Wissen: Reihenentwicklung

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Reihenentwicklung nach MacLaurin und Taylor

Besonders in der numerischen Mathematik werden Berechnungsvorschriften für Funktionswerte benötigt. Eine Funktion wie sin(x) ist bezüglich ihrer Eigenschaften wohl bekannt, nicht bekannt ist aber á priori der Funktionswert von z.B. sin(2,2124). Die meisten gebräuchlichen Funktionen liegen tabelliert vor, so dass „krumme“ Werte des Definitionsbereiches durch Interpolation gewonnen werden können. Was aber, wenn die Funktion nicht tabelliert vorliegt?

MACLAURIN (Colin MACLAURIN, 1698-1746) hat für differenzierbare und stetige analytische Funktionen (analytisch – zerlegbar) eine Methode zur Berechnung von Funktionswerten in der Nähe von bereits bekannten Funktionswerten angegeben.

Analytische Funktionen können als Summe einer Potenzreihe entwickelt werden:

\( f(x) = {a_0} + {a_1} \cdot x + {a_2} \cdot {x^2} + {a_3} \cdot {x^3} + \,.... = \sum\limits_{n = 0}^\infty { {a_n} \cdot {x^n} } \) Gl. 183

Es ist bemerkenswert, dass allein die Koeffizienten an über das Wesen der Funktion f(x) entscheiden! Daher ergibt sich die Frage, wie die an zu bestimmen sind, damit sie eine vorgegebene Funktion richtig abbilden?

Entwicklungsvorschrift nach MacLaurin

Die Funktion f(x) wird um den Punkt x = 0 in eine Reihe entwickelt. Die Aufgabe besteht darin, die unbekannten Koeffizienten an zu bestimmen. Dafür ist es zweckmäßig, die in der Summenformel (Gl. 183) aufgeführten Terme zu vereinzeln, um so für jedes an eine Bestimmungsgleichung aufstellen zu können. Dies geschieht dadurch, dass durch fortwährende Differenziation eine gliedweise Vereinzelung erfolgt. Angefangen wird mit dem konstanten Glied a0, indem der Funktionswert an der Stelle x = 0 eingesetzt wird. Alle Potenzen von x verschwinden dadurch:

\( f(0) = {a_0} + {a_1} \cdot 0 + {a_2} \cdot {0^2} + {a_3} \cdot {0^3} + \,.... = {a_0} \quad \Rightarrow \quad {a_0} = f(0) \) Gl. 184

Für die Bestimmung der weiteren Koeffizienten wird f(x) der wiederholten Differenziation unterzogen. Das konstante Glied a0 verschwindet infolge der Differenziation, während vom Glied a1·x infolge der Differenziation nur noch a1 übrig bleibt:

\( f'(x) = {a_1} + 2{a_2} \cdot {x^1} + 3{a_3} \cdot {x^2} + \,.... \) Gl. 185

Wieder erfolgt die Betrachtung für die Stelle x = 0:

\( f'(0) = {a_1} + 2{a_2} \cdot {0^1} + 3{a_3} \cdot {0^2} + \,.... = {a_1} \quad \Rightarrow \quad {a_1} = f'(0) \) Gl. 186

Nochmaliges Differenzieren:

\( f''(x) = 2{a_2} + 3 \cdot 2 \cdot {a_3} \cdot {x^1} + \,.... \) Gl. 187

Wieder erfolgt die Betrachtung für die Stelle x = 0:

\( f''(0) = 2{a_2} + 3 \cdot 2 \cdot {a_3} \cdot {0^1} + \,.... = 2{a_2} \quad \Rightarrow \quad {a_2} = \frac{1}{2}f''(0) \) Gl. 188

usw. schließlich ergibt sich die Berechnungsvorschrift allgemein zu:

\( {a_n} = \frac{1}{ {n!} } \cdot {f^{(n)} }(0) \quad \text{ wobei } 0! = 1 \) Gl. 189

Damit wird Gl. 183 zu

\( f(x) = f(0) + \frac{ {f'(0)} }{ {1!} } \cdot x + \frac{ {f''(0)} }{ {2!} } \cdot {x^2} + \frac{ { {f^{\left( 3 \right)} } } }{ {3!} } \cdot {x^3} + \,.... = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{ { {f^{\left( n \right)} } } }{ {n!} } \cdot {x^n} } \) Gl. 190

Dies ist die MacLaurinsche Form der in eine Potenzreihe entwickelten Funktion f(x).

Beispiel:

Es sei die Funktion sin(x) an der Stelle x = 0 zu entwickeln.

\(\sin (x) = \sin (0) + \cos (0) \cdot x - \frac{1}{2}\sin(0) \cdot {x^2} - \frac{1}{6}\cos (0) \cdot {x^3} + \,\frac{1}{ {24} }\sin (0) \cdot {x^4} + \frac{1}{ {120} }\cos(0) \cdot {x^5}.... \)

\( \sin (x) = 1 \cdot x - \frac{1}{6} \cdot {x^3} + \,\frac{1}{ {120} } \cdot {x^5}.... = \sum\limits_{n = 0}^\infty { { {\left( { - 1} \right)}^n}\frac{1}{ {(2n + 1)!} } \cdot {x^{2n + 1} } } ; \)

Nunmehr sei der Wert für x = 1,2 (beachte x ist der Winkel im Bogenmaß!) zu ermitteln.

Entwicklung MacLaurin Sinus(x)

Der Taschenrechner liefert einen Wert sin(1,2)= 0,932039085967226

Entwicklung nach Taylor

In vielen Fällen stellt die Beschränkung auf den Punkt x = 0 ein schweres Hindernis für die Lösung bestimmter Aufgaben dar. Daher ist eine gleichwertige Entwicklung einer Funktion um den Punkt x = x0 gesucht. Die damit verbundene Verallgemeinerung der Reihenentwicklung ist nach dem englischen Mathematiker TAYLOR (Brook TAYLOR, 1685-1731) benannt. Analog zu den Überlegungen für die Herleitung der Näherungsformel 1. Ordnung (Gl. 103) wird in Gl. 183 die folgende Substitution vorgenommen:

\( x \to x - {x_0} \) Gl. 191

\( f(x) = {a_0} + {a_1} \cdot (x - {x_0}) + {a_2} \cdot {(x - {x_0})^2} + {a_3} \cdot {(x - {x_0})^3} + \,.... = \sum\limits_{n = 0}^\infty { {a_n} \cdot { {(x - {x_0})}^n} } \) Gl. 192

Dann verschwinden die höheren Potenzen der Potenzreihe nach der Differenziation wenn x → x0, so dass der gewählte Lösungsalgorithmus zur Bestimmung der an ebenfalls greift. Die Berechnung der Koeffizienten erfolgt dann nach

\( {a_n} = \frac{1}{ {n!} } \cdot {f^{(n)} }({x_0}) \) Gl. 193

So ist z.B. die Wahl von x0 = 1 sinnvoll für die Entwicklung der Logarithmusfunktion, denn der log(0) ist nicht definiert!

Beispiel:

Es sei die Funktion ln(x) an der Stelle x = 1 zu entwickeln.

\( \ln (x) = \ln (1) + \frac{1}{1} \cdot \left( {x - 1} \right) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot {\left( {x - 1} \right)^3} - \,6 \cdot \frac{1}{ {24} } \cdot {\left( {x - 1} \right)^4} \)

\( \ln (x) = \left( {x - 1} \right) - \frac{1}{2} \cdot {\left( {x - 1} \right)^2} + \frac{1}{3} \cdot {\left( {x - 1} \right)^3} - \,\frac{1}{4} \cdot {\left( {x - 1} \right)^4} \)

\( \ln (x) = \sum\limits_{n = 1}^\infty { { {\left( { - 1} \right)}^n}\frac{1}{n} \cdot { {\left( {x - 1} \right)}^n} } \) Konvergenzradius x < 1

Für x = 1 wird ln(1) = 0 korrekt geliefert.

Für x = 0.5 liegt der Fehler für n = 10 unter 0,0004.

Konvergenzradius

Wie schon bei der Konvergenzbetrachtung der geometrischen Reihe festgestellt (vergleiche 3.2.2.1), ist die Konvergenz nicht nur vom funktionellen Aufbau der Reihenglieder abhängig, sondern auch vom numerischen Wert der Variablen. Der Wertebereich der Variablen, für den die Reihe noch konvergiert, wird Konvergenzradius genannt. Der Konvergenzradius r der geometrischen Reihe wäre also r<1, da die Reihe nur für |q|<1 konvergiert.

Der Konvergenzradius kann nach verschiedenen Methoden abgeschätzt werden. Bei einer Potenzreihe nach Gl. 183 kann sowohl das Quotientenkriterium (Gl. 180), als auch das Wurzelkriterium (Gl. 181) herangezogen werden:

\( r = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ { {a_n} } }{ { {a_{n + 1} } } } } \right| \) Gl. 194

\( r = \frac{1}{ {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{ {\left| { {a_n} } \right|} } } } \) Gl. 195

Beispiel 1:

Das allgemeine Glied der Reihe für den natürlichen Logarithmus lautet \({a_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\frac{1}{n}\).

Die Anwendung des Quotientenkriteriums ergibt einen Konvergenzradius von

\( r = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ { {a_n} } }{ { {a_{n + 1} } } } } \right| = \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ {\frac{1}{n} } }{ {\frac{1}{ {n + 1} } } } } \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ {n + 1} }{n} } \right| = 1 \)

Beispiel 2:

Das allgemeine Glied der Exponentialreihe lautet \({a_n} = \frac{1}{ {n!} }\).

Die Anwendung des Quotientenkriteriums ergibt einen Konvergenzradius von

\( r = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ { {a_n} } }{ { {a_{n + 1} } } } } \right| = \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ {\left( {n + 1} \right)!} }{ {n!} } } \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ {\left( {n + 1} \right) \cdot n!} }{ {n!} } } \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} \left| {\left( {n + 1} \right)} \right| = \infty \)

Restgliedabschätzung

Die Reihenentwicklung spielt in der numerischen Mathematik eine überragende Rolle. Sei es die Berechnung von Werten transzendenter Funktionen oder die Lösung elementar nicht lösbarer Integrale, stets muss sich der Anwender darüber im Klaren sein, dass die numerische Berechnung unendlicher Reihen technisch nicht möglich ist. Folglich wird die Reihenentwicklung an einer bestimmten Stelle abgebrochen, wohl wissend, dass das Ergebnis fehlerbehaftet sein wird. Zur Abschätzung dieses Restfehlers wird die Restgliedabschätzung vorgenommen. Gl. 190 wird umgeformt:

\( f(x) = f(0) + \frac{ {f'(0)} }{ {1!} } \cdot x + \frac{ {f''(0)} }{ {2!} } \cdot {x^2} + \frac{ { {f^{\left( 3 \right)} } } }{ {3!} } \cdot {x^3} + \,....{R_n} \) Gl. 196

Das Restglied der MacLaurinschen Form wird nach CAUCHY wie folgt abgeschätzt:

\( {R_n} = \frac{ { {x^{n + 1} } } }{ {n!} }{(1 - \vartheta )^n}{f^{\left( {n + 1} \right)} }\left( {\vartheta x} \right); \quad \text{ für } \quad 0 < \vartheta < 1 \) Gl. 197

Beispiel:

Die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion wird nach dem 4. Glied abgebrochen. Es wird der Wert für x=1 bestimmt (Berechnung der EULERschen Zahl). In welchem Bereich bewegt sich der Fehler zum tatsächlichen Betrag?

Die Restgliedabschätzung ergibt

\( {R_5} = \frac{1}{ {5!} }{(1 - \vartheta )^5} \cdot {e^\vartheta }; \text{ für } 0 < \vartheta < 1 \)

Offenbar tritt der größte Fehler bei J=0 auf:

\({R_5} = \frac{1}{ {5!} } = \frac{1}{ {120} } = 0,0083\)

Wichtige Reihen

\( \sin (x) = 1 \cdot x - \frac{1}{6} \cdot {x^3} + \,\frac{1}{ {120} } \cdot {x^5}.... = \sum\limits_{n = 0}^\infty { { {\left( { - 1} \right)}^n}\frac{1}{ {(2n + 1)!} } \cdot {x^{2n + 1} } } ; \) r < ∞ Gl. 198

\( \cos (x) = 1 - \frac{1}{ {2!} } \cdot {x^2} + \,\frac{1}{ {4!} } \cdot {x^4} - \frac{1}{ {6!} } \cdot {x^6}.... = \sum\limits_{n = 0}^\infty { { {\left( { - 1} \right)}^n}\frac{1}{ {(2n)!} } \cdot {x^{2n} } } ; \) r < ∞ Gl. 199

\( {e^x} = 1 + \frac{1}{ {1!} } \cdot x + \,\frac{1}{ {2!} } \cdot {x^2} + \frac{1}{ {3!} } \cdot {x^3}.... = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{ {n!} } \cdot {x^n} } ; \) r < ∞ Gl. 200

\( \arcsin (x) = x + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3} \cdot {x^3} + \,\frac{ {1 \cdot 3} }{ {4 \cdot 5} } \cdot {x^5}.... + \frac{ {1 \cdot 3 \cdot ... \cdot (2n - 3)} }{ {4 \cdot ... \cdot (2n - 2) \cdot (2n - 1)} } \cdot {x^{2n - 1} } } \right); \) r < 1 Gl. 201

\( \arccos (x) = \frac{\pi }{2} - x - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3} \cdot {x^3} + \,\frac{ {1 \cdot 3} }{ {4 \cdot 5} } \cdot {x^5}.... + \frac{ {1 \cdot 3 \cdot ... \cdot (2n - 3)} }{ {4 \cdot ... \cdot (2n - 2) \cdot (2n - 1)} } \cdot {x^{2n - 1} } } \right); \) r < 1 Gl. 202

\( \arctan (x) = x - \frac{1}{3} \cdot {x^3} + \,\frac{1}{5} \cdot {x^5} - \frac{1}{7} \cdot {x^7}.... + \frac{ { { {\left( { - 1} \right)}^n} } }{ {(2n + 1)} } \cdot {x^{2n + 1} }; \) r < 1 Gl. 203

\( \ln (1 + x) = x - \,\frac{1}{2} \cdot {x^2} + \frac{1}{3} \cdot {x^3} - \frac{1}{4} \cdot {x^4}.... = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{n} \cdot {x^n} } ; \) r < 1 Gl. 204

Binomische Reihe

\( {(1 + x)^m} = 1 + \,\left( {\begin{array}{*{20}{c} }m\\1\end{array} } \right) \cdot {x^1} + \,\left( {\begin{array}{*{20}{c} }m\\2\end{array} } \right) \cdot {x^2} + \left( {\begin{array}{*{20}{c} }m\\3\end{array} } \right) \cdot {x^3}.... = \sum\limits_{n = 0}^m {\left( {\begin{array}{*{20}{c} }m\\n\end{array} } \right) \cdot {x^n} } ; \) r < 1 Gl. 205

Achtung: die Binomische Reihe gilt auch für alle reellen m.

Anwendungen

Berechnung wichtiger Konstanten

In den Naturwissenschaften wichtige Konstanten wie e oder π werden ebenfalls durch Reihenentwicklung numerisch bestimmt.

Nach Gl. 200 kann die EULERsche Zahl e durch das Berechnen der Reihe für x=1 ermittelt werden:

\( e = {e^1} = 1 + \frac{1}{ {1!} } + \,\frac{1}{ {2!} } + \frac{1}{ {3!} }.... = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{ {n!} } } \) Gl. 206

Diese Reihe konvergiert sehr schnell und führt schon nach einigen Gliedern zu brauchbaren Resultaten.

Die Berechnung von π ist nicht so trivial. Grundlage hierfür ist die Reihe für den arctan, denn für arctan(1) ist der zugehörige Winkel gleich π/4.

\( \frac{\pi }{4} = \arctan (1) = 1 - \frac{1}{3} + \,\frac{1}{5} - \frac{1}{7}.... + \frac{ { { {\left( { - 1} \right)}^n} } }{ {(2n + 1)} } \) Gl. 207

Diese Reihe konvergiert nun recht langsam, weshalb sie für den praktischen Gebrauch wenig geeignet ist. Deshalb werden als Argument andere Werte verwendet, bei denen die Konvergenz rascher verläuft.

Berechnung elementar nicht lösbarer Integrale

In Abschnitt Partielle Integration (Produktregel) wurden Integrale aufgeführt, die nicht elementar, d.h. weder durch Substitution noch durch andere Verfahren, gelöst werden können. Hierfür bietet die Reihenentwicklung einen vorteilhaften Ansatz. Potenzreihen sind stetig und ohne Einschränkungen integrierbar.

Ist die Funktion f(x) in einem interessierenden Intervall stetig und differenzierbar, kann sie in einer Potenzreihe (Gl. 190) entwickelt werden. Entsprechend der Integrationsregeln dürfen die einzelnen Summanden der Reihe getrennt integriert werden.

\( \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {f(x)dx} = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {\left( {f(0) + \frac{ {f'(0)} }{ {1!} } \cdot x + \frac{ {f''(0)} }{ {2!} } \cdot {x^2} + \frac{ { {f^{\left( 3 \right)} } } }{ {3!} } \cdot {x^3} + \,....} \right)dx} \) Gl. 208

\( \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {f(x)dx} = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{ { {f^{\left( n \right)} } } }{ {n!} } \cdot {x^n} } dx} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\frac{ { {f^{\left( n \right)} } } }{ {n!} } \cdot \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } { {x^n}dx} } \right)} \) Gl. 209

Beispiel:

Gesucht ist das Integral \(F(x) = \int\limits_1^2 {\frac{ { {e^x} } }{x}dx} \) (Gl. 153). Mit der Potenzreihe der Funktion ex (Gl. 200) und unter Beachtung des Konvergenzradius r < ∞ wird der Integrant:

\(\frac{ { {e^x} } }{x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{ {1!} } + \,\frac{1}{ {2!} } \cdot x + \frac{1}{ {3!} } \cdot {x^2}.... = 1 + \frac{1}{x} + \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{ {n!} } \cdot {x^{n - 1} } } ; \)

Nun kann die Integration vollzogen werden:

\( \int\limits_1^2 {\frac{ { {e^x} } }{x}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {1 + \frac{1}{x} + \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{ {n!} } \cdot {x^{n - 1} } } } \right)dx = \left. {\left( {x + \ln x + \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{ {n \cdot n!} } \cdot {x^n} } } \right)} \right|}_1^2 \)

\( \int\limits_1^2 {\frac{ { {e^x} } }{x}dx} = \left( {\left( {2 - 1} \right) + \ln \left( {2 - 1} \right) + \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{ {n \cdot n!} } \cdot { {\left( {2 - 1} \right)}^n} } } \right) = 1 + \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{ {n \cdot n!} } \approx 1,} {\rm{31790215} } \)

Näherungsberechnung

In Kapitel Bezierkurven wurde bereits ein Verfahren zur näherungsweisen Ermittlung von Funktionswerten angegeben. Die Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen gibt ein weiteres, umfassenderes Mittel zur Näherungsberechnung an die Hand.

Gl. 196 stellt eine Anweisung zur Näherung von Funktionen dar und Gl. 197 liefert die Abschätzung für die zu erwartende Genauigkeit. In der Praxis begnügt man sich oft damit, die Potenzreihe mit einigen wenigen Gliedern zu berechnen, so dass eine bestimmte Anzahl von Dezimalstellen genau berechnet wird. Der verbleibende Fehler wird dann auf der Grundlage des Wertes des letzten Gliedes abgeschätzt.

Beispiel:

Es sei der Sinus von 25° (entspricht einem Bogen von \( 2π·\frac{25}{360} \)) auf 4 Dezimalstellen genau zu berechnen:

Näherung Sinus 25 Grad

Bereits das 4. Glied ist betragsmäßig deutlich kleiner als es die vorgegebene Genauigkeit fordert. Damit beträgt sin(25°) = 0,4226.

Da bei der Näherungsrechnung auf der Grundlage von Potenzreihen beliebig viele Glieder in die Berechnung aufgenommen werden können, liefert dieses Verfahren deutlich bessere Resultate als es von der einfachen (ersten) Näherung nach Kapitel „Bezierkurven“ zu erwarten ist.

Euler’sche Gleichung

Bei der Betrachtung der Reihen für die Funktionen ex, sin(x) und cos(x) fallen gewisse Parallelitäten auf:

\( \sin (x) = 1 \cdot x - \frac{1}{ {3!} } \cdot {x^3} + \,\frac{1}{ {5!} } \cdot {x^5}.... = \sum\limits_{n = 0}^\infty { { {\left( { - 1} \right)}^n}\frac{1}{ {(2n + 1)!} } \cdot {x^{2n + 1} } } ; \) R < ∞ Gl. 210

\( \cos (x) = 1 - \frac{1}{ {2!} } \cdot {x^2} + \,\frac{1}{ {4!} } \cdot {x^4} - \frac{1}{ {6!} } \cdot {x^6}.... = \sum\limits_{n = 0}^\infty { { {\left( { - 1} \right)}^n}\frac{1}{ {(2n)!} } \cdot {x^{2n} } } ; \) R < ∞ Gl. 211

\( {e^x} = 1 + \frac{1}{ {1!} } \cdot x + \,\frac{1}{ {2!} } \cdot {x^2} + \frac{1}{ {3!} } \cdot {x^3}.... = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{ {n!} } \cdot {x^n} } ; \) R < ∞ Gl. 212

Wird jetzt in Gl. 212 das reelle Argument x durch das imaginäre Argument i×x ersetzt, ergibt sich:

\( {e^{ix} } = 1 + i \cdot \frac{1}{ {1!} } \cdot x + {\left( i \right)^2}\,\frac{1}{ {2!} } \cdot {x^2} + {\left( i \right)^3}\frac{1}{ {3!} } \cdot {x^3}.... = \sum\limits_{n = 0}^\infty { { {\left( i \right)}^n}\frac{1}{ {n!} } \cdot {x^n} } ; \)

Potenzierung der imaginären Faktoren:

\( {e^{ix} } = 1 + i \cdot \frac{1}{ {1!} } \cdot x - \,\frac{1}{ {2!} } \cdot {x^2} - i \cdot \frac{1}{ {3!} } \cdot {x^3} + \frac{1}{ {4!} } \cdot {x^4} + i \cdot \frac{1}{ {5!} } \cdot {x^5} - \,\frac{1}{ {6!} } \cdot {x^6}.... \)

und Real- und Imaginärteil trennen

\( {e^{ix} } = 1 - \,\frac{1}{ {2!} } \cdot {x^2} + \frac{1}{ {4!} } \cdot {x^4} - \,\frac{1}{ {6!} } \cdot {x^6}... + i \cdot \frac{1}{ {1!} } \cdot x - i \cdot \frac{1}{ {3!} } \cdot {x^3} + i \cdot \frac{1}{ {5!} } \cdot {x^5}... \)

\( {e^{ix} } = 1 - \,\frac{1}{ {2!} } \cdot {x^2} + \frac{1}{ {4!} } \cdot {x^4} - \,\frac{1}{ {6!} } \cdot {x^6}... + i \cdot \left( {\frac{1}{ {1!} } \cdot x - \frac{1}{ {3!} } \cdot {x^3} + \frac{1}{ {5!} } \cdot {x^5}...} \right) \)

ein Vergleich mit Gl. 210 und Gl. 211 ergibt, dass

\( {e^{i \cdot x} } = \cos x + i \cdot \sin x \) Gl. 213

die bekannte Euler’sche Gleichung darstellt. Sie stellt eine Beziehung zwischen der Exponentialfunktion ex und den trigonometrischen Funktionen cos(x) und sin(x) her.

Fourier-Reihen

Grundlagen der Schwingungslehre

Im Folgenden werden periodische Schwingungen beliebiger Gestalt betrachtet. Ungeachtet der Schwingungsform zeichnen sich periodische Schwingungen dadurch aus, dass nach Ablauf der Periodendauer T wieder die gleichen Funktionswerte eingenommen werden:

\( \phi (t + n \cdot T) = \phi \left( t \right) \) Gl. 214

Als Grundfunktion periodischer Schwingungen werden Sinus- (oder Cosinus) Schwingungen verwendet. Als Parameter wird die Schwingungszahl pro Sekunde oder Frequenz f in Hz eingeführt.

\( f = \frac{1}{T} \) Gl. 215

worin T die Periodendauer gemessen in s ist.

Aus Normierungsgründen wird die Frequenz f mit 2π multipliziert. Dieser Wert wird als Kreisfrequenz w bezeichnet.

\( \omega = 2 \cdot \pi \cdot f \) Gl. 216

Folglich wird die mathematisch übliche Schreibweise für Winkelfunktionen durch eine solche ersetzt, die den Anforderungen der Nachrichtentechnik angemessener ist:

\( \begin{array}{l} \sin \left( x \right) \quad \Rightarrow \quad \sin \left( {2\pi \frac{t}{T} } \right) = \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\\\cos \left( x \right) \quad \Rightarrow \quad \cos \left( {2\pi \frac{t}{T} } \right) = \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \end{array} \) Gl. 217

Analyse periodischer Funktionen

Es ist bekannt, dass periodische Schwingungen aus einer Grundschwingung und Oberschwingungen, die dieser überlagert sind, bestehen. Die Frequenzen von Oberwellen sind immer ganzzahlige Vielfache der Frequenz der Grundwelle.

Alle periodischen Funktionen, die stationär sind (d.h. ihren Charakter nicht verändern), können als Summe von sin- bzw. cos-Schwingungen aufgefasst werden. Daher lautet der allgemeine Ansatz:

\( f(t) = {a_0} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { {a_n}\cos \left( {n \cdot \omega \cdot t} \right) + {b_n}\sin \left( {n \cdot \omega \cdot t} \right)} \right)} \) Gl. 218

Hierin bedeuten die Koeffizienten a und b die Amplituden der einzelnen Schwingungen. Der Koeffizient a0 nimmt eine Sonderstellung ein, er drückt den Gleichanteil (Mittelwert) der Schwingung dar.

Die Unterschiedlichkeit der Mixtur von Oberwellen ist es, die Musikinstrumenten ihren typischen Klang verleihen. Aber auch Sprachsignale sind durch die Unterschiede der Oberwellenzusammensetzung charakterisiert.

Abbildung 27 zeigt, wie eine Vielzahl von Schwingungen unterschiedlicher Frequenz und Amplitude sich zu einer rechteckförmigen Schwingung überlagern.

Abbildung 27
Überlagerung von Schwingungen zu rechteckförmiger Schwingung
Abbildung 27: Überlagerung von Schwingungen zu rechteckförmiger Schwingung

Jean-Baptiste Joseph FOURIER, 1768-1830, untersuchte die Klasse von periodischen Funktionen. Der allgemeine Ansatz

\( f(x) = {a_0} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { {a_n}\cos \left( {n \cdot x} \right) + {b_n}\sin \left( {n \cdot x} \right)} \right)} \) Gl. 219

Stellt ebenfalls eine unendliche Reihe dar, deren Konvergenz mit wenigen Einschränkungen immer gegeben ist. Wegen der Periodizität gilt:

\( f\left( x \right) = f\left( {x + 2\pi } \right) \) Gl. 220

In Gl. 219 stehen die cos-Schwingungen für die geraden, d.h. zur y-Achse symmetrischen und die sin-Schwingungen für die ungeraden, d.h. zur y-Achse unsymmetrischen Schwingungsanteile.

Die Aufgabe besteht nunmehr darin, die unbekannten Koeffizienten an und bn zu bestimmen. Wegen der oben vorausgesetzten Stationärität des zu analysierenden Signals kann angenommen werden, dass jede Periode der jeder anderen gleicht. Darum darf die Analyse des Signals auf eine einzelne Periode bezogen werden. Ohne Beweis sei hier angegeben, dass

\( {a_0} = \frac{1}{ {2\pi } }\int\limits_0^{2\pi } {f\left( x \right)dx} \) Gl. 221

\( {a_n} = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^{2\pi } {f\left( x \right) \cdot \cos \left( {n \cdot x} \right)dx} \) Gl. 222

\( {b_n} = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^{2\pi } {f\left( x \right) \cdot \sin \left( {n \cdot x} \right)dx} \) Gl. 223

Die Berechnung oder Messung der Koeffizienten der Schwingungen und Oberwellen wird auch harmonische Analyse genannt. Die so ermittelte Reihe heißt FOURIER-Reihe.

Beispiel:

Es sei die Rechteckschwingung \(f(x) = \left\{ { \begin{array}{*{20}{c} } {1; \quad 0 \le x < \frac{\pi}{2} \text{ und } 3\frac{\pi }{2} \le x < 2\pi }\\{ - 1; \quad \frac{\pi }{2} \le x < 3\frac{\pi}{2}} \end{array} } \right. \)

einer harmonischen Analyse zu unterziehen.

Nach Gl. 221 bis Gl. 223 ergibt sich:

\({a_0} = \frac{1}{ {2\pi } }\left[ {\int\limits_0^{\pi /2} {1dx - \int\limits_{\pi /2}^{\pi 3/2} {1dx + } \int\limits_{\pi 3/2}^{2\pi } {1dx} } } \right] = \frac{1}{ {2\pi } }\left[ {\left. x \right|_0^{\pi /2} - \left. x \right|_{\pi /2}^{3\pi /2} + \left. x \right|_{3\pi /2}^{2\pi } } \right] = 0\)

\({a_n} = \frac{1}{\pi }\left[ {\int\limits_0^{\pi /2} {1 \cdot \cos \left( {n \cdot x} \right)dx - \int\limits_{\pi /2}^{\pi 3/2} {1 \cdot \cos \left( {n \cdot x} \right)dx + } \int\limits_{\pi 3/2}^{2\pi } {1 \cdot \cos \left( {n \cdot x} \right)dx} } } \right]\)

\(\,\,\,\,\, = \frac{1}{\pi }\left[ {\left. {\frac{1}{n}\sin \left( {nx} \right)} \right|_0^{\pi /2}\left. { - \frac{1}{n}\sin \left( {nx} \right)} \right|_{\pi /2}^{3\pi /2}\left. { + \frac{1}{n}\sin \left( {nx} \right)} \right|_{3\pi /2}^{2\pi } } \right]\)

\(\,\,\,\,\, = \frac{2}{ {n \cdot \pi } }\left[ {\sin \left( {n\frac{\pi }{2} } \right) - \sin \left( {n\frac{ {3\pi } }{2} } \right)} \right] = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c} }{\,\,\,\,\,0;\,\,n = 2,4,6,8,...}\\{\frac{4}{ {\pi \cdot n} };\,\,n = 1,5,9,...}\\{\frac{ { - 4} }{ {\pi \cdot n} };\,\,n = 3,7,11,..}\end{array} } \right.\)

\({b_n} = \frac{1}{\pi }\left[ {\int\limits_0^{\pi /2} {1 \cdot \sin \left( {n \cdot x} \right)dx - \int\limits_{\pi /2}^{\pi 3/2} {1 \cdot \sin \left( {n \cdot x} \right)dx + } \int\limits_{\pi 3/2}^{2\pi } {1 \cdot \sin \left( {n \cdot x} \right)dx} } } \right]\)

\(\,\,\,\,\, = \frac{1}{\pi }\left[ {\left. { - \frac{1}{n}\cos \left( {nx} \right)} \right|_0^{\pi /2}\left. { + \frac{1}{n}\cos \left( {nx} \right)} \right|_{\pi /2}^{3\pi /2}\left. { - \frac{1}{n}\cos \left( {nx} \right)} \right|_{3\pi /2}^{2\pi } } \right] = 0\)

Damit lautet die gesuchte FOURIER-Reihe:

\(f(x) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{ { { {\left( { - 1} \right)}^{n + 1} } } }{ {\left( {2n - 1} \right)\pi } }\cos \left( {\left( {2n - 1} \right) \cdot x} \right)} \right)} \)

GIBBSsches Phänomen

Als GIBBSsches Phänomen oder „Ringing“ bezeichnet man in der Mathematik das typische Verhalten von Fourierreihen in der Umgebung von Sprungsstellen. Wird eine Fourierreihe aus einer Funktion mit Unstetigkeiten entwickelt, ergeben sich an den Unstetigkeitsstellen typische Über- und Unterschwinger, die sich aber mit steigendem Anteil hochfrequenter Schwingungen verringern. Erst bei einer unendlichen Reihe verschwinden die Überschwinger. Dies liegt daran, dass die Reihe an der Unstetigkeitsstelle nicht mehr gleichmäßig, sondern nur punktweise konvergiert. Der Effekt wurde nach seinem Entdecker, dem amerikanischen Physiker GIBBS, Josiah Willard, benannt.

Zeitfunktion und Spektrum

Das Ergebnis des Beispiels aus Abschnitt „Analyse periodischer Funktionen“ ist eine Folge von Cosinus-Schwingungen, deren Amplituden über der Nummer der Oberwelle aufgetragen, ein Bild entsprechend Abbildung 28 ergibt.

Abbildung 28
Folge von Cosinus-Schwingungen (Amplituden, Oberwellen)
Abbildung 28: Folge von Cosinus-Schwingungen (Amplituden, Oberwellen)

Eine solche Abbildung wird auch Spektrum genannt. Sie macht grafisch deutlich, aus welchen Oberwellen mit welcher Intensität die analysierte Schwingung zusammengesetzt ist.

Die Spektren stationärer periodischer Schwingungen haben immer nur zu den ganzzahligen Vielfachen der Grundwelle Schwingungsanteile. Zwischen diesen Frequenzen befinden sich Lücken. In der Darstellung von Abbildung 28 rechts wird dies durch die Linien, die genau an den Frequenzpositionen der Oberwellen auftreten, deutlich. Deshalb wird das Spektrum stationärer periodischer Schwingungen auch Linienspektrum oder diskretes Spektrum genannt.

Interessant ist nun, dass die FOURIER-Analyse mittels der Gleichungen Gl. 221 bis Gl. 223 in angepasster Form

\( {a_0} = \frac{1}{T}\int\limits_0^T {f\left( t \right)dt} \) Gl. 224

\( {a_n} = \frac{2}{T}\int\limits_0^T {f\left( t \right) \cdot \cos \left( {n \cdot \omega \cdot t} \right)dt} \) Gl. 225

\( {b_n} = \frac{2}{T}\int\limits_0^T {f\left( t \right) \cdot \sin \left( {n \cdot \omega \cdot t} \right)dt} \) Gl. 226

das Spektrum einer stationären periodischen Zeitfunktion berechnet. Umgekehrt kann aber bei Vorliegen der Amplitudenwerte der Oberwellen (d.h. dem Spektrum) durch die FOURIER-Synthese nach Gl. 219 in angepasster Form

\( f(t) = {a_0} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { {a_n}\cos \left( {n \cdot \omega \cdot t} \right) + {b_n}\sin \left( {n \cdot \omega \cdot t} \right)} \right)} \) Gl. 227

die zugehörige Zeitfunktion rekonstruiert werden. Folglich gilt:

Zeitfunktion und Spektrum stationärer periodischer Schwingungen sind identische Darstellungen eines Phänomens.

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