Wissen: Integration

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Einführung Integration

Die Integration bestimmt den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen einem von einer Funktion bestimmten Kurvenzug und der x-Achse (unbestimmtes Integral) aufgespannt bzw. zusätzlich durch Anfangs- und Endwerte beschränkt (bestimmtes Integral) wird.

Abbildung 17
Integration zur Flächenbestimmung zwischen Graphen und x-Achse
Abbildung 17: Integration zur Flächenbestimmung zwischen Graphen und x-Achse

Zur Berechnung der Fläche unter der Kurve wird diese in infinitesimal kleine Streifen der Breite Dx zerlegt. Ihr Flächeninhalt ergibt sich aus dem Produkt von Funktionswert f(x) und Δx (Abbildung 18):

\( \Delta F = f(x) \cdot \Delta x \) Gl. 122

Abbildung 18
Integration: Streifen für Flächeninhalt
Abbildung 18: Integration: Streifen für Flächeninhalt

Durch Aufsummation aller Streifen innerhalb eines bestimmten Intervalls wird der Flächeninhalt der gesamten Fläche bestimmt:

\( F = \mathop {\lim }\limits_{\Delta F \to 0} \sum\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {\Delta F} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \sum\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {f(x) \cdot \Delta x = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {f(x) \cdot dx} } \) Gl. 123

Beim Grenzübergang Δx→0 geht das diskrete Summenzeichen \(\sum {} \) in das kontinuierliche Integralzeichen \(\int {} \) über. Die Funktion F(x) heißt Stammfunktion von f(x). Die Funktion f(x) hingegen wird Integrand genannt.

Elementare Eigenschaften von Integralen

Summe von Funktionen:

\(F\left( x \right) = \int { {f_1}(x) \pm {f_2}\left( x \right)dx} = \int { {f_1}(x)dx\,\, \pm \int { {f_2}\left( x \right)dx} } \) Gl. 124

Multiplikation mit einer Konstanten:

\( F\left( x \right) = \int {c \cdot f\left( x \right)dx} = c \cdot \int {f\left( x \right)dx} \) Gl. 125

Zusammenhang von Integration und Differenziation

Die Integration ist die inverse Operation der Differenziation und umgekehrt.

Es gilt:

\( \frac{ {dF(x)} }{ {dx} } = f(x) \quad \Rightarrow \quad F\left( x \right) = \int {f(x)dx} \) Gl. 126

Beweis:

\(\frac{ {dF(x)} }{ {dx} } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\int {f(x + \Delta x)dx - \int {f(x)dx} } } }{ {\Delta x} }\) und da \(f\left( {x + \Delta x} \right) = f(x) + \Delta f(x)\) Gl. 127

\(\frac{ {dF(x)} }{ {dx} } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\int {\left( {f(x) + \Delta f(x)} \right)dx - \int {f(x)dx} } } }{ {\Delta x} }\) Gl. 128

Auflösung der Summe unter dem Integral nach Gl. 125:

\(\frac{ {dF(x)} }{ {dx} } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\int {f(x)dx + \int {\Delta f(x)} dx - \int {f(x)dx} } } }{ {\Delta x} } \) Gl. 129

\(\frac{ {dF(x)} }{ {dx} } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\int {\Delta f(x)dx} } }{ {\Delta x} }\) Gl. 130

\(\frac{ {dF(x)} }{ {dx} } = \int {\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\Delta f(x)} }{ {\Delta x} } } dx = \int {\frac{ {df(x)} }{ {dx} } } dx = \int {df(x)} = f(x)\) Gl. 131

q.e.d.

Weil nun nach jeder Differenziation konstante Summanden zu Null werden, gilt für beliebige Werte von C stets:

\(\frac{ {d\left( {F(x) + C} \right)} }{ {dx} } = f(x)\) Gl. 132

Folglich ist im Umkehrschluss stets zu berücksichtigen, dass bis auf eine konstante Größe C jede integrierte Funktion eindeutig bestimmt ist:

\(F\left( x \right) = \int {f(x)} dx\,\, + \,\,C\) Gl. 133

Abbildung 19 veranschaulicht, dass alle drei Funktionen die gleiche Ableitung haben.

Abbildung 19
Verschiedene Funktionen mit gleicher Ableitung
Abbildung 19: Verschiedene Funktionen mit gleicher Ableitung

Umgekehrt bedeutet das, dass das Integral der Funktion f(x) beliebig viele Lösungen haben kann, die aber bis auf eine Konstante C gleich sind.

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Wegen der Mehrdeutigkeit der sog. unbestimmten Integrale, also der Integrale, die nicht auf bestimmte Anfangs- oder Endwerte festgelegt sind, wird die Konstante C bei der Lösung unbestimmter Integrale als Ausdruck der Lösungsvielfalt hinzugesetzt. Anders bei den bestimmten Integralen. Bestimmte Integrale zeichnen sich durch die Angabe von Anfangs- und Endwert im Integrationszeichen aus:

\( F = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {f(x)} dx\, = F({x_2}) + C - \left( {F({x_1}) + C} \right) = F({x_2}) - F({x_1}) \) Gl. 134

oder abgekürzt:

\( F = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {f(x)} dx\, = \left. {F(x)} \right|_{ {x_1} }^{ {x_2} } = F({x_2}) - F({x_1}) \) Gl. 135

Sein Wert ist durch die Differenz der Integrale aus Endwert F(x2) und Anfangswert F(x1) gegeben (Gl. 134). Durch diese Operation wird der unbestimmte Ausdruck F(x) zu einer konkreten, d.h. bestimmten Fläche F, die unbestimmte Konstante C verschwindet. Abbildung 20 verdeutlicht die Berechnung der konkreten Fläche, also des bestimmten Integrals durch die Differenzbildung.

Andererseits ist bei der Flächenberechnung zu beachten, dass es positive, aber auch negative Flächen gibt. Veranschaulicht man sich noch einmal das Prinzip der Integration (Abbildung 18), wird deutlich, dass negative Funktionswerte zu negativen Flächen führen (Abbildung 21). Soll also die Absolutfläche unter einer Kurve berechnet werden, die Nulldurchgänge aufweist, so ist die Ausführung der bestimmten Integration abschnittsweise durchzuführen.

Abbildung 20
Bestimmte Integration abschnittsweise
Abbildung 20: Bestimmte Integration abschnittsweise

Die Integrationsgrenzen der Abschnitte sind dann entsprechend der Nulldurchgänge zu wählen:

\( F = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {f(x)} dx\, = \left| {\left. {F(x)} \right|_{ {x_1} }^{ {x_0} } } \right| + \left| {\left. {F(x)} \right|_{ {x_0} }^{ {x_2} } } \right|\,\,... \) Gl. 136

Abbildung 21
Integrationsgrenzen und Nulldurchgänge
Abbildung 21: Integrationsgrenzen und Nulldurchgänge

Beispiel:

Gesucht ist die Fläche unter der Cosinus-Kurve \(f(x) = \cos (2\pi x)\) in den Grenzen von x = 0 bis x = π.

Lösung:

\( F = \left| {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2} } {\cos (2\pi \cdot x)} dx} \right| + \left| {\int\limits_{\frac{\pi}{2} }^\pi {\cos (2\pi \cdot x)} dx} \right| \)

\( F = \left| {\frac{1}{ {2\pi } }\left( { - \sin \left( {2\pi \cdot x} \right)} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2} } + \left| {\frac{1}{ {2\pi } }\left( { - \sin \left( {2\pi \cdot x} \right)} \right)} \right|_{\frac{\pi }{2} }^\pi = \frac{1}{\pi } \)

Lösung von Integralen

Dank des Zusammenhanges zwischen Integration und Differenziation ist die Lösung elementarer Integrale einfach dadurch möglich, dass die im Kapitel Wichtige Differenziale aufgeführten Differenziale in umgekehrter Richtung angewendet werden.

Beispiel:

Die Integration von \(f(x) = \frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad F\left( x \right) = \int {\frac{1}{x}dx = \ln (x) + C} \) erfolgt in Umkehrung entsprechend Gl. 44.

Dennoch reicht die Kenntnis dieser sog. elementaren Integrale bei weitem nicht aus, alle Integrale zu lösen. Hier sind wieder Regeln und Methoden erforderlich, Integrale komplexer Integranden auf Grundintegrale zurückzuführen.

Substitutionsverfahren

Das Substitutionsprinzip beruht auf einer geeigneten Wahl des Substituenten, der sich am Typ des Integranden orientiert. So werden

a) Integrale vom Typ

\( F\left( x \right) = \int {f(x)} dx = \int {f(\phi (x))} dx \) Gl. 137

wobei \(\phi \left( x \right) = a \cdot x + b\)

durch die Substitution der inneren Funktion gelöst, wenn das Integral der Funktion \(F\left( x \right) = \int {f(x)} dx\) bekannt ist. Mit der Substitution

\( z = \phi (x) \quad \Rightarrow \quad \frac{ {dz} }{ {dx} } = \phi ' \) Gl. 138

wird Gl. 137 zu

\( F\left( z \right) = \int {f(z)} \frac{ {dz} }{ {\phi '(x)} } + C \) Gl. 139

Beispiel:

Gesucht ist \(F\left( x \right) = \int { { {\left( {ax + b} \right)}^3} } dx\).

Substitution: \( z = \left( {ax + b} \right) \quad \Rightarrow \quad \frac{ {dz} }{ {dx} } = a \)

Damit wird: \( F\left( x \right) = \frac{1}{a}\int { { {\left( z \right)}^3} } dz = \frac{1}{ {4a} }{z^4} + C \)

Rücksubstitution: \( F\left( x \right) = \frac{1}{ {4a} }{\left( {ax + b} \right)^4} + C \)

b) Integrale vom Typ

\( F\left( x \right) = \int {f(x)} dx = \int {f(\phi (x))} \phi '\left( x \right)dx \) Gl. 140

Werden wie folgt behandelt:

\( \phi '(x) = \frac{ {d\phi } }{ {dx} } \) Gl. 141

Einsetzen von Gl. 141 in Gl. 140 ergibt:

\( F\left( x \right) = \int {f(\phi (x))} \frac{ {d\phi } }{ {dx} }dx = \int {f(\phi (x))} d\phi \) Gl. 142

In diesem Fall lautet die Substitution:

\(z = \phi (x)\) Gl. 143

Beispiel 1:

Gesucht ist \(F\left( x \right) = \int {\sin x \cdot \cos x\,} dx\). Typ: \( F\left( x \right) = \int {f\left( x \right) \cdot f'\left( x \right)\,} dx \)

Substitution: \( z = \sin x \quad \Rightarrow \quad \frac{ {dz} }{ {dx} } = \cos x \)

ergibt: \(F\left( z \right) = \int {z\,} dz = \frac{1}{2}{z^2} + C\)

Rücksubstitution: \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{\sin^2}\left( x \right) + C\)

Beispiel 2:

Gesucht ist \( F\left( x \right) = \int {\frac{ {\ln x} }{x}\,} dx\). Typ: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right) \cdot f'\left( x \right)\,} dx \)

Substitution: \( z = \ln x \quad \Rightarrow \quad \frac{ {dz} }{ {dx} } = \frac{1}{x} \)

ergibt: \( F\left( z \right) = \int {z\,} dz = \frac{1}{2}{z^2} + C \)

Rücksubstitution: \( F\left( x \right) = \frac{1}{2}{\left( {\ln x} \right)^2} + C \)

Beispiel 3:

Gesucht ist \( F\left( x \right) = \int {\frac{ {\sin x} }{ {\cos x} }\,} dx\). Typ: \( F\left( x \right) = \int{\frac{ {f'\left( x \right)} }{ {f\left( x \right)} }\,} dx \)

Substitution: \( z = \cos x \quad \Rightarrow \quad \frac{ {dz} }{ {dx} } = - \sin x \)

ergibt: \(F\left( z \right) = \int {\frac{ {\sin x} }{z}\,} \frac{1}{ { - \sin x} }dz = \int {\frac{1}{ { - z} }\,} dz = - \int {\frac{1}{z}\,} dz = - \ln (z) + C\)

Rücksubstitution: \(F\left( x \right) = - \ln \left( {\cos x} \right) + C\)

Beispiel 3 zeigt, dass die geeignete Wahl der Substitution sehr wichtig ist. Denn eine Substitution gemäß \(F\left( x \right) = \int{\frac{ {f\left( x \right)} }{ {f'\left( x \right)} }\,} dx\) wäre nicht erfolgreich gewesen.

c) Integrale vom Typ

\( F\left( x \right) = \int {f\left( {\sqrt { {a^2} - {x^2} } } \right)} dx \) Gl. 144

Werden durch Substitution von \(x = a\sin \left( z \right) \quad \Rightarrow \quad \frac{ {dx} }{ {dz} } = a\cos \left( z \right)\) gelöst. Der Wurzelausdruck vereinfacht sich durch die Substitution zu:

\(\sqrt { {a^2} - {x^2} } = a\sqrt {1 - { {\sin }^2}(z)} = a\cos (z)\)

Der Ausdruck \( f\{ \} \) steht hierbei für beliebige rationale Formen des Argumentes der Funktion f. Ausdrücke wie \( f\{ \}^n \) oder \( \frac{f\{ \}^n}{f\{ \}^m} \), wobei n, m ∈ Z.

Beispiel 3:

Gesucht ist die von einem Vollkreis mit dem Radius R eingeschlossene Fläche. Die beschreibende Funktion lautet: \(y = \pm \sqrt { {R^2} - {x^2} } \) (Satz des Pythagoras). Da der Kreis symmetrisch zur x-Achse ist, genügt es, die Fläche des positiven Halbkreises zu berechnen und den so gefundenen Wert zu verdoppeln.

\( F = 2 \cdot \int\limits_{ - R}^R {\sqrt { {R^2} - {x^2} } dx} \)

Substitution: \( x = R\sin \left( z \right) \quad \Rightarrow \quad \frac{ {dx} }{ {dz} } = R\cos \left( z \right) \)

Diese Substitution verändert auch die Integrationsgrenzen:

aus \( x = \pm R \quad \Rightarrow \quad z = \pm \frac{\pi }{2} \)

ergibt: \( F = 2 \cdot \int\limits_{ - R}^R {\sqrt { {R^2} - {x^2} } dx} = 2 \cdot \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {R \cdot \cos (z) \cdot R \cdot \cos (z)dz = 2 \cdot {R^2}\int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} { { {\cos }^2}(z)dz} } \)

dieses Integral wird durch partielle Integration gelöst und ergibt:

\( F = 2 \cdot {R^2}\int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} { { {\cos}^2}(z)dz} = \left. {2 \cdot {R^2}\frac{1}{2}\left( {z + \sin (z) \cdot \cos (z)} \right)} \right|_{ - \pi /2}^{\pi /2} \)

da cos(±p/2)=0: \(F = {R^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \left( { - \frac{\pi }{2} } \right)} \right) = \pi \cdot {R^2}\)

d) Integrale vom Typ

\(F\left( x \right) = \int {f\left( {\sqrt { {a^2} + {x^2} } } \right)} dx\) Gl. 145

Werden analog zu c) durch Substitution von \(x = a\sinh \left( z \right)\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\frac{ {dx} }{ {dz} } = a\cosh \left( z \right)\) gelöst. Die Substitution mit Hilfe der Hyperbolicus-Funktionen beruht auf deren Eigenschaft, dass

\( {\cosh ^2}\left( x \right) - {\sinh ^2}\left( x \right) = 1 \) Gl. 146

Der Wurzelausdruck vereinfacht sich durch die Substitution zu:

\(\sqrt { {a^2} + {x^2} } = a\sqrt {1 + { {\sinh }^2}(z)} = a\cosh (z)\)

e) Integrale vom Typ

\( F\left( x \right) = \int {f\left( {\sqrt { {x^2} - {a^2} } } \right)} dx \) Gl. 147

werden durch Substitution von \(x = a\cosh \left( z \right)\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\frac{ {dx} }{ {dz} } = a\sinh \left( z \right)\) gelöst. Der Wurzelausdruck vereinfacht sich durch die Substitution zu:

\( \sqrt { {x^2} - {a^2} } = a\sqrt { { {\cosh }^2}(z) - 1} = a\sinh (z) \)

f) Integrale vom Typ

\( F\left( x \right) = \int {f(\sin (x);\cos (x);\tan (x);\cot(x))} dx \) Gl. 148

wobei f{} auch hier für eine beliebige rationale Operation steht, werden durch Substitution von

\( z = \tan \left( {\frac{x}{2} } \right) \Rightarrow x = 2\arctan \left( z \right) \Rightarrow \quad \frac{ {dx} }{ {dz} } = \frac{2}{ {1 + {z^2} } } \) Gl. 149

gelöst. Allerdings gestaltet sich die Ausführung der Substitution des Integranden aufwändiger als in den vorangegangenen Fällen.

Ohne Herleitung seien hier aufgeführt:

\( \sin (x) = \frac{ {2z} }{ {1 + {z^2} } }; \quad \cos (x) = \frac{ {1 - {z^2} } }{ {1 + {z^2} } }; \quad \tan (x) = \frac{ {2z} }{ {1 - {z^2} } }; \quad \cot(x) = \frac{ {1 - {z^2} } }{ {2z} } \)

Beispiel 4:

Gesucht ist \(F\left( x \right) = \int {\frac{1}{ {\sin(x)} } } dx\).

Substitution entsprechend Gl. 149

\(F\left( x \right) = \int {\frac{1}{ {\sin (x)} } } dx \quad \Rightarrow \quad \int {\frac{ {1 + {z^2} } }{ {2z} }\frac{2}{ {1 + {z^2} } } } dz = \ln (z)\)

Rücksubstitution:

\( F\left( x \right) = \int {\frac{1}{ {\sin (x)} } } dx = \ln (\tan \frac{x}{2}) \)

Partielle Integration (Produktregel)

Die Produktregel der Differenziation liefert eine weitere Lösungsmethode für eine bestimmte Gruppe von Integralen:

\( (u \cdot v)' = v(x) \cdot u'(x) + u(x) \cdot v'(x) \) Gl. 150

integrieren und umstellen von Gl. 150

\( u \cdot v = \int {v(x) \cdot u'(x)dx} + \int {u(x) \cdot v'(x)dx} \) Gl. 151

\( \int {u(x) \cdot v'(x)dx} = u \cdot v - \int {v(x) \cdot u'(x)dx} \) Gl. 152

Beispiel 1:

Gesucht ist \(F\left( x \right) = \int {x \cdot \sin x\,}dx\)

mit \(u(x) = x\) und \(v'(x) = \sin x \quad \Rightarrow \quad v(x) = - \cos x \)

folgt \(\int {x \cdot \sin xdx} = - x \cdot \cos x + \int{\cos x \cdot 1\,dx} = - x \cdot \cos x + \sin x + C\)

Die Anwendung von Gl. 152 auf potenzierte Winkelfunktionen führt auf die Anwendung rekursiver Lösungsmethoden.

Beispiel 2:

Gesucht ist \(F\left( x \right) = \int { { {\sin }^m}(x)\,} dx = \int { { {\sin }^{m - 1} }(x) \cdot \sin \left( x \right)\,} dx\)

mit \(u(x) = {\sin ^{m - 1} }(x)\) und \(v'(x) = \sin x \quad \Rightarrow \quad v(x) = - \cos x\)

sowie \(u'(x) = (m - 1){\sin ^{m - 2} }(x) \cdot \cos x\)

folgt \(\int { { {\sin }^m}(x)dx} = - {\sin ^{m - 1} }(x) \cdot \cos x + (m - 1)\int { { {\cos }^2}(x) \cdot { {\sin}^{m - 2} }(x)\,dx} \)

da \({\cos ^2}(x) = 1 - {\sin ^2}(x)\)

wird \(\int { { {\sin }^m}(x)dx} = - {\sin ^{m - 1} }(x) \cdot \cos x + (m - 1)\int {\left( {1 - { {\sin }^2}(x)} \right) \cdot { {\sin }^{m - 2} }(x)\,dx} \)

\(\int { { {\sin }^m}(x)dx} = - {\sin ^{m - 1} }(x) \cdot \cos x + (m - 1)\int { { {\sin }^{m - 2} }(x)\,dx} - (m - 1)\int{ { {\sin }^m}(x)\,dx} \)

umstellen \(\int { { {\sin }^m}(x)dx} = \frac{1}{m}\left[ { -{ {\sin }^{m - 1} }(x) \cdot \cos x + (m - 1)\int { { {\sin}^{m - 2} }(x)\,dx} } \right]\)

ergibt eine Rekursionsformel für Integrale dieser Art.

Mit n=3 wird \(\int { { {\sin }^3}(x)dx = - \frac{1}{3}{ {\sin}^2}(x)\cos (x) + \frac{2}{3}\int {\sin (x)dx} } \)

\(\int { { {\sin }^3}(x)dx = \frac{1}{3}\left( {2 - { {\sin}^2}(x)} \right)\cos (x)} \)

Elementar nicht lösbare Integrale

Integrale die direkt oder indirekt auf folgende Typen zurückgeführt werden können, sind elementar nicht lösbar. D.h. zur Lösung solcher Integrale müssen andere Methoden (z.B. numerische Integration, Reihenentwicklung des Integranden) gewählt werden.

\( F(x) = \int {\frac{ { {e^x} } }{x} } dx \) Gl. 153

\(F(x) = \int {\frac{ {\sin x} }{x} } dx\) Integralsinus Gl. 154

\( F(x) = \int {\frac{ {\cos x} }{x} } dx \) Gl. 155

\( F(x) = \int { {e^{ - {x^2} } } } dx \) GAUSSsches Fehlerintegral Gl. 156

\( F(x) = \int {\frac{1}{ {\sqrt {\left( {1 - {x^2} } \right)\left( {1 - k{x^2} } \right)} } } } dx \) elliptische Integrale Gl. 157

\( F(x) = \int {\sin \left( {\sin x} \right)} dx,\,\,\int {\cos\left( {\sin x} \right)} dx,\,\,\int {\sin \left( {\cos x} \right)} dx,\,\,\int {\cos \left( {\cos x} \right)} dx \) Gl. 158

Anwendungen

Die Anwendung der Integralrechnung ist nicht auf die Berechnung von Flächen unter einer Kurve beschränkt. Viele Anwendungen profitieren davon, dass die Integration allgemein formuliert eine Summation kleinster Elemente darstellt. Davon wird im folgenden Gebrauch gemacht.

Berechnung der Fläche zwischen Kurven

Es war das ursprüngliche Anliegen der Integralrechnung Flächen, die von Kurven eingeschlossen sind, zu berechnen. Der allgemeine Fall ist die Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven (Abbildung 22).

Abbildung 22
Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven
Abbildung 22: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven

Die Berechnung der zwischen den Funktionen f1(x) und f2(x) eingeschlossenen Fläche erfolgt dadurch, dass zunächst die Flächen unter den einzelnen Kurven bis zur x-Achse berechnet und anschließend von einander subtrahiert werden:

\( F = {F_1} - {F_2} = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } { {f_1}(x)dx - } \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } { {f_2}(x)dx = } \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {\left( { {f_1}(x) - {f_2}(x)} \right)dx} \) Gl. 159

Es ist offensichtlich, dass die Berechnung der Fläche unter einer einzelnen Kurve als Sonderfall von Gl. 159 angesehen werden kann.

Beispiel 1:

Es sei die Fläche zwischen einem Kreisbogen um den Koordinatenursprung mit dem Radius R = 2 und einer zur x-Achse im Abstand von a = 1 parallel verlaufenden Geraden zu bestimmen.

Flächen zwischen Kreisbogen und Gerade

Lösung:

Mit der Kreisgleichung \(y = \pm \sqrt { {R^2} - {x^2} } \) (nach Pythagoras) für den Vollkreis und der Einschränkung auf den positiven Halbkreis wird Gl. 159 zu:

\( F = {F_1} - {F_2} = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {\sqrt{ {R^2} - {x^2} } dx - } \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {a \cdot dx} \)

Nun müssen die Integrationsgrenzen x1 und x2 bestimmt werden:

\(y - a = \sqrt { {R^2} - {x_{1,2} }^2} - a = 0\)

\({R^2} - {x_{1,2} }^2 = {a^2} \quad \Rightarrow \quad {x_{1,2} } = \pm \sqrt { {R^2} - {a^2} } \)

Die Lösung für das Integral wurde im Kapitel Substitutionsverfahren, Beispiel 3 bereits hergeleitet (wobei aber hier die Rücksubstitution ausgeführt wurde):

\(F = \left. { {R^2}\frac{1}{2}\left( {\arcsin \frac{x}{R} + \frac{x}{ { {R^2} } }\sqrt { {R^2} - {x^2} } } \right)} \right|_{ {x_1} }^{ {x_2} } \)

Da beide Summanden ungerade Funktionen sind, addieren sich die Integralwerte für die obere und untere Grenze:

\(F = {R^2}\left( {\arcsin \frac{ {\sqrt { {R^2} - {a^2} } } }{R} + \frac{ {\sqrt { {R^2} - {a^2} } } }{ { {R^2} } }a} \right)\)

Einsetzen von R = 2 und a = 1:

\(F = 4\left( {\arcsin \frac{ {\sqrt 3 } }{2} + \frac{ {\sqrt 3 } }{4}1} \right) = 1,480...\)

Beispiel 2:

Es sei die gleiche Aufgabe wie in Beispiel 1 mit Hilfe der Polarkoordinate- Darstellung zu lösen.

Flächen zwischen Kreisbogen und Gerade - Polarkoordinaten

Lösung: Zunächst wird ermittelt, wie die Berechnung von infinitesimalen Flächenelementen erfolgen kann. Das Flächenelement dF wird durch ein Dreieck angenähert, dass flächenmäßig dem halben Rhombus, dessen Fläche durch das Produkt Seitenlänge (R) mal Höhe R×sin(dj)»R×dj gegeben ist:

\( dF = \frac{1}{2} \cdot {R^2} \cdot d\phi \)

Durch Integration wird die gesuchte Fläche gefunden. Im Falle des Kreises ist der Radius unabhängig vom Winkel, kann also als Konstante vor das Integral gezogen werden:

\( F = \frac{1}{2}{R^2}\int\limits_{ {\phi _1} }^{ {\phi _2} } {d\phi } = \frac{1}{2}{R^2}\left( { {\phi _2} - {\phi _1} } \right) \)

Die Integrationsgrenzen werden, da hier über einen Winkel integriert wird, so ermittelt:

\( \sin {\phi _{1,2} } = \frac{a}{R} \quad \Rightarrow \quad {\phi _1} = \arcsin \frac{a}{R};\,\,\,{\phi _2} = \pi - \arcsin \frac{a}{R} \)

einsetzen

\( F = \frac{1}{2}{R^2}\left( {\pi - 2 \cdot \arcsin \frac{a}{R} } \right) = {R^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \arcsin \frac{a}{R} } \right) \)

Der Flächenanteil, herrührend von der eingrenzenden Linie a, wird übernommen, da dessen Berechnung in Polarkoordinaten unvorteilhaft ist. Daher lautet der Ausdruck für die Differenzfläche:

\(F = {R^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \arcsin \frac{a}{R} + \frac{ {\sqrt { {R^2} - {a^2} } } }{ { {R^2} } }a} \right)\)

mit den Werten für R = 2 und a = 1 ergibt sich:

\(F = 4\left( {\frac{\pi }{2} - \arcsin \frac{1}{2} + \frac{ {\sqrt 3 } }{4}1} \right) = 1,480...\)

Mittelwertberechnung

Für integrierbare Funktionen kann in einem vorgegebenen Intervall der mittlere Funktionswert durch Integration bestimmt werden.

Abbildung 23
Mittelwertberechnung: Mittlere Funktionswert durch Integration im vorgegebenen Intervall
Abbildung 23: Mittelwertberechnung: Mittlere Funktionswert durch Integration im vorgegebenen Intervall

Dazu wird die flächenberechnende Eigenschaft der bestimmter Integrale genutzt, indem eine zu der Integralfläche äquivalente Rechteckfläche im gleichen Intervall berechnet wird. Wird diese Fläche durch die Intervallgröße (Kantenlänge) dividiert, ergibt sich ein mittlerer Funktionswert für dieses Intervall (Abbildung 23). Der mittelwert berechnet sich zu

\( \left. {\overline f \left( x \right)} \right|_{ {x_1} }^{ {x_2} } = \frac{1}{ { {x_2} - {x_1} } }\int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {f\left( x \right)dx} \) Gl. 160

Berechnung der Bogenlänge

Die Berechnung der Länge eines Weges längs eines vorgegebenen Funktiosverlaufes beruht auf der Summation von Wegstücken längs dieser Kurve. Dabei werden die kleinen, aber endlich großen Wegstücke Δs durch den Grenzübergang Δs → 0 in unendlich kleine Wegelemente ds überführt.

Damit erfolgt die Berechnung der Gesamtlänge einfach durch Integration aller Teilstücke:

\( S = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {ds} \) Gl. 161

Nun kann aber das Wegstück ds durch Anwendung des Satzes von Pythagoras auf die Elemente dx und dy zurückgeführt werden (Abbildung 24).

Das infinitesimal kleine Bogenelement Δs ergibt sich zu:

\( ds = \sqrt { { {\left( {dx} \right)}^2} + { {\left( {dy} \right)}^2} } \) Gl. 162

einsetzen in Gl. 161:

\( S = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {\sqrt { { {\left( {dx} \right)}^2} + { {\left( {dy} \right)}^2} } = } \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {\sqrt {1 + { {\left( {\frac{ {dy} }{ {dx} } } \right)}^2} } dx = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {\sqrt {1 + { {\left( {y'\left( x \right)} \right)}^2} } dx} } \) Gl. 163

ergibt die Berechnungsvorschrift für die Weglänge.

Abbildung 24
dx / dy und Satz des Pythagoras zur Wegbestimmung
Abbildung 24: dx / dy und Satz des Pythagoras zur Wegbestimmung

Beispiel 1:

Es sei die Bogenlänge eines Kreissegments von x=-R bis x=R zu berechnen.

Für dieses Kreissegment gilt die Beziehung:

\(y = \sqrt { {R^2} - {x^2} } \) wobei R der Radius des Kreises ist.

erste Ableitung:

\(y' = \frac{1}{ {2 \cdot \sqrt { {R^2} - {x^2} } } } \cdot \left( { - 2x} \right) = - \frac{x}{ {\sqrt { {R^2} - {x^2} } } }\)

in Gl. 163 einsetzen

\(S = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {\sqrt {1 + { {\left( {y'\left( x \right)} \right)}^2} } dx} = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {\sqrt {1 + \frac{ { {x^2} } }{ { {R^2} - {x^2} } } } dx} = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {\sqrt {\frac{ { {R^2} } }{ { {R^2} - {x^2} } } } dx} \)

und umformen:

\( S = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {\sqrt{\frac{ { {R^2} } }{ { {R^2} - {x^2} } } } dx = } \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {\frac{1}{ {\sqrt {1 - { {\left({\frac{x}{R} } \right)}^2} } } }dx \text{ mit } z = \frac{x}{R} \quad \Rightarrow \quad dx = R \cdot dz} \)

das Integral ist nach Substitution elementar lösbar:

\( S = R\int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {\frac{1}{ {\sqrt {1 - { {\left( z \right)}^2} } } }dz = R \cdot } \left. {\arcsin \left( z \right)} \right|_{z = - 1}^{z = 1} = R \cdot \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2} } \right) = R \cdot \pi \)

Bisweilen ist es einfacher, die Integration in einer alternativen Darstellung der Kurve vorzunehmen:

Beispiel 2:

Berechnung der Bogenlänge eines Kreissegments in Polarkoordinaten.

Für dieses Kreissegment gilt die Beziehung:

\(y = R \cdot \sin \phi ; & x = R \cdot \cos \phi \) wobei R der Radius des Kreises ist.

erste Ableitung:

\(\frac{ {dy} }{ {d\phi } } = R \cdot \cos \phi ; & \frac{ {dx} }{ {d\phi } } = - R \cdot \sin \phi \)

in Gl. 163

\(S = \int\limits_{ {\phi _1} }^{ {\phi _2} } {\sqrt { { {\left({dx} \right)}^2} + { {\left( {dy} \right)}^2} } = } \int\limits_{ {\phi _1} }^{ {\phi _2} } {\sqrt { { {\left( {R \cdot \cos \phi } \right)}^2} + { {\left( { - R \cdot \sin \phi } \right)}^2} } \cdot d\phi = } R \cdot \int\limits_{ {\phi _1} }^{ {\phi _2} } {\sqrt { { {\cos }^2}\phi + { {\sin }^2}\phi } } \cdot d\phi \)

da \({\cos ^2}\phi + {\sin ^2}\phi = 1\)

vereinfacht sich der Integrand:

\( S = R \cdot \int\limits_{ {\phi _1} }^{ {\phi _2} } 1 \cdot d\phi = \left. {R \cdot \phi } \right|_{ {\phi _1} }^{ {\phi_2} } \)

für einen Vollkreis mit j=2p ergibt sich die Bogenlänge zu:

\(S = 2R \cdot \pi \)

was ja dem Umfang eines Kreises entspricht.

Volumen rotationssymmetrischer Körper

Auch die Berechnung der Volumina von beliebig geformten Körpern ist mit Hilfe der Integralrechnung auf elementare Operationen zurückführbar. Hier soll dies am Beispiel rotationssymmetrischer Körper untersucht werden.

Abbildung 25
Volumen rotationssymmetrischer Körper - Integralrechnung
Abbildung 25: Volumen rotationssymmetrischer Körper - Integralrechnung

Zu diesem Zweck wird der Körper in Scheiben infinitesimal kleiner Dicke zerlegt. Das Volumen einer solchen Scheibe ergibt sich zu

\( dV = \pi \cdot {r^2}(x) \cdot dx \) Gl. 164

Der Radius der Scheibe ist gleich dem Funktionswert f(x) an dieser Stelle. Folglich ergibt sich das Gesamtvolumen zu:

\( V = \pi \cdot \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } { {f^2}(x)dx} \) Gl. 165

Beispiel:

Es sei das Volumen einer Kugel mit dem Radius R zu berechnen.

Lösung:

Das Kugelvolumen wird durch Rotation eines Halbkreises \(y = \sqrt { {R^2} - {x^2} } \)um die x-Achse bestimmt.

\(V = \pi \cdot \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } { {f^2}(x)dx = } \pi \cdot \int\limits_{ - R}^R { { {\left( {\sqrt { {R^2} - {x^2} } } \right)}^2}dx = \pi \cdot \left( {\int\limits_{-R}^R { {R^2}dx - \int\limits_{ - R}^R { {x^2}dx} } } \right)} \)

\( V = \left. {\pi \cdot \left( { {R^2}x - \frac{ { {x^3} } }{3} } \right)} \right|_{ - R}^R = 2\pi \left( { {R^3} - \frac{ { {R^3} } }{3} } \right) = \frac{ {4\pi } }{3}{R^3} \)

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