Wissen: Reihen

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Grundbegriffe Reihen

Reihen unterscheiden sich von Folgen dadurch, dass die einzelnen Glieder der Reihe summiert werden. Folglich kann jede Folge in eine Reihe überführt werden.

Wenn die Konvergenz schon bei Folgen eine wichtige Rolle gespielt hat, ist das bei Reihen umso mehr der Fall. Denn durch die Summation der Glieder wächst diese in oft unvorgesehener Weise. Solange es sich um endliche Reihen handelt, wird auch deren Summe endlich sein, solange die Glieder selber endlich sind.

Anders sieht das bei unendlichen Reihen aus. Hier genügt die Feststellung der Endlichkeit der Glieder nicht, um die Konvergenzeigenschaften der Reihe beurteilen zu können.

Wenn an die Glieder einer Folge {an} sind, wird die Reihe sn durch Summation der Glieder gewonnen:

\( {s_N} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + ....\, = \sum\limits_{n = 1}^N { {a_n} } \) Gl. 172

Handelt es sich um eine unendliche Reihe so geht Gl. 172 über in

\( S = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {s_N}\, = \sum\limits_{n = 1}^\infty { {a_n} } \) Gl. 173

Gl. 172 stellt gleichzeitig eine Anweisung zur Bildung einer neuen Folge dar, die aus den Partialsummen dieser Reihe gebildet wird:

\({s_1} = {a_1}\)

\({s_2} = {a_1} + {a_2}\)

\({s_3} = {a_1} + {a_2} + {a_3}\)

\({s_4} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4}\) usw.

Somit kann die Untersuchung auf Konvergenz der Reihe auf eine Konvergenzuntersuchung der Folge von Partialsummen zurückgeführt werden (siehe Grenzwert von Zahlenfolgen).

Konvergenz von Reihen

Die mindeste Voraussetzung für die Konvergenz einer Reihe ist, dass die aus ihren Gliedern gebildete Folge eine Nullfolge ist. Jede andere Abhängigkeit führt zwangsläufig zu einem Wachsen der Summe über alle Grenzen hinaus.

Wichtige Reihen

Harmonische Reihe

Die Harmonische Reihe wird aus den Gliedern der Nullfolge \(\frac{1}{n}\) gebildet. Hat diese Reihe einen endlichen Grenzwert? Zur Beantwortung dieser Frage wird eine Abschätzung vorgenommen, indem die Glieder der Reihe

\( {s_N} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{ {10} } + \frac{1}{ {11} } + \) Gl. 174

Geeignet zusammengefasst werden:

\( {s_N} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \left[ {\frac{1}{3} + \frac{1}{4} } \right] + \left[ {\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} } \right] + \left[ {\frac{1}{9} + \frac{1}{ {10} } + \frac{1}{ {11} } + } \right. \) Gl. 175

Nun wir eine neue Reihe s’N gebildet, die unbedingt eine kleinere Summe aufweist als die Reihe sN:

\( s{'_N} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \left[ {\frac{1}{4} + \frac{1}{4} } \right] + \left[ {\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} } \right] + \left[ {\frac{1}{ {16} } + \frac{1}{ {16} } + \frac{1}{ {16} } + } \right. \) Gl. 176

\( s{'_N} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2}\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + ..... \) Gl. 177

Folge Grenzwert unendlich

Es ist offensichtlich, dass diese (kleinere) Folge beiN → ∞ keinen endlichen Grenzwert aufweist, also divergiert. Wenn dem aber so ist, dann divergiert die eigentliche Reihe, die harmonische Reihe, auch!

Geometrische Reihe

Die Geometrische Reihe wird aus den Gliedern der Nullfolge \({q^n} = \frac{1}{ { {p^n} } }\) gebildet. Hat diese Reihe einen endlichen Grenzwert? Die Summe der geometrischen Reihe ist bekannt

\( {s_N} = {q^0} + {q^1} + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ..... = \frac{ { {q^n} - 1} }{ {q - 1} } \) Gl. 178

Für p>1 ist q<1, daher

\( S = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {s_N}\, = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \frac{ {1 - {q^N} } }{ {1 - q} } = \frac{1}{ {1 - q} } \text{ wegen } \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {q^N} = 0 \) Gl. 179

also endlich. D.h. für Werte von q<1 (d.h. p>1) konvergiert die geometrische Reihe. Für Werte von q gleich oder größer 1 divergiert die geometrische Reihe.

Konvergenzkriterien

Ohne Nachweis seien hier notwendige, aber teilweise nicht hinreichende Bedingungen für die Konvergenz einer Reihe genannt:

b) Quotientenkriterium nach D’Alembert, notwendig aber nicht hinreichend

\( \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ { {a_{n + 1} } } }{ { {a_n} } } } \right| < 1 \) Gl. 180

Beispiel:

Obwohl für die harmonische Reihe \(\mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ { {a_{n + 1} } } }{ { {a_n} } } } \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ {\frac{1}{ {n + 1} } } }{ {\frac{1}{n} } } } \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{n}{ {n + 1} } } \right| < 1\) gilt, divergiert die Reihe.

c) Wurzelkriterium nach CAUCHY, notwendig aber nicht hinreichend

\( \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{ {\left| { {a_n} } \right|} } < 1 \) Gl. 181

Beispiel:

Die geometrische Reihe konvergiert, wenn q<1. Dies wird durch das CAUCHYsche Kriterium bestätigt. \( \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{ {\left| { {q^n} } \right|} } = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } q < 1 \)

d) Alternierende Reihen, Satz von LEIBNIZ

Eine alternierende Reihe konvergiert, wenn die Beträge ihrer Glieder monoton gegen Null streben. Dieser Satz ist notwendig und hinreichend.

\( \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| { {a_n} } \right| < 1 \) Gl. 182

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