Wissen: Lineare Differenzialgleichungen

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Einführung Lineare Differenzialgleichungen

Neben der Vielzahl von Typen von Differenzialgleichungen sind lineare DGLn von besonderer Bedeutung. Lineare DGLn treten sehr häufig in naturwissenschaftlichen Aufgabenstellungen auf.

Eine lineare DGL ist dann gegeben, wenn alle Ableitungen der Funktion und die Funktion selber mit konstanten Koeffizienten gewichtet in einer Summe vorliegen.

\( {y^{(n)} }\left( t \right) + ... + {a_2}\ddot y\left( t \right) + {a_1}\dot y\left( t \right) + {a_0}y\left( t \right) = g(t) \) Gl. 234

g(t) ist eine Störfunktion und nicht von y(t) abhängig.

Lineare DGL 1. Ordnung

Die einfachste lineare DGL ist vom Typ

\( \dot y\left( t \right) + a \cdot y\left( t \right) = g(t) \) Gl. 235

Die Lösung erfolgt in der Regel so, dass zunächst eine Lösung für die homogene und anschließend, wenn erforderlich, auf die homogene Lösung aufbauend eine Lösung der inhomogenen Aufgabe gesucht wird.

Lösung durch Trennung der Variablen

Zunächst wird die Aufgabe so modifiziert, wenn sie nicht schon als homogene Aufgabe vorliegt, dass durch Setzen von \(g(t) = 0\) die DGL homogenisiert wird.

\( \dot y\left( t \right) + a \cdot y\left( t \right) = 0 \) Gl. 236

In dieser Form kann jetzt eine Trennung der Variablen durchgeführt werden, indem das Differenzial \(\dot y\left( t \right) = \frac{ {dy} }{ {dt} }\) formal wie ein Quotient betrachtet wird:

\( \frac{ {dy} }{ {dt} } + a \cdot y = 0 \) Gl. 237

Trennung der Variablen

\( \frac{ {dy} }{y} = - a \cdot dt \) Gl. 238

Nunmehr kann auf beiden Seiten eine unbestimmte Integration angewendet werden

\( \int {\frac{ {dy} }{y} } = - a \cdot \int {dt} \) Gl. 239

also \(\ln \left( y \right) + C = - at\) und schließlich

\( y = K \cdot {e^{ - at} } \) Gl. 240

Wie bei jeder Integration, darf auch hier nicht das Hinzufügen einer unbestimmten Konstante vergessen werden, da diese ja bei der Differenziation verschwindet. Diese Konstante wird dazu benutzt, gewisse Randbedingungen in die Lösung einzuarbeiten.

Weil die Lösung der Differenzialgleichung durch Integration erfolgt, werden die Lösungen von Differenzialgleichungen auch Integrale der DGL genannt.

Beispiel:

Die Bestimmung der Flughöhe von Flugzeugen kann durch Messung des Luftdruckes nach der barometrischen Höhenformel erfolgen.

Zur Bestimmung der Abhängigkeit des Luftdruckes von der Höhe wird eine dünne Schicht der Atmosphäre betrachtet. In der Höhe h wirke der Luftdruck p(h). Mit steigender Höhe verringert sich der Luftdruck, so dass die Änderung des Luftdruckes sich gegensinnig zur Höhe verändert. Es gilt also

\(dp = - \rho \left( h \right) \cdot g \cdot dh\)

wenn r die Dichte der Luft in der Höhe h und g die Erdbeschleunigung ist.

Barometrische Höhenformel

Da die Dichte aber nicht bekannt ist, muss ein physikalischer Zusammenhang zwischen Druck und Dichte gefunden werden, dieser ist durch das Boyle-Marriotesche Gesetz gegeben

\(\frac{p}{ { {p_0} } } = \frac{\rho }{ { {\rho _0} } }\) \({p_0}\) und \({\rho _0}\) werden geeigneter Weise als Druck und Dichte in Höhe des Erdbodens (h=0) gewählt.

Jetzt kann die Differenzialgleichung aufgestellt und gelöst werden

\(dp = - p\frac{ { {\rho _0} } }{ { {p_0} } } \cdot g \cdot dh\)

\(\frac{ {dp} }{p} = - \frac{ { {\rho _0} } }{ { {p_0} } } \cdot g \cdot dh\)

\(p = K \cdot {e^{ - \frac{ { {\rho _0} } }{ { {p_0} } } \cdot gh} }\)

Bis auf die Konstante K ist der funktionelle Zusammenhang zwischen Druck und Höhe gegeben. Zur Bestimmung der Konstanten wird jetzt eine Randbedingung eingeführt, nämlich, dass der Lustdruck in der Höhe h=0 p0 betragen soll:

\({p_0} = K \cdot {e^0} = K\) damit folgt die vollständige barometrische Formel

\(p = {p_0} \cdot {e^{ - \frac{ { {\rho _0} } }{ { {p_0} } } \cdot gh} }\)

Lösung einer inhomogenen DGL 1. Ordnung

Eine inhomogene DGL wird mit Hilfe eines Ansatzes gelöst. Dabei wird die Lösung der homogenen DGL mit einer partikulären Lösung, die die inhomogene DGL erfüllt, überlagert.

\(y\left( t \right) = {y_h}\left( t \right) + {y_p}\left( t \right)\) Gl. 241

Die partikuläre Lösung wird durch Variation der Konstanten nach LAGRANGE (Joseph-Louis, 1736-1813) erhalten.

Wenn \({y_h}\left( t \right) = K \cdot {e^{ - at} }\) die Lösung der homogenen Aufgabe ist, wird jetzt die Konstante K ebenfalls als Variable betrachtet:

\( {y_h}\left( t \right) = K\left( t \right) \cdot {e^{ - at} } \) Gl. 242

Dieser Ansatz wird nun die inhomogene Aufgabe eingesetzt. Dabei ist zu beachten, dass beide Faktoren nach der Produktregel zu differenzieren sind:

\( {\dot y_h}\left( t \right) = \dot K\left( t \right) \cdot {e^{ - at} } - a \cdot K\left( t \right) \cdot {e^{ - at} } \) Gl. 243

\(\begin{array}{l}\dot y\left( t \right) \qquad + a \cdot y\left( t \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = g(t) \\ \dot K\left( t \right) \cdot {e^{ - at} } - a \cdot K\left( t \right) \cdot {e^{- at} } + a \cdot K\left( t \right) \cdot {e^{ - at} } = g(t)\end{array} \) Gl. 244

Vorteilhafter Weise verschwinden die Beiträge der homogenen Lösung, da die homogene Lösung ja die Lösung einer DGL ist, deren Störung zu Null gesetzt wurde.

\( \dot K\left( t \right) \cdot {e^{ - at} } = g(t) \) Gl. 245

umstellen

\( \dot K\left( t \right) = g(t) \cdot {e^{at} } \) Gl. 246

und Lösen durch Integration nach Trennung der Variablen

\( dK = \left( {g(t) \cdot {e^{at} } } \right)dt \) Gl. 247

\( K = \int {\left( {g(t) \cdot {e^{at} } } \right)dt + C} \) Gl. 248

Auch diese Integration liefert wieder eine Konstante, die ebenfalls durch Einarbeitung einer Randbedingung bestimmt werden kann.

Wird jetzt diese „Konstante“ in die ursprüngliche Lösung der homogenen Aufgabe eingesetzt, zeigt sich, dass die Lösung der inhomogenen Aufgabe tatsächlich als Superposition beider Aufgaben, der homogenen und der inhomogenen, darstellt:

\( y\left( t \right) = \left[ {\int {\left( {g(t) \cdot {e^{at} } } \right)dt + C} } \right] \cdot {e^{ - at} } = {e^{ - at} }\int {\left( {g(t) \cdot {e^{at} } } \right)dt + C \cdot {e^{ - at} } } \) Gl. 249

Beispiel:

Das im Beispiel gezeigte massefreie, frei bewegliche Federsystem (z.B. PKW-Stoßdämpfer im nichteingebauten Zustand) wird durch eine Reibung gedämpft. Die Kräftebilanz lautet

Federsystem

\({F_a}\left( t \right) = r \cdot \dot x + n \cdot x\)

Normieren auf die Reibungskonstante r ergibt die inhomogene DGL, deren Lösung für eine bestimmte äußere Kraft gesucht ist.

\(\frac{ { {F_a}\left( t \right)} }{r} = \dot x + \frac{1}{\tau } \cdot x\)

Worin \(\tau = \frac{r}{n}\) die Zeitkonstante des Systems darstellt.

1. Bestimmung der homogenen Aufgabe

\(\dot x + \frac{1}{\tau } \cdot x = 0\)

Nach Gl. 240 lautet die homogene Lösung

\(x\left( t \right) = K \cdot {e^{ - \frac{t}{\tau } } }\)

2. Lösung der inhomogenen Aufgabe

geg. Sei

\({F_a}\left( t \right) = \hat F \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\)

worin \(\omega = 2\pi \cdot f\) die Anregungsfrequenz der äußeren Kraft bedeutet.

Die LAGRANGE’sche Variation der Konstanten ergibt

\(\frac{ {\hat F \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)} }{r} = \dot K\left( t \right) \cdot {e^{ - \frac{t}{\tau } } } - \frac{1}{\tau } \cdot K\left( t \right) \cdot {e^{ - \frac{t}{\tau } } } + \frac{1}{\tau } \cdot K\left( t \right) \cdot {e^{ - \frac{t}{\tau } } } = \dot K\left( t \right) \cdot {e^{ - \frac{t}{\tau } } }\)

Trennung der Variablen

\( \frac{ {\hat F \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)} }{r} = \frac{ {dK} }{ {dt} } \cdot {e^{ - \frac{t}{\tau} } } \quad \Rightarrow \quad dK = \frac{ {\hat F \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)} }{r} \cdot {e^{\frac{t}{\tau } } } \cdot dt \) oder

\( K\left( t \right) = \frac{ {\hat F} }{r} \cdot \int {\sin \left( {\omega \cdot t} \right) \cdot {e^{\frac{t}{\tau } } } \cdot dt} + C = \frac{ {\hat F} }{r} \cdot \frac{ { {\tau^2} } }{ {1 + { {\left( {\tau \cdot \omega } \right)}^2} } } \cdot \left( {\frac{1}{\tau }\sin \left( {\omega \cdot t} \right) - \omega \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)} \right) \cdot {e^{\frac{t}{\tau } } } + C \)

Einsetzen in die homogene Lösung

\( x\left( t \right) = \left[ {\frac{ {\hat F} }{r} \cdot \frac{ { {\tau ^2} } }{ {1 + { {\left( {\tau \cdot \omega } \right)}^2} } } \cdot \left( {\frac{1}{\tau }\sin \left( {\omega \cdot t} \right) - \omega \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)} \right) \cdot {e^{\frac{t}{\tau } } } + C} \right] \cdot {e^{ - \frac{t}{\tau } } } \)

\( x\left( t \right) = \frac{ {\hat F} }{r} \cdot \frac{ { {\tau^2} } }{ {1 + { {\left( {\tau \cdot \omega } \right)}^2} } } \cdot \left( {\frac{1}{\tau }\sin \left( {\omega \cdot t} \right) - \omega \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)} \right) + C \cdot {e^{ - \frac{t}{\tau } } } \)

Zur Bestimmung der Konstanten C wird angenommen, dass x(0)=0 ist

\( 0 = \frac{ {\hat F} }{r} \cdot \frac{ { - \omega \cdot {\tau^2} } }{ {1 + { {\left( {\tau \cdot \omega } \right)}^2} } } + C \quad \Rightarrow \quad C = \frac{ {\hat F} }{ {\omega \cdot r} } \cdot \frac{ { { {\left( {\omega \cdot \tau } \right)}^2} } }{ {1 + { {\left( {\tau \cdot \omega } \right)}^2} } } \)

Damit lautet die vollständige Lösung

\(x\left( t \right) = \frac{ {\hat F} }{ {\omega \cdot r} } \cdot \frac{ { { {\left( {\omega \cdot \tau } \right)}^2} } }{ {1 + { {\left( {\tau \cdot \omega } \right)}^2} } } \cdot \left( {\frac{1}{ {\omega \cdot \tau } }\sin \left( {\omega \cdot t} \right) - \cos \left( {\omega \cdot t} \right) + {e^{ -\frac{t}{\tau } } } } \right)\)

Der Ausdruck \(\frac{ {\hat F} }{ {\omega \cdot r} } \cdot \frac{ { { {\left( {\omega \cdot \tau } \right)}^2} } }{ {1 + { {\left( {\tau \cdot \omega } \right)}^2} } } \cdot {e^{ -\frac{t}{\tau } } }\) stellt die homogene Lösung dar, die, weil ihr Einfluss mit größer werdendem t abnimmt, auch flüchtiger Zustand genannt wird.

Der Beitrag der inhomogenen Lösung ist dem der homogenen additiv überlagert, er bleibt über alle Zeit erhalten und wird deshalb eingeschwungener Zustand genannt.

Bei sinusförmiger Erregung (Störung) des Feder-Reibungs-Systems kann die Superposition von homogener Lösung (gestrichelt) und inhomogener Lösung (rote Linie) gut verfolgt werden. Während die homogene Lösung flüchtig ist, bleibt die inhomogene Lösung als eingeschwungener Zustand erhalten.

Feder-Reibungs-System (homogene und inhomogene Lösung)

Lineare DGL n-ter Ordnung

Partikuläre Lösungen und Superpositionssatz

Mit Gl. 231

\(\ddot y\left( t \right) + {\omega ^2} \cdot y\left( t \right) = 0\)

ist eine Differenzialgleichung für die Funktion

\( y\left( t \right) = a \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right); \quad \omega = 2\pi \cdot f \)

aus Gl. 228 gegeben. Wie bereits nachgewiesen, erfüllt diese Funktion die DGL nach Gl. 231. Wird nun statt der Cos-Funktion die Prüfung für eine Sin-Funktion vorgenommen, stellt man fest, dass auch diese die DGL erfüllt, denn:

\( y\left( t \right) = a \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right); \quad \omega = 2\pi \cdot f \) Gl. 250

\( \begin{array}{l} \dot y\left( t \right) = \omega a \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right); \\ \ddot y\left( t \right) = - {\omega ^2}a \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\end{array} \)

Daraus folgt, dass durchaus verschiedene Funktionen die gleiche DGL befriedigen können. Solche Funktionen werden partikuläre oder spezielle Lösungen genannt. Nun ist aber ersichtlich, dass für die Lösung einer DGL n. Ordnung n Integrationsschritte erforderlich sind. Mit jeder Integration ist das hinzufügen einer Konstanten verbunden - bei n Integrationen sind dies n Konstanten. Jeder Konstanten entspricht wiederum eine partikuläre Lösung. Es gilt der Satz:

Jede homogene DGL n. Ordnung hat auch n partikuläre Lösungen. Die Lösung einer DGL ist erst dann vollständig (allgemein gültig), wenn alle n partikulären Lösungen angegeben werden. Die Gesamtheit der partikulären Lösungen bilden das Fundamentalsystem der DGL.

Seien \({y_1}\left( t \right),\,\,{y_2}\left( t \right),\,\,{y_3}\left( t \right),\,...\,{y_n}\left( t \right)\) partikuläre Lösungen einer homogenen DGL, so wird die allgemeine Lösung dieser DGL durch Superposition (Überlagerung) gefunden:

\( y\left( t \right) = {C_1}{y_1}\left( t \right) + {C_2}{y_2}\left( t \right) + {C_3}{y_3}\left( t \right) + .... + {C_n}{y_n}\left( t \right) \) Gl. 251

Die Konstanten C1 bis Cn sind frei wählbar und werden durch gewisse Randbedingungen definiert.

Beispiel:

Die DGL \(\ddot y\left( t \right) + {\omega ^2} \cdot y\left( t \right) = 0\) hat die allgemeine Lösung

\(y\left( t \right) = {C_1} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) + {C_2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\).

Zur Bestimmung der Konstanten sind zwei Randbedingungen notwendig. Es sei

\(y\left( 0 \right) = 1\) und \(y\left( {\frac{\pi}{ {2\omega } } } \right) = 0\)

Einsetzen in die Lösungsgleichung ergibt \(1 = {C_2}\) und \(0 = {C_1}\) damit ergibt sich die bekannte Lösung für die Cos-Funktion:

\( y\left( t \right) = 1 \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \)

WRONSKI-Determinante – Prüfung auf lineare Unabhängigkeit der partikulären Lösungen

Jede lineare DGL n. Ordnung hat n linear unabhängige partikuläre Lösungen. Wären in Gl. 251 z.B. \({y_1}\left( t \right)\) und \({y_2}\left( t \right)\) nicht linear unabhängig, könnten beide partikulären Lösungen zu einer zusammengefasst werden:

\( C_1 y_1 (t) + C_2 α y_1 (t) = C_1' y_1 (t); \quad C_1' = C_1 + α · C_2 \)

Die Folge davon wäre, dass der allgemeinen Lösung eine Konstante fehlen würde, die Lösung also unvollständig wäre.

Die Forderung nach linearer Unabhängigkeit ist nicht nur für die pertikulären Lösungen selbst, sondern auch für ihre Ableitungen zu stellen:

\( y\left( t \right) = {C_1}{y_1}\left( t \right) + {C_2}{y_2}\left( t \right) + {C_3}{y_3}\left( t \right) + .... + {C_n}{y_n}\left( t \right) \) Gl. 252

\( \dot y\left( t \right) = {C_1}{\dot y_1}\left( t \right) + {C_2}{\dot y_2}\left( t \right) + {C_3}{\dot y_3}\left( t \right) + .... + {C_n}{\dot y_n}\left( t \right) \)

\( \ddot y\left( t \right) = {C_1}{\ddot y_1}\left( t \right) + {C_2}{\ddot y_2}\left( t \right) + {C_3}{\ddot y_3}\left( t \right) + .... + {C_n}{\ddot y_n}\left( t \right) \)

usw.

Hier liegt ein Gleichungssystem aus n Gleichungen mit n Konstanten vor. Aus der Determinantenrechnung ist bekannt, dass linear abhängige Zeilen oder Spalten zu einer verschwindenden Determinante führen. Daher wird das Gleichungssystem nach Gl. 252 in eine Koeffizienten-Determinante, die Wronski-Determinante, überführt. Das Fundamentalsystem besteht dann aus linear unabhängigen partikulären Lösungen, wenn die Wronski-Determinante nich verschwindet:

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} } { {y_1} } & { {y_2} } & {...} & { {y_n} } \\ { { {\dot y}_1} } & { { {\dot y}_2} } & {...} & { { {\dot y}_n} } \\ {...} & {...} & {...} & {...} \\ { { {\mathop y\limits^{\left( n \right)} }_1} } & { { {\mathop y\limits^{\left( n \right)} }_2} } & {...} & { { {\mathop y\limits^{\left( n \right)} }_n} } \end{array} } \right| \ne 0 \) Gl. 253

Allgemeiner Lösungsansatz

Ähnlich einfache Lösungen wie bei Sin- oder Cos-Funktionen sind für die Exponentialfunktion

\( y \left( t \right) = {e^{\lambda t} } \) Gl. 254

zu erwarten. Auch für die Ableitungen gilt

\( y\left( t \right) = {e^{\lambda t} } \) Gl. 255

\( \begin{array}{l} \dot y\left( t \right) = \lambda \cdot {e^{\lambda t} }; \\ \ddot y\left( t \right) = {\lambda ^2} \cdot {e^{\lambda t} }\\..... \end{array} \)

Somit kann jede lineare n. Ordnung DGL durch Verwendung des Exponentialansatzes zur Lösung gebracht werden. Einsetzen in die homogene DGL von Gl. 234

\( {y^{(n)} }\left( t \right) + ... + {a_2}\ddot y\left( t \right) + {a_1}\dot y\left( t \right) + {a_0}y\left( t \right) = 0 \)

ergibt

\( {\lambda ^n}{e^{\lambda t} } + ... + {\lambda ^2}{a_2}{e^{\lambda t} } + \lambda {a_1}{e^{\lambda t} } + {a_0}{e^{\lambda t} } = 0 \) Gl. 256

Ausklammern von ept

\( \left( { {\lambda ^n} + ... + {\lambda ^2}{a_2} + \lambda {a_1} + {a_0} } \right) \cdot {e^{\lambda t} } = 0 \) Gl. 257

Die triviale Lösung ept=0 soll nicht betrachtet werden, also folgt:

\( {\lambda ^n} + ... + {\lambda ^2}{a_2} + \lambda {a_1} + {a_0} = 0 \) Gl. 258

Das somit gewonnene Polynom in l wird charakteristisches Polynom der DGL genannt. Die Nullstellen dieses Polynoms werden auch Eigenwerte der DGL genannt. Der Begriff Eigenwert erinnert daran, dass die DGL die mathematische Beschreibung eines physikalischen Systems mit bestimmten Eigenschaften ist, z.B. das Schwingungsverhalten eines Feder-Masse-Systems (Stoßdämpfer).

Die n Nullstellen li (i=1...n) dieses Polynoms liefern genau die n partikulären Lösungen, die zur allgemeinen Lösung der DGL erforderlich sind.

Beispiel:

Die Lösung der homogenen DGL \(\ddot y\left( t \right) + {\omega ^2} \cdot y\left( t \right) = 0\) mit Hilfe des allgemeinen Ansatzes führt auf das charakteristische Polynom

\({\lambda ^2} + {\omega ^2} = 0\)

Diese hat nach dem 3. Binomischen Satz die beiden Nullstellen

\({\lambda _{1,2} } = \pm i\omega \,\)

Einsetzen in Gl. 251 führt auf die allgemeine Lösung

\( y\left( t \right) = {C_1} \cdot {e^{i\omega t} } + {C_2}{e^{ - i\omega t} } \)

unter Beachtung der Euler’schen Beziehung

\( y\left( t \right) = \left( { {C_1} + {C_2} } \right) \cdot \cos \left( {\omega t} \right) + i\left( { {C_1} - {C_2} } \right) \cdot \sin \left( {\omega t} \right) \)

Prüfung auf lineare Unabhängigkeit:

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{\cos \left( {\omega t} \right)} & {\sin \left( {\omega t} \right)}\\{ - \omega \cdot \sin \left( {\omega t} \right)} & {\omega \cdot \cos \left( {\omega t} \right)}\end{array} } \right| = \omega \left( { { {\cos }^2}\left( {\omega t} \right) + { {\sin }^2}\left( {\omega t} \right)} \right) = \omega \ne 0 \)

d.h. linear unabhängig!

Werden die Konstanten geeignet umbenannt,

\( {C'_1} = \left( { {C_1} + {C_2} } \right),\,\,\,\,\,\,{C'_2} = i\left( { {C_1} - {C_2} } \right) \)

ergibt sich wieder die Lösung des vorherigen Beispiels.

Lösungsvielfalt des charakteristischen Polynoms

Bekanntlich hat nach Aussage des Fundamentalsatzes der Algebra jedes Polynom n. Grades auch n Nullstellen. Dabei können die Nullstellen reell, komplex (wie im vorangegangenen Beispiel) oder mehrfach sein. Reelle oder komplexe Nullstellen führen stets auf die erforderliche Anzahl von partikulären Lösungen zur Bestimmung der allgemeinen Lösung der DGL.

Anders bei den mehrfachen Nullstellen. Diese hätten mehrfach den gleichen Wert, würden somit keine unabhängigen Lösungen liefern.

Es kann nachgewiesen werden, dass in diesen Fällen auch Produkte der mehrfachen Lösung mit der unabhängigen Variablen zu unabhängigen partikulären Lösungen führen.

Es sei lm eine m-fache Nullstelle eines charakteristischen Polynoms n. Ordnung (m ≤ n), dann sind

\( {y_1}\left( t \right) = {e^{ {\lambda _n}t} },\,\,{y_2}\left( t \right) = t \cdot {e^{ {\lambda _n}t} },\,\,{y_3}\left( t \right) = {t^2} \cdot {e^{ {\lambda _n}t} },\,\,{y_m}\left( t \right) = {t^{\left( {m - 1} \right)} } \cdot {e^{ {\lambda _n}t} } \) Gl. 259

ebenfalls partikuläre Lösungen der DGL.

Beispiel:

Masse Feder Reibung

Die Differenzialgleichung zu der Grafik lautet:

\({F_a}\left( t \right) = m \cdot \ddot x + r \cdot \dot x + n \cdot x\)

Der Einfachheit halber soll angenommen werden, dass auf die Masse m keine äußere Kraft einwirkt, mit Ausnahme einer Anfangsauslenkung x0. Zusätzlich befinde sich das System zu diesem Zeitpunkt in Ruhe, d.h. \(\dot x = 0\). Ab dem Zeitpunkt t = 0 wird das System sich selbst überlassen. Mit dieser Einschränkung liegt eine homogene DGL vor, die durch Anfangsbedingungen an die gegebenen Bedingungen angepasst wird. Es ist also die DGL

\(m \cdot \ddot x + r \cdot \dot x + n \cdot x = 0\)

zu lösen.

Mit dem Ansatz nach Gl. 254 \(x\left( t \right) = {e^{\lambda t} }\) lautet das charakteristische Polynom

\(m \cdot {\lambda ^2} + r \cdot \lambda + n = 0\)

Division durch m und Substitution von

\(\frac{r}{m} = 2\delta \) (d: Dämpfung) und \(\frac{n}{m} = \omega _0^2\) (w0: Resonanzfrequenz des Systems)

ergibt:

\({\lambda ^2} + 2\delta \cdot \lambda + \omega _0^2 = 0\)

Die Nullstellen dieser quadratischen Gleichung nach dem Wurzelsatz von Vieta lauten:

\( {\lambda _{1,2} } = - \delta \pm \sqrt { {\delta ^2} - \omega _0^2} \)

Mit diesen Werten können jetzt die partikulären Lösungen der homogenen DGL berechnet und zur allgemeinen Lösung summiert werden.

\( x\left( t \right) = {c_1} \cdot {e^{ {\lambda _1}t} } + {c_2} \cdot {e^{ {\lambda _2}t} } \)

Mit der Anfangsbedingung \(x\left( 0 \right) = {x_0}\) und \(\dot x\left( 0 \right) = 0\) werden die Konstanten bestimmt:

a) \(x\left( 0 \right) = {c_1} + {c_2} = {x_0}\)

b) \(\dot x\left( 0 \right) = {c_1} \cdot {\lambda _1} + {c_2} \cdot {\lambda _2} = 0\)

also

\({c_1} = - {x_0}\frac{ { {\lambda _2} } }{ { {\lambda _1} - {\lambda _2} } } = {x_0}\frac{ {\delta + \sqrt { {\delta ^2} - \omega _0^2} } }{ {2 \cdot \sqrt { {\delta ^2} - \omega _0^2} } }\) und

\({c_2} = {x_0}\frac{ { {\lambda _1} } }{ { {\lambda _1} - {\lambda _2} } } = {x_0}\frac{ { - \delta + \sqrt { {\delta ^2} - \omega _0^2} } }{ {2 \cdot \sqrt { {\delta ^2} - \omega _0^2} } }\) ⇒

\(x\left( t \right) = \frac{ { {x_0} \cdot {e^{ - \delta t} } } }{ {2 \cdot \sqrt { {\delta ^2} - \omega _0^2} } }\left( {\left( {\delta + \sqrt { {\delta ^2} - \omega _0^2} } \right) \cdot {e^{\sqrt { {\delta ^2} - \omega _0^2} \cdot t} } + \left( { - \delta + \sqrt { {\delta ^2} - \omega _0^2} } \right) \cdot {e^{ - \sqrt { {\delta ^2} - \omega _0^2} \cdot t} } } \right)\)

Nun sind drei Fälle der Lösung zu unterscheiden:

1. \( \delta > {\omega _0}\), die Wurzel ist reell und die Lösung lautet

\( x\left( t \right) = \frac{ { {x_0}{e^{ -\delta t} } } }{ {2\Delta } }\left( {\left( {\delta + \Delta } \right) \cdot {e^{\Delta t} } + \left( { - \delta + \Delta } \right) \cdot {e^{ - \Delta t} } } \right); \quad \Delta = \sqrt { {\delta ^2} - \omega _0^2} \)

Dieser Fall wird Kriechfall genannt (siehe Abbildung 30).

2. \(\delta < {\omega _0}\), die Wurzel wird imaginär und führt zu folgender Lösung

\( x\left( t \right) = \frac{ { {x_0}{e^{ - \delta t} } } }{ {2i \cdot \Delta } }\left( {\left( {\delta + i \cdot \Delta } \right) \cdot {e^{i\Delta t} } + \left( { - \delta + i \cdot \Delta } \right) \cdot {e^{ - i\Delta t} } } \right); \quad \Delta = \sqrt {\omega _0^2 - {\delta ^2} } \)

\( x\left( t \right) = {x_0}{e^{ - \delta t} }\left( {\cos \left( {\Delta t} \right) + \frac{\delta }{\Delta }\sin \left( {\Delta t} \right)} \right) \)

Dieser Fall wird Schwingfall genannt.

3. \(\delta = {\omega _0}\) es liegt eine zweifache Wurzel vor \(\left( {\Delta = 0!} \right)\) und die Lösung lautet

\( x\left( t \right) = {c_1} \cdot {e^{\delta t} } + {c_2} \cdot t \cdot {e^{\delta t} } \)

Die Bestimmung der Konstanten erfolgt wieder anhand der gegebenen Anfangsbedingungen. Aus \(x\left( 0 \right) = {x_0}\) und \(\dot x\left( 0 \right) = 0\) folgt:

a) \(x\left( 0 \right) = {c_1} = {x_0}\)

b) \(\dot x\left( 0 \right) = {c_1} \cdot \delta + {c_2} = 0\) also

\( {c_1} = {x_0}\) und \({c_2} = - \delta {x_0} \) ⇒

\( x\left( t \right) = {x_0} \cdot {e^{ - \delta t} }\left( {1 - \delta \cdot t} \right) \)

Dieser Fall wird aperiodischer Grenzfall genannt.

Aperiodischer Grenzfall Abbildung 30

Lösungsansatz für lineare inhomogene DGLn n. Ordnung

Zur Lösung der inhomogenen Aufgabe wird auch hier die Variation der Konstanten angewendet. Ausgangspunkt ist wieder die homogene Lösung, die nun n Konstanten beinhaltet, die alle der Variation unterworfen werden müssen

\( y\left( t \right) = {C_1}\left( t \right){y_1}\left( t \right) + {C_2}\left( t \right){y_2}\left( t \right) + {C_3}\left( t \right){y_3}\left( t \right) + .... + {C_n}\left( t \right){y_n}\left( t \right) \) Gl. 260

Da hier die Produktregel bis zur n. Ableitung angewandt werden muss, entsteht ein sehr komplexer Lösungsansatz, der allgemein nicht direkt lösbar ist. Daher werden für lineare DGLn ein modifizierter Lösungsansatz gesucht.

Dazu wird die DGL zunächst in die Normalform gebracht (Koeffizient an=1)

\( {y^{(n)} }\left( t \right) + ... + {a_2}\ddot y\left( t \right) + {a_1}\dot y\left( t \right) + {a_0}y\left( t \right) = g\left( t \right) \) Gl. 261

Gl. 260 wird n-fach durch Anwendung der Produktregel differenziert, um in die Normalform der DGL eingesetzt werden zu können. Dies geschieht jedoch mit gewissen Bedingungen:

\( \dot y = {\dot C_1}{y_1} + {C_1}{\dot y_1} + {\dot C_2}{y_2} + {C_2}{\dot y_2} + .... + {\dot C_n}{y_n} + {C_n}{\dot y_n} \) Gl. 262

Nebenbedingung, die Summe aller einmal differenzierten Konstanten wird Null gesetzt:

\( {\dot C_1}{y_1} + {\dot C_2}{y_2} + .... + {\dot C_n}{y_n} = 0 \) Gl. 263

Die Einführung der Nebenbedingung vereinfacht zunächst das weitere Differenzieren

\( \ddot y = {\dot C_1}{\dot y_1} + {C_1}{\ddot y_1} + {\dot C_2}{\dot y_2} + {C_2}{\ddot y_2} + .... + {\dot C_n}{\dot y_n} + {C_n}{\ddot y_n} \) Gl. 264

Nebenbedingung

\( {\dot C_1}{\dot y_1} + {\dot C_2}{\dot y_2} + .... + {\dot C_n}{\dot y_n} = 0 \) Gl. 265

Bis schließlich

\( \mathop y\limits^{\left( n \right)} = {\dot C_1}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _1} + {C_1}{\mathop y\limits^{\left( n \right)} _1} + {\dot C_2}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _2} + {C_2}{\mathop y\limits^{\left( n \right)} _2} + .... + {\dot C_n}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _n} + {C_n}{\mathop y\limits^{\left( n \right)} _n} \) Gl. 266

alle Ableitungen vorliegen.

Nun können unter Beachtung der Nebenbedingungen die Ableitungen in Gl. 261 eingesetzt werden:

\( \begin{array}{l} { {\dot C}_1}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _1} + { {\dot C}_2}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _2} + .... + { {\dot C}_n}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _n} + \\{C_1}{\mathop y\limits^{\left( n \right)} _1} + {C_2}{\mathop y\limits^{\left( n \right)} _2} + .... + {C_n}{\mathop y\limits^{\left( n \right)} _n} + \\...\\{a_2}\left( { {C_1}{ {\ddot y}_1} + {C_2}{ {\ddot y}_2} + .... + {C_n}{ {\ddot y}_n} } \right) + \\{a_1}\left( { {C_1}{ {\dot y}_1} + {C_2}{ {\dot y}_2} + .... + {C_n}{ {\dot y}_n} } \right) + \\{a_0}\left( { {C_1}{y_1} + {C_2}{y_2} + {C_3}{y_3} + .... + {C_n}{y_n} } \right) \quad = g\left( t \right)\end{array} \) Gl. 267

Mit Ausnahme der ersten Zeile, stellen alle weiteren Zeilen die homogenen Lösungen der einzelnen partikulären Lösungen yn dar. Das hat zur Folge, dass diese Zeilen verschwinden, da die homogene Lösung in die DGL eingesetzt stets den Wert Null ergibt.

\( {\dot C_1}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _1} + {\dot C_2}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _2} + .... + {\dot C_n}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _n} = g\left( t \right) \) Gl. 268

Diese Gleichung und alle Nebenbedingungen enthalten die gesuchten Konstanten in der ersten Ableitung und können dem gemäß in ein lineares Gleichungssystem bestehend aus n Gleichungen für n Konstanten gebracht werden:

\( \begin{array}{l} { {\dot C}_1}{y_1} + { {\dot C}_2}{y_2} + .... + { {\dot C}_n}{y_n} & = 0 \\ { {\dot C}_1}{ {\dot y}_1} + { {\dot C}_2}{ {\dot y}_2} + .... + { {\dot C}_n}{ {\dot y}_n} & = 0 \\ { {\dot C}_1}{ {\ddot y}_1} + { {\dot C}_2}{ {\ddot y}_2} + .... + { {\dot C}_n}{ {\ddot y}_n} & = 0 \\ .... \\ { {\dot C}_1}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _1} + { {\dot C}_2}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _2} + .... + { {\dot C}_n}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _n} = g\left( t \right)\end{array} \) Gl. 269

Die erste Ableitung der i-ten Konstante wird nach der CRAMERschen Regel gebildet

\( {\dot C_i} = \frac{ {\left| {\begin{array}{*{20}{c} } { {y_1} } & { {y_2} } & {...} & 0 \\ { { {\dot y}_1} } & { { {\dot y}_2} } & {...} & 0 \\ {...} & {...} & {...} & {...} \\ { { {\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} }_1} } & { { {\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} }_2} } & {...} & {g\left( t \right)}\end{array}\begin{array}{*{20}{c} }{...} \\ {...} \\ {...} \\ {...} \end{array} \begin{array}{*{20}{c} } { {y_n} }\\{ { {\dot y}_n} } \\ {} \\ { { {\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} }_n} } \end{array} } \right|} }{ {\left| {\begin{array}{*{20}{c} } { {y_1} } & { {y_2} } & {...} & { {y_i} } \\ { { {\dot y}_1} } & { { {\dot y}_2} } & {...} & { { {\dot y}_i} } \\ {...} & {...} & {...} & {...} \\ { { {\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} }_1} } & { { {\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} }_2} } & {...} & { { {\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} }_i} }\end{array}\begin{array}{*{20}{c} }{...}\\{...}\\{...}\\{...}\end{array}\begin{array}{*{20}{c} }{ {y_n} } \\ { { {\dot y}_n} } \\ {} \\ { { {\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} }_n} } \end{array} } \right|} }; \qquad 1 \le i \le n \) Gl. 270

In bekannter Weise (siehe Gl. 247) werden die gesuchten (variierten) Konstanten nun durch Integration der aus Gl. 270 berechneten ersten Ableitungen gewonnen

\( d{C_i} = \left( { { {\dot C}_i} } \right)dt \) Gl. 271

\( {C_i}\left( t \right) = \int {\left( { { {\dot C}_i} } \right)dt} + {K_i} \) Gl. 272

Beispiel:

Die im vorigen Beispiel analysierte DGL \({F_a}\left( t \right) = m \cdot \ddot x + r \cdot \dot x + n \cdot x\) hat die homogene Lösung

\( x\left( t \right) = {c_1} \cdot {e^{ {\lambda _1}t} } + {c_2} \cdot {e^{ {\lambda _2}t} }\) mit \({\lambda _{1,2} } = - \delta \left( {1 \pm i\sqrt { { {\left( {\frac{ { {\omega_0} } }{\delta } } \right)}^2} - 1} } \right)\) im Schwingfall.

Ist \(\frac{ { {\omega _0} } }{\delta }\)o1 vereinfachen sich die Eigenwerte zu

\({\lambda _{1,2} } = - \delta \pm i{\omega _0}\) und die homogene Lösung wird

\(x\left( t \right) = {c_1}{e^{\left( { - \delta + i{\omega_0} } \right)t} } + {c_2}{e^{\left( { - \delta - i{\omega_0} } \right)t} }\) worin w0 die Resonanzfrequenz und d die Dämpfung des Systems bedeuten.

Gesucht ist die inhomogene Lösung, wenn \({F_a}\left( t \right) = \hat F \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\) d.h. \(g\left( t \right) = \frac{ {\hat F} }{m} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\)

Die Rechnung wird vereinfacht, wenn auch die Störfunktion als e-Funktion geschrieben wird. Nach der EULERschen Beziehung gilt \(\sin \left( {\omega \cdot t} \right) = \Im m\left\{ { {e^{i\omega t} } } \right\}\). Damit kann die normalisierte Störfunktion auch als \( g\left( t \right) = \frac{ {\hat F} }{m} \cdot \Im m\left\{ { {e^{i\omega \cdot t} } } \right\} \) verstanden werden.

Lösung:

1. Berechnung der ersten Ableitungen der partikulären Lösungen

Die beiden partikulären Lösungen lauten

\({x_1}\left( t \right) = {e^{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right)t} }\) und \({x_2}\left( t \right) = {e^{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right)t} }\)

die entsprechenden ersten Ableitungen

\({\dot x_1}\left( t \right) = \left( { - \delta + i{\omega _0} } \right) \cdot {e^{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right)t} }\) und \({\dot x_2}\left( t \right) = \left( { - \delta - i{\omega _0} } \right) \cdot {e^{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right)t} }\)

2. WRONSKI-Probe

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {e^{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right)t} } }&{ {e^{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right)t} } }\\{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right) \cdot {e^{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right)t} } }&{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right) \cdot {e^{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right)t} } }\end{array} } \right| = - i \cdot 2{\omega _0} \cdot {e^{ - 2\delta t} }\)

da ungleich Null, lineare Unabhängigkeit des Fundamentalsystems nachgewiesen.

3. Variation der Konstanten nach Gl. 270

\({\dot c_1} = \frac{ {\left| {\begin{array}{*{20}{c} }0&{ {e^{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right)t} } }\\{\frac{ {\hat F} }{m} \cdot {e^{i\omega t} } }&{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right) \cdot {e^{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right) \cdot t} } }\end{array} } \right|} }{ { - i \cdot 2{\omega _0} \cdot {e^{ - 2\delta t} } } } = \frac{ {\frac{ {\hat F} }{m} \cdot {e^{\left[ {\delta + i\left( {\omega - {\omega _0} } \right)} \right] \cdot t} } } }{ {i \cdot 2{\omega _0} } }\)

\({\dot c_2} = \frac{ {\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {e^{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right)t} } }&0\\{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right) \cdot {e^{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right)t} } }&{\frac{ {\hat F} }{m} \cdot {e^{i\omega t} } }\end{array} } \right|} }{ { - i \cdot 2{\omega _0} \cdot {e^{ - 2\delta t} } } } = - \frac{ {\frac{ {\hat F} }{m} \cdot {e^{\left[ {\delta + i\left( {\omega + {\omega _0} } \right)} \right] \cdot t} } } }{ {i \cdot 2{\omega _0} } }\)

4. Integration

\({c_1} = \frac{ {\hat F} }{ {i \cdot 2{\omega _0}m} }\int { {e^{\left[ {\delta + i\left( {\omega - {\omega _0} } \right)} \right] \cdot t} }dt + {\kappa _1} = } \frac{ {\hat F} }{ {i \cdot 2{\omega _0}m \cdot \left[ {\delta + i\left( {\omega - {\omega _0} } \right)} \right]} }{e^{\left[ {\delta + i\left( {\omega - {\omega _0} } \right)} \right] \cdot t} } + {\kappa _1}\)

\({c_2} = - \frac{ {\hat F} }{ {i \cdot 2{\omega _0}m} }\int { {e^{\left[ {\delta + i\left( {\omega + {\omega _0} } \right)} \right] \cdot t} }dt + {\kappa _2} = } - \frac{ {\hat F} }{ {i \cdot 2{\omega _0}m \cdot \left[ {\delta + i\left( {\omega + {\omega _0} } \right)} \right]} }{e^{\left[ {\delta + i\left( {\omega + {\omega _0} } \right)} \right] \cdot t} } + {\kappa _2}\)

5. Einsetzen in homogene Lösung der DGL

\(\begin{array}{l}x\left( t \right) = \left\{ {\frac{ {\hat F} }{ {i \cdot 2{\omega _0}m \cdot \left[ {\delta + i\left( {\omega - {\omega _0} } \right)} \right]} }{e^{\left[ {\delta + i\left( {\omega - {\omega _0} } \right)} \right] \cdot t} } + {\kappa _1} } \right\}{e^{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right)t} }\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \left\{ { - \frac{ {\hat F} }{ {i \cdot 2{\omega _0}m \cdot \left[ {\delta + i\left( {\omega + {\omega _0} } \right)} \right]} }{e^{\left[ {\delta + i\left( {\omega + {\omega _0} } \right)} \right] \cdot t} } + {\kappa _2} } \right\}{e^{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right)t} }\end{array}\)

Darin ist neben der inhomogenen auch die bereits bekannte homogene Lösung wieder zu finden

\(\begin{array}{l}x\left( t \right) = {\kappa _1}{e^{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right)t} } + {\kappa _2}{e^{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right)t} } \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \left\{ {\frac{ {\hat F} }{ {i \cdot 2{\omega _0}m \cdot \left[ {\delta + i\left( {\omega - {\omega _0} } \right)} \right]} } - \frac{ {\hat F} }{ {i \cdot 2{\omega _0}m \cdot \left[ {\delta + i\left( {\omega + {\omega _0} } \right)} \right]} } } \right\} \cdot {e^{i\omega \cdot t} }\end{array}\)

\(x\left( t \right) = {\kappa _1}{e^{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right)t} } + {\kappa _2}{e^{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right)t} } + \frac{ { {\delta ^2} - \left( { {\omega ^2} - \omega _0^2} \right) - i \cdot 2\delta \omega } }{ { { {\left[ { {\delta ^2} - \left( { {\omega ^2} - \omega _0^2} \right)} \right]}^2} + { {\left( {2\delta \omega } \right)}^2} } } \cdot \frac{ {\hat F} }{m}{e^{i\omega \cdot t} }\)

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