Wissen: Grenzwerte

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Definition Grenzwerte

Uneigentliche Grenzwerte

Ist eine Funktion x → y mit y = f(x) vorgegeben, so hat f(x = g) den Grenzwert G, wenn \( |f(x)-G|<ε \text{ für } |x-g|<δ \). Wobei ε und δ beliebig kleine Zahlen (Schranken) sind.

Als Schreibweise für den Grenzwert hat sich

\( \lim \limits_{x \to g} f(x) = G \) Gl. 11

etabliert.

Im Allgemeinen stimmen nach obiger Definition Grenzwert und Funktionswert überein. In der Anwendung gibt es aber durchaus unterschiedliche Betrachtungsweisen:

a) Es gibt Fälle, bei denen die Funktion an der Stelle x = g nicht definiert ist. Diese Funktionen weisen an diesen Stellen eine Lücke auf. Durch Annäherung der unabhängigen Variablen an diese Unstetigkeitsstelle gelingt es, Ersatzwerte für diese Funktion an den Unstetigkeitsstellen zu finden. Solche Grenzwerte werden uneigentliche Grenzwerte genannt. Die Unstetigkeit ist hebbar, wenn es gelingt, mit Hilfe der Grenzwertberechnung einen Ersatzwert der Funktion für diese Lücke anzugeben, der dann zu einer stetigen Funktion führt.

b) Infinitesimalrechnung, wo Grenzwerte das Fundament der ganzen Theorie bilden. Vom Wesen sind diese Grenzwerte aber uneigentliche Grenzwerte.

Eigentliche Grenzwerte

Bestimmung des Verhaltens von Summen unendlicher Reihen. Ein solcher Grenzwert heißt eigentlicher Grenzwert.

Grenzwerte von rationalen Polynomen

Die Bestimmung der Funktionswerte von Funktionen mit Unstetigkeiten oder von Funktionen die an bestimmten interessierenden Stelle über alle Grenzen wachsende Werte (\( ∞, \frac{1}{0} \)) oder undefinierte Ausdrücke (\( \frac{∞}{∞}, \frac{0}{0} \)) aufweisen, stößt im Allgemeinen auf Schwierigkeiten. Eine Funktion

\( y = f(x) = \frac{ { {x^2} - 1} }{ {x - 1} } \) Gl. 12

ist für den Wert x = 1 nicht definiert, sie hat an dieser Stelle eine Lücke. Nun kann durch die Ausführung der Division die Funktion auch an dieser Stelle berechnet werden:

\( y = f(x) = \frac{ { {x^2} - 1} }{ {x - 1} } = x + 1 \) Gl. 13

Eine undefinierte Stelle liegt nun nicht mehr vor. Der Funktionswert der so vereinfachten Funktion ist an der Stelle

\( y = f(1) = 1 + 1 = 2 \) Gl. 14

Dennoch ist die Ausgangsfunktion an der Stelle x = 1 nicht definiert. Erst das Ersetzen des (nicht definierbaren) Funktionswertes durch den Grenzwert liefert eine Anschauung zum Verhalten der Funktion in der Nähe der undefinierten Stelle. Die Unstetigkeit ist damit behoben worden.

Allgemein gilt: Liegen die zu untersuchenden Funktionen als rationale Polynome der Art vor, findet man den Grenzwert für die undefinierte Stelle durch Division von Zähler und Nenner durch die Nullstelle (\( x - x_0 \)).

\( y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} } \frac{ {\sum\limits_{n = 0}^N { {a_n}{x^n} } } }{ {\sum\limits_{m = 0}^M { {b_m}{x^m} } } } = \mathop {\lim}\limits_{x \to {x_0} } \frac{ {\left( {\sum\limits_{n = 0}^N { {a_n}{x^n} } } \right)/\left( {x - {x_0} } \right)} }{ {\sum\limits_{m = 0}^{M - 1} { { {b'}_m}{x^m} } } } \) Gl. 15

Grenzwertbestimmung durch geeignete Substitution

Auch die Funktion \( y = \frac{2}{ {1 + {2^{\frac{1}{x} } } } } \) ist für x → 0 nicht bestimmt, da \( \frac{1}{x} → ∞ \).

Mit der Substitution für \(u = \frac{1}{x}\) wird \( \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{ {1 + {2^{\frac{1}{x} } } } } = \mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \frac{2}{ {1 + {2^u} } } \)

Funktion mit Sprung Abbildung 10

Hier liegt allerdings eine Unstetigkeit anderer Art vor (siehe Abbildung 10). Diese Funktion hat an der Stelle x=0 einen Sprung, daher sind zwei Fälle zu beachten:

a) u → +∞ (rechtsseitiger Grenzwert, d.h. x nähert sich von rechts der 0: x → +0)

\( \mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \frac{2}{ {1 + {2^u} } } = \frac{2}{\infty } = 0 \)

b) u → -∞ (linksseitiger Grenzwert, d.h. x nähert sich von links der 0: x → -0)

\( \mathop {\lim }\limits_{u \to - \infty } \frac{2}{ {1 + {2^u} } } = \mathop{\lim }\limits_{u \to \infty } \frac{2}{ {1 + {2^{ - u} } } } = \mathop {\lim}\limits_{u \to \infty } \frac{2}{ {1 + \frac{1}{ { {2^u} } } } } = \frac{2}{ {1 + 0} } = 2 \)

Unterscheiden sich links- und rechtsseitiger Grenzwert, kann mit der Berechnung der Grenzwerte die Unstetigkeit der Funktion nicht behoben werden, es liegt eine nichthebbare Unstetigkeit vor.

Verwendung von Näherungen

Neben der Substitutionsmethode gibt es für die Gewinnung von Grenzwerten noch andere Verfahren. Eine weitere Methode ist die Verwendung von Näherungen für die betrachtete Funktion.

Beispiel:

Eine in der Physik wichtige Funktion ist die Spaltfunktion \(y = \frac{ {\sin (x)} }{x}\)

Spaltfunktion

Diese Funktion ist für x → 0 nicht bestimmt, da \( \frac{0}{0} \). Mit der Näherung für \( \sin x \approx x - \frac{ { {x^3} } }{ {3!} } + \frac{ { {x^5} } }{ {5!} } - ... \) ist der gesuchte Grenzwert sehr leicht zu bestimmen:

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{ {\sin x} }{x} = \mathop {\lim}\limits_{x \to 0} \frac{ {x - \frac{ { {x^3} } }{ {3!} } + - ...} }{x} = 1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{ { {x^2} } }{ {3!} } + - ... = 1 - 0 = 1 \)

Einschließungsverfahren

Das Einschließungsverfahren ist eine geeignete Methode zur Grenzwertberechnung. Der Name rührt daher, dass die Funktion, die eine Lücke aufweist, durch andere Funktionen ohne eine solche Lücke eingeschlossen wird. Dann wird die Lücke dadurch geschlossen, dass der Funktionswert der einschließenden Funktion(en) als Grenzwert der unbekannten Funktion genommen wird.

Das Verfahren wird an der schon bekannten Spaltfunktion demonstriert. Der Funktionswert von \(y = \frac{ {\sin (x)} }{x}\) ist für x → 0 nicht definiert. Zur Grenzwertbestimmung wird eine Abschätzung der Flächen, die durch die Gerade, die im Winkel x vom Koordinatenursprung ausgeht, die Abszisse und die jeweilige Begrenzung am rechten Rand aufgespannt werden, vorgenommen. Es gilt die Ungleichung:

\(\frac{ {\sin (x)\cos (x)} }{2} \le \frac{x}{2} \le \frac{1}{2} \cdot \tan (x)\) Gl. 16

Beachte, dass die Flächen durch den Einheitskreis (r = 1) begrenzt werden. Ferner wird der Winkel x im Bogenmaß angegeben, was zur Folge hat, dass die Fläche eines Kreissegmentes mit dem Winkel x gleich \( 1^2 · \frac{x}{2} = \frac{x}{2} \) ist (Fläche des Vollkreises ist π·r², der Bogen des Vollkreises aber 2·π·r).

Sinus und Kosinus am Einheitskreis, 1. Quadrant

Umformen:

\(\sin (x)\cos (x) \le x \le \frac{ {\sin (x)} }{ {\cos (x)} }\) Gl. 17

Division durch sin(x):

\(\cos (x) \le \frac{x}{ {\sin (x)} } \le \frac{1}{ {\cos (x)} }\) Gl. 18

Kehrwertbildung (beachte, dass durch die Kehrwertbildung eine Umkehrung der größer-Relation eintritt!)

\( \frac{1}{ {\cos (x)} } \ge \frac{ {\sin (x)} }{x} \ge \cos (x) \) Gl. 19

Für x → 0 wird die gesuchte Funktion von einer oberen und einer unteren Funktion eingeschränkt, die beide nach 1 tendieren. Folglich tendiert auch die gesuchte Funktion nach 1. Also

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{ {\sin (x)} }{x} = 1 \) Gl. 20

Rechnen mit Grenzwerten

Summe/Differenz zweier Funktionen

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to g} \left[ { {f_1}(x) \pm {f_2}(x)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to g} {f_1}(x) \pm \mathop {\lim}\limits_{x \to g} {f_2}(x) \) Gl. 21

Produkt zweier Funktionen

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to g} \left[ { {f_1}(x) \cdot {f_2}(x)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to g} {f_1}(x) \cdot \mathop{\lim }\limits_{x \to g} {f_2}(x) \) Gl. 22

Quotienten zweier Funktionen

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to g} \left[ {\frac{ { {f_1}(x)} }{ { {f_2}(x)} } } \right] = \frac{ {\mathop {\lim }\limits_{x \to g} {f_1}(x)} }{ {\mathop {\lim }\limits_{x \to g} {f_2}(x)} } \quad \text{ wenn } \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to g} {f_2}(x) \ne 0 \) Gl. 23

Wichtige Grenzwerte

Ohne Beweis seien hier die Grenzwerte folgender Funktionen angegeben:

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x} } \right)^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x} } } = e \quad \text{ (Eulersche Zahl) } \) Gl. 24

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{a}{x} } \right)^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + a \cdot x} \right)^{\frac{1}{x} } } = {e^a} \) Gl. 25

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{ { {e^x} - 1} }{x} } \right) = 1 \) Gl. 26

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x \cdot \ln x} \right) = 0 \) Gl. 27

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{ {\sin x} }{x} = 1 \quad \text{ (Spaltfunktion) } \) Gl. 28

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{ { {x^n} - {a^n} } }{ {x - a} } = n \cdot {a^{n - 1} } \) Gl. 29

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