Wissen: Nullfolgen

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Einführung Folgen und Reihen

Zahlenfolgen und Mengen unterscheiden sich dadurch, dass ihre Elemente (Glieder) in einer gewissen Gesetzmäßigkeit vollständig angeordnet sind. In diesem Sinn besitzen die Zahlenfolgen Eigenschaften, die in einer strengen Aufeinanderfolge ihrer Glieder begründet sind. Insbesondere sind es die Eigenschaften von Reihen unendlicher Länge, wie Monotonie, Beschränktheit oder Konvergenzverhalten, die von Interesse sind. Eine Reihe liegt vor, wenn die Glieder einer Folge additiv miteinander verknüpft sind, also eine Summe bilden.

In der Regel ist es das Ziel solcher Betrachtungen, auch detaillierte Aussagen über die Bildungsgesetze von Reihen bzw. der Summen von Reihen (die ihrerseits auch als Reihen aufgefasst werden können) angeben zu können. Zu diesem Zweck werden die Glieder einer Reihe durch einen Index abzählbar gemacht:

\( \left\{ { {x_n} } \right\} = f(n) \) Gl. 166

Gleichzeitig bekommt das so indizierte Element einen Wert entsprechend seiner Position in der Zahlenfolge zugewiesen.

Beschränktheit (Nullfolgen)

Die Beschränktheit einer Folge ist ein wichtiges Voraussetzung für deren Konvergenz. Die Beschränktheit sagt aus, das es für eine Folge je eine endliche obere bzw. untere Schranke gibt, die von keinem Glied der Folge über- bzw. unterschritten wird.

Beispiel:

Die harmonische Reihe \(\left\{ { {x_n} } \right\} = \frac{1}{n};\,\,\,n \in N\,\,\) hat eine obere Schranke von 1 und eine untere von 0. Denn bei n = 1 ist \( \left\{ { {x_n} } \right\} = 1\) und für n → ∞ strebt \(\left\{ { {x_n} } \right\} = 0\). Siehe Abbildung 26, schwarze Kurve.

Mit zunehmendem Index nähern sich die Glieder der harmonischen Reihe immer mehr der unteren Schranke, ohne sie je zu erreichen. So gibt es immer ein n für das gilt:

\( {x_n} < \varepsilon \) Gl. 167

Wobei die Schranke e beliebig klein, aber nicht = 0, gewählt werden kann.

Folgen, die diese Bedingung erfüllen, werden Nullfolgen genannt. Auch Folgen mit Gliedern, die alternierende Vorzeichen aufweisen, sind Nullfolgen.

Beispiel:

Die Reihe \(\left\{ { {x_n} } \right\} = {\left( { - 1} \right)^n}\frac{1}{n};\,\,\,n \in N\,\,\) hat ebenfalls eine obere Schranke von 1 und eine untere von 0, allerdings bezogen auf die Beträge der Glieder. Denn bei n = 1 ist \( \left| {\left\{ { {x_n} } \right\} } \right| = 1 \) und für n → ∞ strebt \(\left| {\left\{ { {x_n} } \right\} } \right| = 0 \).

Allgemein gilt daher für Nullfolgen:

\( \left| { {x_n} } \right| < \varepsilon \) Gl. 168

Es gibt aber auch Folgen, die keine Nullfolgen sind, und dennoch das Kriterium der Beschränktheit erfüllen.

Beispiel:

Die Reihe \(\left\{ { {x_n} } \right\} = \frac{n}{ {n + 1} };\,\,\, n \in N \) hat eine obere Schranke von 1 und eine untere von 1/2. Denn bei n = 1 ist \(\left| {\left\{ { {x_n} } \right\} } \right| = \frac{1}{2}\) und für n → ∞ strebt \(\left| {\left\{ { {x_n} } \right\} } \right| = 1\). Siehe Abbildung 26, blaue Kurve.

Beschränkte Folge (keine Nullfolge) Abbildung 26

Grenzwert von Zahlenfolgen

Beschränkte Zahlenfolgen streben für große n gegen einen Grenzwert g.

\( \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = g \) Gl. 169

Mit der Einführung des Grenzwertes kann der Begriff der Nullfolge verallgemeinert werden. Durch die Subtraktion des Grenzwertes von den Gliedern der Folge kann jede beschränkte Folge zu einer Nullfolge gemacht werden:

\( \left| { {x_n} - g} \right| < \varepsilon \) Gl. 170

Eine Nullfolge hat also den Grenzwert g = 0.

Folgen, die einen endlichen Grenzwert besitzen werden konvergent genannt, solche ohne einen endlichen Grenzwert divergent.

Ob eine Folge einen endlichen Grenzwert besitzt oder nicht, hängt nicht nur von der funktionellen Beschaffenheit der Glieder {xn} ab, sondern auch von Wahl der unabhängigen Variablen x.

Beispiel:

Die Folge \({x_n} = {q^n}\) kann sowohl divergent wie auch konvergent sein. Wenn q ≥ 1 ist, strebt \( \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } {q^n} = \infty \). Ist q hingegen < 1, strebt \( \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } {q^n} = 0 \).

Für die Bestimmung von Grenzwerten von Reihen hat sich das Verfahren der Einhüllenden bewährt. Sind nämlich zu der zu untersuchende Reihe \( x_n \) andere Reihen \( a_n, b_n \), bekannt, die die unbekannte Reihe einhüllen und zudem beide den gleichen Grenzwert haben, dann muss auch die unbekannte Reihe den gleichen Grenzwert haben. Die Bedingung für geeignete einhüllende Reihen ist

\( {a_n} \le {x_n} \le {b_n} \) Gl. 171

Die Reihe \( a_n \) wird minorante und Reihe \( b_n \) majorante Reihe von \( x_n \) genannt.

Beispiel:

Es wird der Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{ {n!} }{ { {n^n} } }\) gesucht. Durch Berechnung der ersten Glieder der Reihe findet man,

n!/nn 1,0000 0,5000 0,2222 0,0938 0,0384 0,0154 0,0061 0,0024
2/n² 2,0000 0,5000 0,2222 0,1250 0,0800 0,0556 0,0408 0,0313

Reihe log y

dass für jedes Glied

\(\frac{ {n!} }{ { {n^n} } } \le \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n}\)

gilt. Die Reihe 2/n² ist also eine Majorante der zu untersuchenden Funktion n!/nn. Der Grenzwert der Majorante ist für große n verschwindend. Daher ist auch der Grenzwert der zu untersuchenden Funktion verschwindend.

Das Rechnen mit Grenzwerten

Grenzwerte von Folgen werden auch eigentliche Grenzwerte genannt.

Für das Rechnen mit Grenzwerten von Folgen gelten die gleichen Gesetze wir für uneigentliche Grenzwerte.

  Schreib uns deine Hinweise