Übersicht aller Additionstheoreme

Additionstheoreme für Sinus

sin(α + β) = sin(α)·cos(β) + cos(α)·sin(β)

sin(α - β) = sin(α)·cos(β) - cos(α)·sin(β)

Additionstheoreme für Kosinus

cos(α + β) = cos(α)·cos(β) – sin(α)·sin(β)

cos(α - β) = cos(α)·cos(β) + sin(α)·sin(β)

Additionstheoreme für Tangens

$$ \tan(\alpha+\beta) = \frac { \tan(\alpha)+\tan(\beta) }{ 1-\tan(\alpha)·\tan(\beta) } \\ \tan(\alpha-\beta) = \frac { \tan(\alpha)-\tan(\beta) }{ 1+\tan(\alpha)·\tan(\beta) } $$

Doppelwinkelfunktionen Sinus, Kosinus, Tangens

$$ \sin(2·\alpha) = 2·\sin(\alpha)·\cos(\alpha) \\ \sin(2·\alpha) = 2·\sin(\alpha)·\sqrt{1-\sin^2(\alpha)} \\ \cos(2·\alpha) = 2·\cos^2(\alpha)-1 \\ \cos(2·\alpha) = \cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha) \\ \tan(2·\alpha) = \frac { 2·\tan(\alpha) }{ 1-\tan^2(\alpha) } $$

Additionstheoreme für Kotangens

Kotangens lernen wir jedoch erst in der nächsten Lektion kennen.

$$ \cot(\alpha+\beta) = \frac { \cot(\alpha) \cdot \cot(\beta) - 1 }{ \cot(\alpha) + \cot(\beta) } \\ \cot(\alpha-\beta) = \frac { \cot(\alpha) \cdot \cot(\beta) + 1 }{ \cot(\alpha) - \cot(\beta) } $$

Doppelwinkfunktion für Kotangens

$$ \cot(2 \cdot \alpha) = \frac { \cot^2(\alpha) - 1 }{ 2 \cdot \cot(\alpha) } $$

Vielfache und Potenzen

Der Vollständigkeit halber hier ein paar weitere hilfreiche Additionstheoreme.

$$ \sin(3 \cdot \alpha) = 3 \cdot \sin(\alpha) - 4 \cdot \sin^3(\alpha) $$ $$ \cos(3 \cdot \alpha) = 4 \cdot \cos^3(\alpha) - 3 \cdot \cos(\alpha) $$ $$ \sin(4 \cdot \alpha) = 8 \cdot \sin(\alpha) \cdot cos^3(\alpha) - 4 \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) $$ $$ \cos(4 \cdot \alpha) = 8 \cdot \cos^4(\alpha) - 8 \cdot \cos^2(\alpha) + 1 $$ $$ \sin^2(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos(2·\alpha)) $$ $$ \cos^2(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos(2·\alpha)) $$ $$ \sin^3(\alpha) = \frac{1}{4} \cdot (3 \cdot \sin(\alpha) - \sin(3·\alpha)) $$ $$ \cos^3(\alpha) = \frac{1}{4} \cdot (3 \cdot \cos(\alpha) + \cos(3·\alpha)) $$

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