Wissen: Differenzialrechnung

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Begriff der Infinitesimalrechnung

Die Infinitesimalrechnung (infinitus = unendlich) ist die zusammenfassende Bezeichnung der Differenzial- und der Integralrechnung. Der Name sagt, dass mit unendlich kleinen Größen gerechnet wird, die zunächst als wirklich vorhandene, unteilbare Bestandteile des Kontinuums gedacht wurden. Die Flächen- und Körperberechnungen von Archimedes, Kepler, Pascal und anderen bedeuteten schon die Anfänge der Infinitesimalrechnung, waren aber bis ins 19. Jahrhundert mit vielen Unklarheiten behaftet, die erst durch die Einführung des Grenzwert-Begriffs geklärt werden konnten.

Einführung Differenzialrechnung

In der Mathematik ist die Differentialrechnung eine der zwei Hauptgebiete der Analysis. Sie untersucht das Verhalten von mathematischen Funktionen bzw. deren Kurven oder Oberflächen. Begriffe wie Steigung oder Krümmung werden definiert.

Erfunden wurde die Differentialrechnung (unabhängig von einander) von Isaac NEWTON und Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, die von unterschiedlichen Problemstellungen ausgingen.

Leibniz ging von einem geometrischen Problem aus, dem Tangentenproblem: Er wollte eine Gerade an eine Kurve legen, die diese in einer kleinen Umgebung möglichst gut annähert.

Newtons Ansatzpunkt war das physikalische Problem der Momentangeschwindigkeit: Es soll zu einer ungleichförmigen Bewegung zu einem gegebenen Zeitpunkt eine gleichförmige Bewegung gefunden werden, die sie in einem kleinen Zeitintervall möglichst gut annähert.

Beide Problemstellungen lassen sich zurückführen auf das Suchen der Steigung der Tangente in einem bestimmten Punkt einer stetigen Funktion.

Herleitung von Differenziationsregeln

Die Differentiation ist eine Rechenvorschrift zur Ermittlung von Gradienten (Steigungen) von Funktionen an einer vorgegebenen Stelle ihres Definitionsbereiches.

Die Steigung einer Funktion ist durch den Quotienten einer Differenz von Funktionswerten zu einer Differenz der zu diesen Funktionswerten gehörenden Werten des Definitionsbereiches gegeben. Dabei wird die Steigung als Tangens des Steigungswinkels dargestellt:

\( \tan \alpha = \frac{ {f\left( { {x_2} } \right) - f\left( { {x_1} } \right)} }{ { {x_2} - {x_1} } } = {\left. {\frac{ {f(x + \Delta x) - f(x)} }{ {\Delta x} } } \right|_{x = {x_1} } } \) Gl. 30

Wird eine Gerade durch die Punkte der Kurve, die durch die Werte x1 und x2 vorgegeben sind, entsteht eine Sekante zu der Kurve in diesen Punkten. Diese Sekante gibt aber nur näherungsweise den Winkel der gesuchten Tangente wider. Denn der wirkliche Wert der Steigung ist durch den Winkel einer an den interessierenden Punkt angelegten Tangente exakter beschrieben, als wenn nur der Winkel einer Sekante ermittelt wird. Denn der Steigungswinkel der Sekante ist stark abhängig von der Wahl der beiden Punkte x1 und x2. Darum ist der Übergang von einer Sekante zu einer Tangente zu vollziehen.

Am in Abbildung 11 gezeigten Beispiel wird deutlich, wie stark die durchschnittliche Steigung von der Steigung in einem bestimmten Punkt der Funktion abweichen kann.

Vorausgesetzt, die Funktion ist an der Stelle stetig, an der die Steigung ermittelt werden soll, kann durch Verkleinern des Abstandes zwischen den beiden Punkten x2 - x1 = Δx eine zunehmende Verbesserung der Steigungsmessung erreicht werden (Abbildung 12).

Abbildung 11
Weg-Zeit-Diagramm - Mittlere und momentane Geschwindigkeit
Abbildung 11: Weg-Zeit-Diagramm - Mittlere und momentane Geschwindigkeit
Abbildung 12
Sekante und Tangente für Steigungsmessung
Abbildung 12: Sekante und Tangente für Steigungsmessung

Folglich ist mit der Vollziehung des Grenzübergangs Δx→0 der Übergang von der Sekante zur Tangente erreicht.

\( \tan \alpha = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\left. {\frac{ {f(x + \Delta x) - f(x)} }{ {\Delta x} } } \right|_{x = {x_1} } } = \mathop {\lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\Delta y} }{ {\Delta x} } \) Gl. 31

Der Grenzwert des Differenzquotienten \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\Delta y} }{ {\Delta x} }\) wird als Differentialquotient \(\frac{ {dy} }{ {dx} }\) (lies: „dy nach dx“) bezeichnet. Die so gefundene neue Funktion wird auch Ableitung der Funktion f genannt und mit f’ bezeichnet:

\(f'(x) = y' = \frac{ {dy} }{ {dx} }\) Gl. 32

Da solche Ableitungen durchaus auch mehrfach erfolgen können, spricht man bei Gl. 31 von der 1. Ableitung. Die 2., 3. oder n-te Ableitung wird durch entsprechend viele Striche seitlich des Funktionssymbols gekennzeichnet.

Handelt es sich um Zeitfunktionen, die nach der Zeitgröße differenziert wurden, wird die Ableitung durch einen Punkt (ggf. auch mehrere Punkte) über dem Funktionssymbol gekennzeichnet:

\(\dot y = \frac{ {dy} }{ {dt} }\) Gl. 33

Beispiel 1:

Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion

\(y = f(x) = {x^2}\) Gl. 34

\(y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\left. {\frac{ {f(x + \Delta x) - f(x)} }{ {\Delta x} } } \right|_{x = {x_1} } } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ { { {\left( {x + \Delta x} \right)}^2} - {x^2} } }{ {\Delta x} }\) | Binomische Formel

\(\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ { {x^2} + 2x \cdot \Delta x + \Delta {x^2} - {x^2} } }{ {\Delta x} } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {2x \cdot \Delta x + \Delta {x^2} } }{ {\Delta x} } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x)\) | Δx kürzen

⇒ \(\frac{ {dy} }{ {dx} } = 2x\) Gl. 35

Beispiel 2:

Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion

\(y = f(x) = \sin (x)\) Gl. 36

\(y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\left. {\frac{ {f(x + \Delta x) - f(x)} }{ {\Delta x} } } \right|_{x = {x_1} } } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\sin (x + \Delta x) - \sin (x)} }{ {\Delta x} }\)

\(y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\sin (x)\cos (\Delta x) + \sin (\Delta x)\cos (x) - \sin (x)} }{ {\Delta x} }\) | Additionstheoreme

\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\sin(x)\left[ {\cos (\Delta x) - 1} \right] + \sin (\Delta x)\cos (x)} }{ {\Delta x} } \)

\( \text{da } \left| {\sin (\Delta x)} \right| > > \left| {1 - \cos (\Delta x)} \right|\) \(y' = \mathop {\lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\sin (\Delta x)\cos(x)} }{ {\Delta x} }\)

siehe Grafik:

Ableitung sin(x)

unter Anwendung von Gl. 28

\( y' = \cos (x)\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\sin (\Delta x)} }{ {\Delta x} } = \cos (x) \cdot 1 \)

\( ⇒ \frac{ {dy} }{ {dx} } = \cos (x) \) Gl. 37

Beispiel 3:

Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion

\(y = f(x) = {e^x}\) Gl. 38

\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\left. {\frac{ {f(x + \Delta x) - f(x)} }{ {\Delta x} } } \right|_{x = {x_1} } } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ { {e^{x + \Delta x} } - {e^x} } }{ {\Delta x} } \)

\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ { {e^x}({e^{\Delta x} } - 1)} }{ {\Delta x} } = {e^x}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {({e^{\Delta x} } - 1)} }{ {\Delta x} } = {e^x} \cdot 1 \) | siehe Gl. 26

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = {e^x}\) Gl. 39

Wichtige Differenziale

\( \frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{ {d({x^n})} }{ {dx} } = n \cdot {x^{n - 1} } \qquad n \in Q \) Gl. 40

Sonderfall:

\( y(x) = c; \quad \frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{ {d(c)} }{ {dx} } = \frac{ {d(c \cdot {x^0})} }{ {dx} } = 0 \cdot {x^{ - 1} } = 0 \)   mit c als Konstante Gl. 41

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{ {d({e^x})} }{ {dx} } = {e^x}\)   Exponentialfunktion, Basis e Gl. 42

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{ {d({a^x})} }{ {dx} } = {a^x} \cdot \ln a\)   Exponentialfunktion, beliebige Basis Gl. 43

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{ {d(\ln (x))} }{ {dx} } = \frac{1}{x}\)   natürlicher Logarithmus Gl. 44

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{ {d({ {\log }_a}(x))} }{ {dx} } = \frac{1}{x} \cdot {\log _a}e\)   Logarithmus beliebige Basis Gl. 45

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{ {d(\sin (x))} }{ {dx} } = \cos \left( x \right)\)   Winkelfunktionen Gl. 46

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{ {d(\cos (x))} }{ {dx} } = - \sin \left( x \right)\) Gl. 47

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{ {d(\tan (x))} }{ {dx} } = 1 + {\tan^2}\left( x \right)\) Gl. 48

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{ {d(\cot (x))} }{ {dx} } = - \left( {1 + { {\cot }^2}\left( x \right)} \right)\) Gl. 49

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{ {d(\arcsin (x))} }{ {dx} } = \frac{1}{ {\sqrt {1 - {x^2} } } }\)   zyklometrische Funktionen Gl. 50

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{ {d(\arccos (x))} }{ {dx} } = -\frac{1}{ {\sqrt {1 - {x^2} } } }\) Gl. 51

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{ {d(\arctan (x))} }{ {dx} } = \frac{1}{ {1 + {x^2} } }\) Gl. 52

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{ {d({\mathop{\rm arccot}\nolimits} (x))} }{ {dx} } = - \frac{1}{ {1 + {x^2} } }\) Gl. 53

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{ {d(\sinh (x))} }{ {dx} } = \cosh \left( x \right)\)   hyperbolische Funktionen Gl. 54

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{ {d(\cosh (x))} }{ {dx} } = \sinh \left( x \right)\) Gl. 55

Nichtelementare Differenziale

Nicht immer liegen zu differenzierende Funktionen als elementare Funktion vor. Sind die zu differenzierenden Funktionen wenigstens teilweise oder indirekt auf elementare Funktionen zurückführbar, kann die Differenziation auf eine der folgenden Arten durchgeführt werden.

Summenregel

Die zu differenzierende Funktion liegt als Summe von zwei (oder mehreren) Funktionen, deren Differenziale bekannt sind, vor.

\(y = f(x) = u(x) + v(x)\) Gl. 56

\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\left. {\frac{ {f(x + \Delta x) - f(x)} }{ {\Delta x} } } \right|_{x = {x_1} } } = \mathop {\lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {u(x + \Delta x) + v(x + \Delta x) - u(x) - v(x)} }{ {\Delta x} } \)

\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {u(x + \Delta x) - u(x)} }{ {\Delta x} } + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {v(x + \Delta x) - v(x)} }{ {\Delta x} } \)

\(y' = (u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)\) Gl. 57

Beispiel:

Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion

\(y = f(x) = \sin (x) + {e^x}\)

Lösung:

\(y' = u'(x) + v'(x) = \cos \left( x \right) + {e^x}\)

Produktregel

Die zu differenzierende Funktion liegt als das Produkt aus zwei (oder mehreren) Funktionen, deren Differenziale bekannt sind, vor.

\( y = f(x) = u(x) \cdot v(x) \) Gl. 58

\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\left. {\frac{ {f(x + \Delta x) - f(x)} }{ {\Delta x} } } \right|_{x = {x_1} } } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {u(x + \Delta x) \cdot v(x + \Delta x) - u(x) \cdot v(x)} }{ {\Delta x} } \)

Zwischenüberlegung:

\(f(x + \Delta x) = f(x) + \Delta f(x)\) Gl. 59

und

\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\Delta f(x)} }{ {\Delta x} } = \frac{ {df(x)} }{ {dx} } = f'(x)\)

damit wird

\(y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\left( {u(x) + \Delta u(x)} \right) \cdot \left( {v(x) + \Delta v(x)} \right) - u(x) \cdot v(x)} }{ {\Delta x} }\)

\(y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {u(x) \cdot v(x) + \Delta u(x) \cdot v(x) + \Delta v(x) \cdot u(x) + \Delta u(x) \cdot \Delta v(x) - u(x) \cdot v(x)} }{ {\Delta x} }\)

Da das Produkt \( \Delta u(x) \cdot \Delta v(x) \) bei Δx → 0 quadratisch gegen 0 strebt, ist es stets viel kleiner als alle anderen Terme im Zähler, so dass es gänzlich vernachlässigt werden kann:

\(y' = v(x) \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\Delta u(x)} }{ {\Delta x} } + u(x) \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\Delta v(x)} }{ {\Delta x} } = v(x) \cdot \frac{ {du} }{ {dx} } + u(x) \cdot \frac{ {dv} }{ {dx} }\)

\(y' = (u(x) \cdot v(x))' = v(x) \cdot u'(x) + u(x) \cdot v'(x)\) Gl. 60

Beispiel:

Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion

\(y = f(x) = \sin (x) \cdot {e^x} = u\left( x \right) \cdot v\left( x \right)\)

Lösung:

Mit

\(\begin{array}{l}u\left( x \right) = \sin (x)\\v\left( x \right) = {e^x}\end{array}\) und

\(y' = v(x) \cdot u'(x) + u(x) \cdot v'(x) = \cos \left( x \right) \cdot {e^x} + \sin (x) \cdot {e^x}\)

Quotientenregel

Die zu differenzierende Funktion liegt als der Quotient von zwei (oder mehreren) Funktionen, deren Differenziale bekannt sind, vor.

\(y = f(x) = \frac{ {u(x)} }{ {v(x)} }\) Gl. 61

\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\left. {\frac{ {f(x + \Delta x) - f(x)} }{ {\Delta x} } } \right|_{x = {x_1} } } = \mathop {\lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\frac{ {u(x + \Delta x)} }{ {v(x + \Delta x)} } - \frac{ {u(x)} }{ {v(x)} } } }{ {\Delta x} } \)

nach Gl. 58

\(y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\frac{ {\left( {u(x) + \Delta u(x)} \right) \cdot v(x)} }{ {\left( {v(x) + \Delta v(x)} \right) \cdot v(x)} } - \frac{ {u(x) \cdot \left( {v(x) + \Delta v(x)} \right)} }{ {\left( {v(x) + \Delta v(x)} \right) \cdot v(x)} } } }{ {\Delta x} }\)

gegenüber v(x) ist Δv(x) viel kleiner, folglich kann das Produkt \( \left( {v(x) + \Delta v(x)} \right) \cdot v(x)\) durch das Produkt \(v(x) \cdot v(x) = v{(x)^2} \) ersetzt werden:

\( y' = \frac{1}{ {v{ {(x)}^2} } }\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\left( {u(x) + \Delta u(x)} \right) \cdot v(x) - u(x) \cdot \left( {v(x) + \Delta v(x)} \right)} }{ {\Delta x} } \)

\( y' = \frac{1}{ {v{ {(x)}^2} } }\left( {\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\Delta u(x) \cdot v(x)} }{ {\Delta x} } - \mathop {\lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {u(x) \cdot \Delta v(x)} }{ {\Delta x} } } \right) \)

\( y' = {\left( {\frac{ {u(x)} }{ {v(x)} } } \right)'} = \frac{ {v(x) · u'(x) - u(x) · v'(x)} }{ {v(x)^2 } } \) Gl. 62

Beispiel:

Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion

\(y = f(x) = \frac{ {\sin (x)} }{x}\)

Lösung:

\(y' = \frac{ {v(x) \cdot u'(x) - u(x) \cdot v'(x)} }{ {v{ {(x)}^2} } } = \frac{ {x \cdot \cos (x) - 1 \cdot \sin (x)} }{ { {x^2} } }\)

Kettenregel

Die zu differenzierende Funktion liegt als Funktion einer anderen Funktion vor. Beider Differenziale sind bekannt.

\(y = f(x) = u(v(x))\) Gl. 63

\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\left. {\frac{ {f(x + \Delta x) - f(x)} }{ {\Delta x} } } \right|_{x = {x_1} } } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {u(v(x + \Delta x)) - u(v(x))} }{ {\Delta x} } \)

mit v(x + Δx) = v(x) + Δv(x) *)

\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {u(v(x) + \Delta v(x))) - u(v(x))} }{ {\Delta x} } \)

erweitern von Zähler und Nenner mit Δv(x):

\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {u(v(x) + \Delta v(x))) - u(v(x))} }{ {\Delta x} } \cdot \frac{ {\Delta v(x)} }{ {\Delta v(x)} } \)

umsortieren und beachten von: Δx→0 ⇒ Δv(x)→0

\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta v(x) \to 0} \frac{ {u(v(x) + \Delta v(x))) - u(v(x))} }{ {\Delta v(x)} } \cdot \frac{ {\Delta v(x)} }{ {\Delta x} } = \frac{ {du} }{ {dv} } \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta v(x) \to 0} \frac{ {\Delta v(x)} }{ {\Delta x} } \)

beachte *)

\( y' = \frac{ {du} }{ {dv} } \cdot \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {v(x + \Delta x) - v(x)} }{ {\Delta x} } = \frac{ {du} }{ {dv} } \cdot \frac{ {dv} }{ {dx} } \)

\(y' = \frac{ {du} }{ {dv} } \cdot \frac{ {dv} }{ {dx} }\) Gl. 64

Die Ableitung \(\frac{ {dv} }{ {dx} }\) wird auch innere Ableitung genannt.

Beachte: nach Ausführung der Differenziation \(\frac{ {du} }{ {dv} }\) ist in \(u'(v)\) v durch v(x) zurück zu substituieren.

Beispiel:

Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion

\( y = f(x) = {(3 \cdot x)^2} \)

Lösung:

Substitution \( u = {v^2}; \quad v = 3x \)

Anwendung der Kettenregel nach Gl. 64

\(\frac{ {du} }{ {dv} } = 2v; \quad \frac{ {dv} }{ {dx} } = 3\)

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = 2v \cdot 3\)

Rücksubstitution \( v = 3x \)

\( \frac{ {dy} }{ {dx} } = 2 · 3x · 3 = 18x \)

Abgeleitete Methoden

Logarithmische Differenziation

In manchen Fällen können Funktionen nicht direkt differenziert werden, sondern müssen über den Umweg einer vorherigen Logarithmierung gelöst werden.

Gegeben sei \(y = f(x)\) und \(y'\) sei gesucht.

Logarithmieren der gegeben Funktion führt auf

\(g\left( x \right) = \ln \left( {f\left( x \right)} \right)\) Gl. 65

Die neue Funktion wird nun nach der Kettenregel abgeleitet:

\(g'\left( x \right) = \frac{1}{ {f\left( x \right)} } \cdot f'\left( x \right)\) Gl. 66

Auflösen nach der gesuchten Ableitung

\(f'\left( x \right) = f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)\) Gl. 67

ergibt die gesuchte Ableitung.

Beispiel:

Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion

\(y = {x^x}\)

Lösung:

Logarithmierung \(g(x) = x \cdot \ln \left( x \right)\)

Einsetzen in Gl. 67

\( f'\left( x \right) = f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right) = {x^x} \cdot \frac{d}{ {dx} }\left( {x \cdot \ln \left( x \right)} \right) \)

Anwendung der Produktregel

\(f'\left( x \right) = {x^x} \cdot \left( {\ln \left( x \right) + \frac{x}{x} } \right) = {x^x} \cdot \left( {\ln \left( x \right) + 1} \right)\)

Ableitung inverser Funktionen

Ist die Ableitung einer Originalfunktion zu einer Umkehrfunktion bekannt, kann daraus die Ableitung der Umkehrfunktion gewonnen werden.

Zunächst sei festgehalten, dass die Steigungen der Tangenten einer Funktion, die hier mit m angegeben sei, gleich dem Kehrwert der Steigung der inversen Funktion bei gleichem x ist.

Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass die Tangente der Originalfunktion \(f\left( x \right)\) proportional zu \(y \sim m \cdot x\) ist. Werden nun x und y vertauscht, ergibt sich die Tangente der Umkehrfunktion \({f^{ - 1} }\left( x \right)\) zu \(x \sim \frac{1}{m} \cdot y\), also reziprok zur Steigung der Originalfunktion.

Zu der gleichen Aussage gelangt man durch formale Umstellung des Differenzialquotienten:

\( \frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{1}{ {\frac{ {dx} }{ {dy} } } } \) Gl. 68

Beispiel 1:

Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion \(y = \arcsin \left( x \right)\). Dies ist die Umkehrfunktion zu \(y = \sin \left( x \right)\). Die erste Ableitung lautet \( y' = \cos \left( x \right) \).

Lösung:

Zur Ableitung der Funktion \( y = \arcsin \left( x \right) \) ist diese nach x umzustellen. Das führt auf die bekannte sin-Funktion:

\( x = \sin \left( y \right)\) ⇒ \(\frac{ {dx} }{ {dy} } = \cos \left( y \right) \)

Einsetzen in Gl. 68

\( \frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{1}{ {\frac{ {dx} }{ {dy} } } } = \frac{1}{ {\cos \left( y \right)} } \)

Anwendung des trigonometrischen Pythagoras

\( \frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{1}{ {\sqrt {1 - { {\sin}^2}\left( y \right)} } } \)

Rücksubstitution

\( \frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{1}{ {\sqrt {1 - {x^2} } } } \)

Beispiel 2:

Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion \(y = \ln \left( x \right)\). Dies ist die Umkehrfunktion zu \(y = {e^x}\). Die erste Ableitung lautet \(y' = {e^x}\).

Lösung:

Zur Ableitung der Funktion \(y = \ln \left( x \right)\) ist diese nach x umzustellen. Das führt auf die bekannte Exponential-Funktion:

\(x = {e^y}\) ⇒ \(\frac{ {dx} }{ {dy} } = {e^y}\)

Einsetzen in Gl. 68

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{1}{ {\frac{ {dx} }{ {dy} } } } = \frac{1}{ { {e^y} } }\)

Rücksubstitution

\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{1}{x}\)

Ableitung von Funktionen in Parameterdarstellung

Nach den Aussagen von Kapitel Parameterdarstellung werden funktionelle Zusammenhänge auch über einen Parameter hergestellt:

\( x = x(t), \quad y = y(t) \) Gl. 69

Wird nun eine Ableitung der Art \(\frac{ {dy} }{ {dx} }\) gesucht, werden zunächst beide Funktionsbestandteile nach dem gemeinsamen Parameter t differenziert:

\( \frac{ {dx} }{ {dt} } = \dot x; \quad \frac{ {dy} }{ {dt} } = \dot y \) Gl. 70

Anschließend wird die formale Division

\( \frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{ {dy} }{ {dt} } \cdot \frac{ {dt} }{ {dx} } = \frac{ {\dot y} }{ {\dot x} } \) Gl. 71

ausgeführt.

Zusammenfassung

Konstante: \((k \cdot f(x))' = k \cdot f'\left( x \right)\)

Summenregel: \((u + v)' = u' + v'\)

Produktregel: \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\)

Quotientenregel: \({\left( {\frac{u}{v} } \right)^\prime } = \frac{ {u' \cdot v - u \cdot v'} }{ { {v^2} } }\)

Kettenregel: \(\frac{ {du\left( v \right)} }{ {dx} } = \frac{ {du} }{ {dv} } \cdot \frac{ {dv} }{ {dx} }\)

Parameterregel: \(\frac{ {dy(t)} }{ {dx(t)} } = \frac{ {dy} }{ {dt} } \cdot {\left({\frac{ {dx} }{ {dt} } } \right)^{ - 1} }\)

Anwendungen

Berechnung von Extremwerten

Eine der wichtigsten Anwendungen der Differenziation ist die Bestimmung von Extremwerten.

Extremwerte zeichnen sich dadurch aus, dass die Funktion genau an diesen Stellen verschwindende Steigungen aufweisen:

Abbildung 13
Extremwerte am Graphen y_min und y_max
Abbildung 13: Extremwerte am Graphen y_min und y_max

Daraus folgt, dass ein Extremum vorliegt, wenn

\( y' = f'(x) = \frac{ {dy} }{ {dx} } = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{ Extremum } \) Gl. 72

Allerdings sagt die Erfüllung dieser Bedingung nichts darüber aus, ob das Extremum ein Minimum oder ein Maximum der Funktion ist. Auskunft darüber gibt die zweite Ableitung der Funktion an den Stellen xextr., an den ein Extremwert gefunden wurde:

\( y'' = f''({x_{extr.} }) = \frac{ { {d^2}y} }{ {d{x^2} } } < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{ Maximum } \) Gl. 73

\( y'' = f''({x_{extr.} }) = \frac{ { {d^2}y} }{ {d{x^2} } } > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{ Minimum } \) Gl. 74

Darüber hinaus kann auch noch vorhandene Wendepunkte der Funktion gefunden werden:

\( y'' = f''({x_{Wende} }) = \frac{ { {d^2}y} }{ {d{x^2} } } = 0 \\ y''' = f'''({x_{Wende} }) = \frac{ { {d^3}y} }{ {d{x^3} } } \ne 0 \quad \Rightarrow \quad \text{ Wendepunkt } \) Gl. 75

Wendepunkte, die zudem keine Steigung aufweisen (Die Tangente im Wendepunkt verläuft parallel zur x-Achse), werden Sattelpunkt genannt. Um einen einfachen Wendepunkt von einem Sattelpunkt zu unterscheiden, wird wieder die erste Ableitung herangezogen:

\( y' = f'({x_{Wende} }) = \frac{ {dy} }{ {dx} }\,\,\,\left\{ { \begin{array}{*{20}{c} }{ \ne 0 \quad \Rightarrow \quad Wendepunkt} \\ { = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Sattelpunkt} } \end{array} } \right. \) Gl. 76

Beispiel:

Die Dimensionen eines Zylinders sind so zu bestimmen, dass bei vorgegebenem Volumen V0 die Oberfläche O minimal wird.

\( V = h \cdot F = h \cdot \pi \cdot {r^2}; \) Gl. 77

\( O = h \cdot U + 2 \cdot \pi \cdot {r^2} = h \cdot 2 \cdot \pi \cdot r + 2 \cdot \pi \cdot {r^2} \) Gl. 78

Umstellen von Gl. 77 nach der Höhe h ergibt

\( h = \frac{V}{ {\pi \cdot {r^2} } } \) Gl. 79

Einsetzen in Gl. 77

\( O = \frac{ {V \cdot 2 \cdot \pi \cdot r} }{ {\pi \cdot {r^2} } } + 2 \cdot \pi \cdot {r^2} = \frac{ {V \cdot 2} }{ { {r^{} } } } + 2 \cdot \pi \cdot {r^2} \) Gl. 80

Bilden der ersten Ableitung:

\( \frac{ {dO} }{ {dr} } = \frac{ {d\left( {\frac{ {V \cdot 2} }{r} + 2 \cdot \pi \cdot {r^2} } \right)} }{ {dr} } = - \frac{ {V \cdot 2} }{ { {r^2} } } + 4 \cdot \pi \cdot r \) Gl. 81

Null setzen:

\( -\frac{ {V \cdot 2} }{ { {r^2} } } + 4 \cdot \pi \cdot r = 0 \) Gl. 82

Umstellen und nach r auflösen:

\( \frac{V}{ {2 \cdot \pi } } = {r^3} \quad \Rightarrow \quad {r_{extr.} } = \sqrt[3]{ {\frac{V}{ {2 \cdot \pi } } } }\) Extremwert! Gl. 83

Prüfen, ob die Oberfläche O wirklich minimal. D.h. zweite Ableitung bilden. Dazu wird Gl. 81 noch einmal differenziert:

\( \frac{ { {d^2}O} }{ {d{r^2} } } = 2 \cdot \frac{ {V \cdot 2} }{ { {r^3} } } + 4 \cdot \pi \) Gl. 84

\({\left. {\frac{ { {d^2}O} }{ {d{r^2} } } } \right|_{r = {r_{extr.} } } } = 2 \cdot \frac{ {V \cdot 2} }{ {\frac{V}{ {2 \cdot \pi } } } } + 4 \cdot \pi = 12 \cdot \pi > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Minimum!} \) Gl. 85

q.e.d.

Bezierkurven

Bezierkurven sind jedem, der Vektorgrafiken erstellt, bekannt. Eine Bezierkurve in ihrer gebräuchlichsten Form verbindet zwei Punkte, einen Anfangs- und einen Endpunkt, mir einer in gewissen Grenzen frei formbaren Linie. Mit zwei weiteren Punkten, den sog. Kontrollpunkten, ist die Form der Linie steuerbar. Im Gebrauch werden die Kontrollpunkte mit dem Start- oder Endpunkt durch Geraden verbunden. Dabei zeigt sich, dass die Richtung dieser Kontrollgeraden mit der Tangente der Bezierkurve in Start- oder Endpunkt übereinstimmt. Die Länge der Gerade bestimmt hingegen den Kurvenverlauf zwischen den Endpunkten. Was verbirgt sich aber aus mathematischer Sicht hinter einer Bezierkurve?

Abbildung 14
Bezierkurve mit 4 Punkten
Abbildung 14: Bezierkurve mit 4 Punkten

In Abbildung 14 ist der Punkt P0 der Start-, P3 der Endpunkt. Die Punkte P1 und P2 sind die Steuerpunkte. Die Kurve selbst wird durch zwei parametrisierte kubische Funktionen für x und y dargestellt:

\( x(t) = {x_0} \cdot {u_0} \cdot {\left( {1 - t} \right)^3} + {x_1} \cdot {u_1} \cdot t \cdot {\left( {1 - t} \right)^2} + {x_2} \cdot {u_2} \cdot {t^2} \cdot \left( {1 - t} \right) + {x_3} \cdot {u_3} \cdot {t^3} \) Gl. 86

\( y(t) = {y_0} \cdot {v_0} \cdot {\left( {1 - t} \right)^3} + {y_1} \cdot {v_1} \cdot t \cdot {\left( {1 - t} \right)^2} + {y_2} \cdot {v_2} \cdot {t^2} \cdot \left( {1 - t} \right) + {y_3} \cdot {v_3} \cdot {t^3} \) Gl. 87

worin die xi und yi (i = 0, 1, 2, 3) die Koordinaten der vier beschreibenden Punkte darstellen. Die ui und vi hingegen sind Gewichte, die geeignet zu wählen sind. Der sichtbare Funktionsverlauf entsteht durch die übliche Darstellung der Funktionswerte von y und x in einem kartesischen Koordinatensystem.

\( y(x) = y(x(t)) \) Gl. 88

Die Bedeutung des Parameters 0 ≤ t ≤ 1 wird deutlich, wenn die Funktion an ihren Rändern (t=0 bzw. t=1) betrachtet wird. Dann ist zu erkennen, dass der Einfluss des jeweils anderen Punktpaares ausgeschlossen ist und die Funktionswerte mit den Koordinaten der jeweiligen Punkte übereinstimmen, wenn die Gewichte u0 und u3 bzw. v0 und v3 gleich 1 gewählt werden:

\( x(0) = {x_0} \text{ und } x(1) = {x_3} \) Gl. 89

\( y(0) = {y_0} \text{ und } y(1) = {y_3} \) Gl. 90

Mit dieser Randwert-Betrachtung konnten die Werte für die Gewichteu0, u3, v0,v3 bestimmt werden. Wie aber sind die Gewichteu1, u2, v1, v2 zu bestimmen? Hier kommt nun die Forderung ins Spiel, dass die Richtung der Steuergeraden mit der Tangente der Kurve im jeweiligen Endpunkt übereinstimmen soll:

\( \frac{ {dy(x(t = 0))} }{ {dx} } = \frac{ { {y_1} - {y_0} } }{ { {x_1} - {x_0} } } \) Gl. 91

bzw.

\( \frac{ {dy(x(t = 1))} }{ {dx} } = \frac{ { {y_2} - {y_3} } }{ { {x_2} - {x_3} } } \) Gl. 92

Nun kann die Gl. 87 nicht direkt nach dx abgeleitet werden, da sie ja keine Funktion von x darstellt.

Daher werden sowohl Gl. 87 als auch Gl. 88 nach dt abgeleitet und entsprechend

\( \frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{ {dy} }{ {dt} } \cdot \frac{ {dt} }{ {dx} } \) Gl. 93

zum gesuchten Differenzialquotienten kombiniert.

Mit

\( \frac{ {dx(t)} }{ {dt} } = - {x_0} \cdot 3{\left( {1 - t} \right)^2} + {x_1} \cdot {u_1} \cdot \left[ { { {\left( {1 - t} \right)}^2} - 2t\left( {1 - t} \right)} \right] + {x_2} \cdot {u_2} \cdot \left[ {2t \cdot \left( {1 - t} \right) - {t^2} } \right] + {x_3} \cdot 3{t^2} \) Gl. 94

\( \frac{ {dy(t)} }{ {dt} } = - {y_0} \cdot 3{\left( {1 - t} \right)^2} + {y_1} \cdot {v_1} \cdot \left[ { { {\left( {1 - t} \right)}^2} - 2t\left( {1 - t} \right)} \right] + {y_2} \cdot {v_2} \cdot \left[ {2t \cdot \left( {1 - t} \right) - {t^2} } \right] + {y_3} \cdot 3{t^2} \) Gl. 95

wird Gl. 115 zu

\( \frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{ { - {y_0} \cdot 3{ {\left( {1 - t} \right)}^2} + {y_1} \cdot {v_1} \cdot \left[ { { {\left( {1 - t} \right)}^2} - 2t\left( {1 - t} \right)} \right] + {y_2} \cdot {v_2} \cdot \left[ {2t \cdot \left( {1 - t} \right) - {t^2} } \right] + {y_3} \cdot 3{t^2} } }{ { - {x_0} \cdot 3{ {\left( {1 - t} \right)}^2} + {x_1} \cdot {u_1} \cdot \left[ { { {\left( {1 - t} \right)}^2} - 2t\left( {1 - t} \right)} \right] + {x_2} \cdot {u_2} \cdot \left[ {2t \cdot \left( {1 - t} \right) - {t^2} } \right] + {x_3} \cdot 3{t^2} } } \) Gl. 96

Nunmehr erfolgt der Vergleich mit den Bedingungen von Gl. 91 und Gl. 92:

\( {\left. {\frac{ {dy} }{ {dx} } } \right|_{t = 0} } = \frac{ { - {y_0} \cdot 3 + {y_1} \cdot {v_1} } }{ { - {x_0} \cdot 3 + {x_1} \cdot {u_1} } } = \frac{ { {y_1} - {y_0} } }{ { {x_1} - {x_0} } } \) Gl. 97

bzw.

\( {\left. {\frac{ {dy} }{ {dx} } } \right|_{t = 1} } = \frac{ { - {y_2} \cdot {v_2} + {y_3} \cdot 3} }{ { - {x_2} \cdot {u_2} + {x_3} \cdot 3} } = \frac{ { {y_2} - {y_3} } }{ { {x_2} - {x_3} } } \) Gl. 98

Die geforderte Gleichheit ist nur zu erfüllen, wenn u1,u2, v1, v2 = 3 sind. Damit sind nun alle Elemente der Bezierkurve gefunden und die Gleichungen lauten nunmehr:

\( x(t) = {x_0} \cdot {\left( {1 - t} \right)^3} + {x_1} \cdot 3t \cdot {\left( {1 - t} \right)^2} + {x_2} \cdot 3{t^2} \cdot \left( {1 - t} \right) + {x_3} \cdot {t^3} \) Gl. 99

\( y(t) = {y_0} \cdot {\left( {1 - t} \right)^3} + {y_1} \cdot 3t \cdot {\left( {1 - t} \right)^2} + {y_2} \cdot 3{t^2} \cdot \left( {1 - t} \right) + {y_3} \cdot {t^3} \) Gl. 100

Näherungsrechnung

Die Tangente, die an einer beliebigen Stelle x0 einer Funktion f(x) angelegt wurde, stellt in einem kleinen Bereich um den Punkt x0 herum eine Näherung der Funktion f(x) in diesem Punkt dar. Wie weit dieser Bereich gefasst werden kann, hängt vom Verlauf der Funktion – Funktionen mit starker Krümmung werden schlechter durch eine Gerade anzunähern sein, als solche mit geringer Krümmung -und von der geforderten Genauigkeit der Näherung ab.

Wie schon ausgeführt, ist das Differenzial einer Funktion in einem beliebigen Punkt gleich der Steigung der Tangente, die in diesem Punkt an die Funktion angelegt ist. Damit lässt sich die Geradengleichung der Tangente und damit der Gleichung der Näherung in diesem Punkt der Funktion bestimmen (Abbildung 15),

mit:

\( y' = f'(x) = \frac{ {dy} }{ {dx} } = \tan \alpha \) Gl. 101

als Steigung der Funktion f(x)

wird die Geradengleichung zu

\( \tilde y({x_0} + \Delta x) = f'({x_0}) \cdot \Delta x + f({x_0}) \) Gl. 102

Abbildung 15
Tangente an einer beliebigen Stelle x0 einer Funktion
Abbildung 15: Tangente an einer beliebigen Stelle x0 einer Funktion

Oder, wenn für \(\Delta x = x - {x_0}\) x als variabel eingesetzt wird,

\( \tilde y(x) = f'({x_0}) \cdot \left( {x - {x_0} } \right) + f({x_0}) \) Gl. 103

Näherungsformel für Binome beliebiger Potenz

Funktionen vom Typ

\( y = f(x) = {(1 + x)^n}; \quad n \in R\, \text{ wobei } x\, < < 1 \) Gl. 104

wobei x0 = 0 und f(x0) = 1 (da x0 = 0 darf Δx → x gesetzt werden)

werden entsprechend Gl. 102 angenähert durch:

\( \tilde y(1 + x) = f'(0) \cdot x + 1 = n \cdot x + 1\) wobei \(f'(x) = n \cdot {\left( {1 + x} \right)^{n - 1} } \) Gl. 105

Beispiele:

Es sei die Quadratwurzel von 10 zu bestimmen.

Die Quadratwurzel von 9 ist gleich 3.

\( y = \sqrt {10} = \sqrt {9 + 1} = 3 \cdot \sqrt {1 + \frac{1}{9} } = 3 \cdot {(1 + 0,11...)^{\frac{1}{2} } } \)

\(\tilde y(10) = 3 \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} \cdot 0,11...} \right) = 3,1666...\)

der genaue Wert beträgt: 3,162278

Es sei die fünfte Potenz von 2,1 zu bestimmen.

Zunächst ist die Normalform zu bestimmen, daher wird 2 ausgeklammert:

\(2,1 = 2 \cdot (1 + 0,05); \quad {2^5} = 32\)

Anwendung von Gl. 105:

\(y = 32 \cdot f(0,05) = 32 \cdot {(1 + 0,05)^5}\,\)

\( \tilde y(2,1) = 32\left[ {5 \cdot 0,05 + 1} \right] = 40 \); der genaue Wert beträgt: 40,84101

Näherungsformeln für trigonometrische Funktionen

Für kleine Werte von x (im Bogenmaß!) gilt

\( \sin \left( {0 + x} \right) \approx {\left. {\frac{ {d\sin \left( x \right)} }{ {dx} } } \right|_{x = 0} } \cdot x + \sin \left( 0 \right) = \cos \left( 0 \right) \cdot x + 0 = 1 \cdot x = x \) Gl. 106

also

\( \sin \left( x \right) \approx x \) Gl. 107

Im Falle der cos-Funktion muss zudem noch eine weitere Näherung benutzt werden:

\( \cos \left( {0 + x} \right) \approx {\left. {\frac{ {d\cos \left( x \right)} }{ {dx} } } \right|_{x = 0} } \cdot x + \cos \left( 0 \right) = -\sin \left( {0 + x} \right) \cdot x + 1 = - x \cdot x + 1 \) Gl. 108

aus Gl. 107 folgt schließlich

\( \cos \left( x \right) \approx 1 - {x^2} \) Gl. 109

\( \tan \left( x \right) \approx \frac{x}{ {1 - {x^2} } } \) Gl. 110

Beispiel:

Gesucht wird der Wert von cos(2°).

Umwandeln des Winkels in Bogenmaß \(2\pi \cdot \frac{ { {2^0} } }{ { { {360}^0} } } = {\rm{0} }{\rm{,03491} }\), damit ergibt sich näherungsweise der gesuchte Cosinus zu

\(c{\rm{os} }\left( { {\rm{0} }{\rm{,03491} } } \right) = 1 - {\rm{0} }{\rm{,03491} } = {\rm{0} }{\rm{,99878} }\)

Der exakte Wert beträgt: 0,99939

Grenzwertberechnung nach de l’Hospital

In Abschnitt Einschließungsverfahren wurde deutlich, dass die Bestimmung von Grenzwerten nicht immer trivial ist. Mit der Regel von de l’Hospital (Guillaume de l'HOSPITAL, 1661-1704) steht ein Werkzeug zur Grenzwertbestimmung primär für Funktionen des Types \({\left. {\frac{ {f(x)} }{ {g(x)} } } \right|_{x \to {x_0} } } = \frac{0}{0}\,\,\) zur Verfügung.

Gl. 102 weist wieder den Weg zur Lösung:

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} } \left[ {\frac{ {f(x)} }{ {g(x)} } } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} } \left[ {\frac{ {f({x_0}) + f'(x) \cdot \Delta x} }{ {g({x_0}) + g'(x) \cdot \Delta x} } } \right] \) Gl. 111

da aber f(x0) ebenso wie g(x0) definitionsgemäß verschwinden, bleibt nur

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} } \left[ {\frac{ {f(x)} }{ {g(x)} } } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} } \left[ {\frac{ {f'(x) \cdot \Delta x} }{ {g'(x) \cdot \Delta x} } } \right] \) Gl. 112

kürzen von Δx ergibt schließlich die Regel von l’Hospital:

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} } \left[ {\frac{ {f(x)} }{ {g(x)} } } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} } \left[{\frac{ {f'(x)} }{ {g'(x)} } } \right] \text{ wenn } \mathop {\lim}\limits_{x \to {x_0} } g'(x) \ne 0 \) Gl. 113

Die Regel von l'Hospital sieht vor, dass der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen durch den Quotienten der ersten Ableitungen dieser Funktionen ersetzt wird.

Beispiel:

Gesucht wird der Grenzwert der Funktion \(\frac{ {\sin(x)} }{x}\,\,\) an der Stelle x→0.

Anwendung von Gl. 113:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{ {\sin (x)} }{x} } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{ {\cos (x)} }{1} } \right] = 1\)

Führt die Bildung der ersten Ableitungen nicht zu einer Lösung, werden die Quotienten der zweiten und ggf. auch höhere Ableitungen verwendet.

Beispiel:

Gesucht wird der Grenzwert der Funktion \(\,\,{\left( {\frac{ {\sin (x)} }{x} } \right)^2}\) an der Stelle x→0.

Anwendung von Gl. 113:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{ { { {\sin }^2}(x)} }{ { {x^2} } } } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{ {2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)} }{ {2x} } } \right] \) | Diff. nach Kettenregel

Grenzwert ist noch nicht bestimmbar, darum nochmalige Anwendung von Gl. 113:

| Diff. nach Produktregel

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{ {\sin (x) \cdot \cos (x)} }{x} } \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{ {\cos (x) \cdot \cos (x) - \sin (x) \cdot \sin (x)} }{1} } \right] = 1 \)

Generell kann die Regel von l’Hospital auch für andere Typen von Grenzwertaufgaben verwendet werden. Dann sind jedoch geeignete Umformungen der Ausdrücke erforderlich:

Typ Form Funktion Umformung
I. \(\frac{0}{0}\) \(\frac{ {f(x)} }{ {g(x)} }\) Regel von de l’Hospital
II. \(\frac{\infty }{\infty }\) \(\frac{ {f(x)} }{ {g(x)} }\) \( {}^{ \frac{1}{g(x)}{\mskip -5mu/\mskip -3mu}_{ \frac{1}{f(x)} }} \)
III. \(\infty - \infty \) \(f(x) - g(x)\) \( {}^{ \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)} }{\mskip -5mu/\mskip -3mu}_{ \frac{1}{g(x)} · \frac{1}{f(x)} } \)
IV. \(0 \cdot \infty \) \(f(x) \cdot g(x)\) \( {}^{ f(x) }{\mskip -5mu/\mskip -3mu}_{ \frac{1}{g(x)} } \)

Beispiel:

Gesucht ist der Grenzwert der Funktion \(x \cdot \cot x\) für x → 0.

Anwendung der Umformung nach Typ III: \( \frac{x}{ {\frac{1}{ {\cot x} } } } \quad \Rightarrow \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{ {\tan x} } \)

Regel von l’Hospital

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{ {1 + { {\tan}^2}x} } = 1\)

Partielles und totales Differenzial

Das totale Differenzial wir auf Funktionen mit mehreren Variablen angewendet, um die tendenzielle Änderung der Funktion bei Änderung einer oder mehrerer Variablen zu ermitteln.

Wenn das Differenzial einer Funktion von einer Variablen die Steigung einer Tangente in einem bestimmten Punkt repräsentiert, sind dies bei einer Funktion von zwei Variablen zwei Tangenten (Abbildung 16). Nämlich eine bezüglich der z-x-Ebene und eine weitere bezüglich der z-y-Ebene. Beide Tangenten spannen eine Fläche auf, die Funktion in genau diesem Punkt berührt, also die Funktion tangiert.

Abbildung 16
Totales Differenzial - Tangenten spannen Fläche auf
Abbildung 16: Totales Differenzial - Tangenten spannen Fläche auf

Ausgeführt werden diese Differenziationen dadurch, dass die gesamte Funktion nach der im Nenner bezeichneten Variablen differenziert wird. Alle anderen Variablen werden dabei als Konstanten betrachtet. Sie werden partielle Differenziale der Funktion f(x,y,z) genannt und durch die Symbolik \(\frac{ {\partial f(x,y,z)} }{ {\partial *} }\) ausgedrückt. Dabei verdeutlichen die \(\partial *\), dass es sich bei dieser Differenziation um das partielle Differenzial handelt.

Wie aus Abbildung 16 hervorgeht, ergibt sich die Gesamtänderung dz durch die Summe der Änderungen dx und dy, die von beiden Variablen x bzw. y herrühren:

\( df(x,y,z) = \frac{ {\partial f(x,y,z)} }{ {\partial x} }dx + \frac{ {\partial f(x,y,z)} }{ {\partial y} }dy + \frac{ {\partial f(x,y,z)} }{ {\partial z} }dz \) Gl. 114

Mit Gl. 102 wurde ein Werkzeug zur näherungsweisen Berechnung von Funktionswerten bereit gestellt. Die dazu angestellten Überlegungen werden nun auf Funktionen mit mehreren Veränderlichen angewendet:

\( \tilde f({x_0} + \Delta x,{y_0} + \Delta y,{z_0} + \Delta z) = f({x_0},{y_0},{z_0}) + \frac{ {\partial f(x,y,z)} }{ {\partial x} }\Delta x + \frac{ {\partial f(x,y,z)} }{ {\partial y} }\Delta y + \frac{ {\partial f(x,y,z)} }{ {\partial z} }\Delta z \) Gl. 115

Eine weit verbreitete Anwendung des totalen Differenzials ist die Abschätzung der Auswirkung von Messfehlern auf Messergebnisse (Fehlerfortpflanzung) in komplexen Zusammenhängen:

\( \Delta f = \left| {\frac{ {\partial f(x,y,z)} }{ {\partial x} }\Delta x} \right| + \left| {\frac{ {\partial f(x,y,z)} }{ {\partial y} }\Delta y} \right| + \left| {\frac{ {\partial f(x,y,z)} }{ {\partial z} }\Delta z} \right| \) Gl. 116

Beachte: Zur Fehlerabschätzung werden die jeweiligen Teilbeiträge der einzelnen Variablen in Betragsstriche gesetzt. Damit wird der max. mögliche Fehler abgeschätzt. Die Möglichkeit, dass sich Fehler ggf. auch gegenseitig kompensieren können, wird damit ausgeschlossen.

Beispiel:

In einem Pendelexperiment soll die Größe der Erdbeschleunigung g bestimmt werden, indem die Pendelfrequenz gemessen wird. Dazu wird ein Pendel der Länge L verwendet. Die Länge des Pendels kann mit der Genauigkeit ΔL/L = 0,1 % gemessen werden. Die Periodendauer T der Pendelschwingung wird mit einer Genauigkeit ΔT/T = 2 % gemessen. Wie genau kann damit die Erdbeschleunigung g bestimmt werden?

Die Abhängigkeit der Pendelperiode von der Pendellänge und der Erdbeschleunigung ist gegeben durch:

\( T = \frac{1}{ {2\pi } }\sqrt {\frac{L}{g} } \) Gl. 117

umstellen nach g

\( g = \frac{1}{ {4{\pi ^2} } }\frac{L}{ { {T^2} } } \) Gl. 118

Bildung der partiellen Ableitungen und daraus des totalen Differenzials:

\( \Delta g = \frac{1}{ {4{\pi ^2} } }\left[ {\left| {\frac{1}{ { {T^2} } } \cdot \Delta L} \right| + \left| { - 2 \cdot \frac{L}{ { {T^3} } } \cdot \Delta T} \right|} \right] \) Gl. 119

Erweitern mit 1/g:

\( \frac{ {\Delta g} }{g} = \frac{1}{ {4{\pi^2} } }\left[ {\left| {\frac{1}{ { {T^2} } } \cdot \Delta L} \right| + \left| { - 2 \cdot \frac{L}{ { {T^3} } } \cdot \Delta T} \right|} \right]\frac{1}{g} \) Gl. 120

mit Gl. 118 und sortieren

\( \left| {\frac{ {\Delta g} }{g} } \right| = \left| {\frac{ {\Delta L} }{L} } \right| + \left| {\frac{ {2\Delta T} }{T} } \right| = 0,1\% + 4\% = 4,1\% \) Gl. 121

zeigt, dass die Messfehler beider Variablen gleichberechtigt in das Resultat eingehen, das mit einer Genauigkeit von 4,1 % bestimmt werden kann. Es ist aber auch zu ersehen, dass Messfehler der Zeitmessung stärker eingehen als die der Längenmessung.

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