Wissen: Charakteristische Eigenschaften von Funktionen

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Übersicht charakteristischer Eigenschaften

Um sich eine grobe Vorstellung vom Wesen einer Funktion machen zu können, genügt es oftmals, gewisse charakteristische Punkte oder Eigenschaften zu kennen. Solche Eigenschaften sind:

  • Monotonie
  • Periodizität
  • gerade oder ungerade Symmetrie

oder ausgewiesene Punkte wie:

  • Extrema, Wende-, Sattelpunkte
  • Nullstellen
  • Grenzwerte
  • Unstetigkeiten und Singularitäten

Monotonie

Funktionen sind ganz oder stückweise monoton. Darunter ist zu verstehen, dass eine Funktion

  • monoton steigend ist, wenn f(x2) ≥ f(x1) und streng monoton steigend, wenn f(x2) > f(x1) für x2 > x1 gilt.
  • monoton fallend ist, wenn f(x2) ≤ f(x1) und streng monoton fallend, wenn f(x2) < f(x1) für x2 > x1 gilt.
Abbildung 3
Monotonie von Funktionen - monoton steigend
Abbildung 3: Monotonie von Funktionen - monoton steigend

Periodizität

Viele Vorgänge des realen Lebens laufen periodisch ab. Dazu zählen z.B. die wiederkehrenden Zeitabläufe (Uhr, Kalender), harmonische Klänge (Flöte, Geige, Orgel) oder kreisförmige Bewegungen (Rad, Erdumlauf). Eine der elementarsten Funktionen, die Sinus-Schwingung, ist fast bei jedem physikalischen Vorgang zu beobachten. So unterschiedlich die Schwingungsdauern auch sein mögen, im mathematischen Sinn wird die Periodendauer auf den Wert 2π normiert. Dies ist der Winkel des Vollkreises im Bogenmaß. Die sonst übliche Winkelbezeichnung in Grad (Vollkreis 360°) ist für den Gebrauch als Variable einer Winkelfunktion nicht geeignet.

Abbildung 4
Periodizität - Funktion mit Periode 2π
Abbildung 4: Periodizität - Funktion mit Periode 2π

Die wichtigste Eigenschaft periodischer Funktionen, nämlich das periodische Wiederkehren der selben Funktionswerte findet in Gl. 8 ihren Ausdruck:

\(f(t) = f(t \pm n \cdot T)\) Gl. 8

Worin T die Periode der Funktion ist.

Symmetrie

Unter der Vielzahl von Funktionen gibt es Funktionen, für die

\(f(x) = f( - x)\) Gl. 9

gilt. Eine solche Funktion wird gerade symmetrisch genannt. Ungerade symmetrisch ist die Funktion

\(f(x) = - f( - x)\) Gl. 10

Am Beispiel der cos- bzw. sin-Funktion (Abbildung 5) sind die verschiedenen Symmetrien dargestellt:

Abbildung 5
Symmetrisch gerade bzw. ungerade Funktion
Abbildung 5: Symmetrisch gerade bzw. ungerade Funktion

Extremwerte und Wendepunkte

Bei den Extremwerten wird unterschieden in:

  • absolute Extrema
    sind Extremwerte innerhalb eines Intervalls
  • relative Extrema
    sind dadurch gekennzeichnet, dass der Anstieg in diesen Punkten gleich 0 ist.
Abbildung 6
Extrema: Relatives Maximum, Absolutes Minimum, Wendepunkte
Abbildung 6: Extrema: Relatives Maximum, Absolutes Minimum, Wendepunkte

In Wendepunkten ändert sich die Orientierung der Funktion (Kurve). Das ist dann der Fall, wenn der Anstieg (→ Differenzialrechnung) der ersten Ableitung der Funktion gleich 0 ist.

Nullstellen

Unter Nullstellen werden die Werte des Definitionsbereiches verstanden, bei denen die Funktionswerte verschwinden.

Abbildung 7
Funktion mit Polstellen und Nullstellen
Abbildung 7: Funktion mit Polstellen und Nullstellen

Wie Abbildung 8 zeigt, verfügt nicht jede Funktion über reelle Nullstellen. Im Falle von Polynomen gilt grundsätzlich, dass jedes Polynom ebenso viele Nullstellen besitzt, wie sein Grad vorgibt. Wie das Beispiel in Abbildung 8 zeigt, können diese Nullstellen auch konjugiert komplex auftreten.

Abbildung 8
Nullstellen konjugiert komplex
Abbildung 8: Nullstellen konjugiert komplex

Asymptoden

Asymptoden sind Geraden, die das Verhalten eine Funktion bei großen Werten des Werte- oder des Definitionsbereiches beschreiben. Es ist klar, dass diese Geraden den wirklichen Funktionsverlauf nur Näherungsweise richtig darstellen kann. Zur Beurteilung des Funktionsverhaltens bei großen Werten genügt diese Genauigkeit aber oft.

Unstetigkeiten und Singularitäten

Eine kontinuierliche Funktion zeichnet sich dadurch aus, dass es für jeden Wert x des Definitionsbereiches einen um eine beliebig kleine Zahl ε veränderten Wert x ± ε gibt, für den der Funktionswert f(x ± ε) um den ebenfalls beliebig kleinen Wert d variiert wird. Für Funktionen mit Unstetigkeiten gilt dies nicht durchgängig (Abbildung 7, Abbildung 9).

Abbildung 9
Funktion mit Unstetigkeit, asymptotisch
Abbildung 9: Funktion mit Unstetigkeit, asymptotisch

Die in Abbildung 7 gezeigt Funktion weist an der Stelle x → 0 eine Polstelle auf. Polstellen sind Singularitäten (herausragender Einzelpunkt), bei denen der Funktionswert über alle Grenzen wächst.

Abbildung 9 zeigt hingegen ein Funktion mit einer Sprungstelle bei x = 0. Die Besonderheit von Sprungstellen besteht darin, dass der linksseitige Funktionswert (→ Grenzwert) vom rechtseitigen Funktionswert abweicht.

Es ist nicht außergewöhnlich, dass Polstellen und Sprungstellen in einem Punkt gleichzeitig auftreten. Hierfür seien die Funktion f(x) = 1/x oder tan(x) als Beispiele genannt.

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