Wissen: Parameterdarstellung

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Einführung Parameterdarstellung

Variablenbezeichnungen wie x oder y werden häufig in unterschiedlichen Zusammenhängen gesehen. Der bekannteste ist wohl der funktionelle Zusammenhang. Dieabhängige Variable y ist eine Funktion der unabhängigen Variablen x.

Der funktionelle Zusammenhang wird durch y = f(x) ausgedrückt. Die Größen x und y können aber auch den Ort eines Punktes in der x-y-Ebene beschreiben. Dann stehen sie in der Regeln nicht in einem funktionellen Zusammenhang. Erst, wenn dieser Punkt einen bestimmten Weg beschreiben soll, wird wieder ein Zusammenhang hergestellt. Dieser kann natürlich wieder implizit oder explizit sein. Oft wird aber die Parameterdarstellung gewählt, weil sich so Zusammenhänge einfacher darstellen lassen und die Berechnung der Örter des Punktes leichter fällt.

Eine typische Anwendung findet dies in den sog. BEZIER-Kurven (BÉZIER Pierre, 1910-1999). BEZIER-Kurven werden für die Darstellung von „beliebig“ geformten Kurven in Vektorgrafiken sehr häufig (siehe auch Kapitel Bezierkurven) verwendet.

Bezierkurven werden im Normalfall als parametrische Funktionen der dritten Potenz getrennt für die Variablen x und y ausgedrückt:

\( x(t) = {x_0} \cdot {\left( {1 - t} \right)^3} + {x_1} \cdot 3t \cdot {\left( {1 - t} \right)^2} + {x_2} \cdot 3{t^2} \cdot \left( {1 - t} \right) + {x_3} \cdot {t^3} \) Gl. 4

\( y(t) = {y_0} \cdot {\left( {1 - t} \right)^3} + {y_1} \cdot 3t \cdot {\left( {1 - t} \right)^2} + {y_2} \cdot 3{t^2} \cdot \left( {1 - t} \right) + {y_3} \cdot {t^3} \) Gl. 5

Dabei stellen die Werte x0 und y0 die Koordinaten des Startpunktes P0 sowie x3 und y3 die Koordinaten des Zielpunktes P3 der Kurve dar. Die Punkte P1(x1, y1) und P2(x2, y2) dienen der Formung der Kurve und werden Kontrollpunkte genannt.

Beide Variablen sind abhängig vom Parameter t, der in der eigentlichen Kurve gar nicht mehr in Erscheinung tritt, aber den Zusammenhang zwischen x und y erst herstellt:

Bezierkurven mit Startpunkt und Zielpunkt Abbildung 1

Beispiel:

Gegeben sind der Startpunkt P0(1;1), der Endpunkt P3(4;4) sowie die Kontrollpunkte P1(-0,5;4) und P2(3;0).

Gesucht ist die Bezierkurve

Bezierkurve

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