbekommen. Nutzen wir die Identität cos(x) = cos(-x):

cos(α + (-ß)) = cos(α) · cos(-ß) - sin(α) · sin(-ß)

cos(α + (-ß)) = cos(α) · cos(ß) - sin(α) · sin(-ß)

Und als nächstes sin(x) = -sin(-x), damit:

cos(α + (-ß)) = cos(α) · cos(ß) - sin(α) · (-sin(ß))

Das negative Vorzeichen brücksichtigt in der Addition bzw. Subtraktion und wir erhalten:

cos(α - ß) = cos(α) · cos(ß) + sin(α) · sin(ß)

Jetzt können wir die beiden Additionstheoreme für Kosinus zusammenfassen:

1. cos(α + ß) = cos(α) · cos(ß) - sin(α) · sin(ß)

2. cos(α - ß) = cos(α) · cos(ß) + sin(α) · sin(ß)

Zusammengefasst mit Plus-Minus:

cos(α ± ß) = cos(α) · cos(ß) ± sin(α) · sin(ß)

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