Wissen: Verkoppelte lineare Differenzialgleichungen

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Verkoppelte lineare Differenzialgleichungen

Verkoppelte Differenzialgleichungen treten auf, wenn Ableitungen von mehreren Variablen gegenseitig von diesen Variablen abhängig sind. Die folgende Gleichung gibt ein Beispiel für ein Paar verkoppelter linearer DGLn 1. Ordnung an.

\( \begin{array}{l}\dot x\left( t \right) = {a_{11} }x\left( t \right) + {a_{12} }y\left( t \right)\\\dot y\left( t \right) = {a_{21} }x\left( t \right) + {a_{22} }y\left( t \right)\end{array} \) Gl. 273

Mit den Mitteln der Matrizenrechnung kann Gl. 273 auch so geschrieben werden

\( \left( { \begin{array}{*{20}{c} } {\dot x\left( t \right)} \\ {\dot y\left( t \right)} \end{array} } \right) = \left( { \begin{array}{*{20}{c} } { {a_{11} } } & { {a_{12} } } \\ { {a_{21} } } & { {a_{22} } } \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{x\left( t \right)}\\{y\left( t \right)}\end{array} } \right) \) Gl. 274

Hierauf wird nun der Lösungsansatz von Gl. 254 angewandt

\( \begin{array}{l}x\left( t \right) = {x_0}{e^{\lambda \cdot t} }\\y\left( t \right) = {y_0}{e^{\lambda \cdot t} }\end{array}\) ⇒ \(X\left( t \right) = {X_0}{e^{\lambda \cdot t} } \) Gl. 275

x0 und y0 sind Konstanten, die im Verlaufe der Rechnung zu bestimmen sind. \(X\left( t \right)\) bzw. \({X_0}\) sind die Spaltenvektoren der Variablen des Gleichungssystems.

Differenzieren und einsetzen in Gl. 274

\( \lambda \cdot {X_0} \cdot {e^{\lambda \cdot t} } = A \cdot {X_0} \cdot {e^{\lambda \cdot t} } \) Gl. 276

Der Faktor \({e^{\lambda \cdot t} }\)kann aus den Spaltenvektoren herausgezogen

und gekürzt werden

\( \lambda \cdot {X_0} = A \cdot {X_0} \) Gl. 277

Diese Beziehung ist die definierende Aufgabenstellung für die Eigenwertbestimmung von Matrizen (siehe Manuskript „Lineare Algebra“). Die Lösung erfolgt wie bekannt

\( \left( {\begin{array}{*{20}{c} }\lambda &0\\0&\lambda \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {x_0} }\\{ {y_0} }\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {x_0} }\\{ {y_0} }\end{array} } \right) \) Gl. 278

\( \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c} }\lambda & 0 \\ 0&\lambda \end{array} } \right)} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {x_0} }\\{ {y_0} }\end{array} } \right) = 0 \) Gl. 279

\( \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } - \lambda } & { {a_{12} } } \\ { {a_{21} } } & { {a_{22} } - \lambda }\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {x_0} }\\{ {y_0} }\end{array} } \right) = 0 \) Gl. 280

Das Produkt ist nichttrivial verschwindend, wenn die Matrix

\( \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } - \lambda } & { {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } - \lambda }\end{array} } \right) = 0 \) Gl. 281

verschwindet. Dies ist der Fall, wenn deren Determinante verschwindet

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } - \lambda } & { {a_{12} } } \\ { {a_{21} } }&{ {a_{22} } - \lambda }\end{array} } \right| = 0 \) Gl. 282

Die Lösung führt schließlich auf das charakteristische Polynom

\( {\lambda ^2} - \left( { {a_{11} } + {a_{22} } } \right)\lambda + \left( { {a_{11} } \cdot {a_{22} } - {a_{12} } \cdot {a_{21} } } \right) = 0 \) Gl. 283

Dies ist eine quadratische Gleichung mit zwei Lösungen \({\lambda _1}\) und \({\lambda _2}\). Damit können die zu den Eigenwerten gehörigen Eigenvektoren \({X_1}\) und \({X_2}\) bestimmt werden, so dass die Lösung der verkoppelten DGL lautet

\( X\left( t \right) = {c_1} \cdot {X_1} \cdot {e^{ {\lambda _1} \cdot t} } + {c_2} \cdot {X_2} \cdot {e^{ {\lambda _2} \cdot t} } \) Gl. 284

Die Integrationskonstanten \({c_1}\) und \({c_2}\) können im Zusammenhang mit der Normierung der Eigenvektoren \({X_1}\) und \({X_2}\) gesehen werden. Im besonderen werden sie aber zur Modellierung der Randbedingungen verwendet.

Beispiel:

Die Modellierung des Wachstums oder der Dezimierung von Populationen kann näherungsweise durch verkoppelte DGLn erfolgen. Das Räuber-Beute-Verhalten wird nach LOTKA, Alfred (1880-1949) und VOLTERRA, Vito (1860-1940) durch das Gleichungssystem

\( \begin{array}{l} I. & \dot x\left( t \right) = \left( {gB - sB \cdot y\left( t \right)} \right) \cdot x\left( t \right) \\ II. & \dot y\left( t \right) = \left( { - sR + gR \cdot x\left( t \right)} \right) \cdot y\left( t \right) \end{array} \)

beschrieben. x(t) sei der zeitliche Verlauf der Population von Schneehasen und y(t) der die Schneehasen jagenden Polarfüchse. \(\dot x\left( t \right)\) und \(\dot y\left( t \right)\) geben die Änderungsraten der Populationen an. Mit gB, gR sind die Geburtsraten der Beutetiere bzw. Räuber und mit sB, sR die jeweiligen Sterberaten bezeichnet. Die Koeffizienten gB bzw. sR beschreiben das Wachstum der jeweiligen Population, wenn sie ungestört von der anderen Population leben würden. Der Zuwachs der Schneehasen bzw. die Abnahme der Polarfüchse (d.h. die erste Ableitung) der Populationen ist proportional zu der bereits vorhandenen Menge von Tieren. Hingegen sind die Sterberaten der Beutetiere proportional sowohl von der eigenen Anzahl als auch von der Anzahl der Räuber. Umgekehrt gilt, dass die Zunahme der Polarfüchse proportional von der eigenen Anzahl und natürlich vom Nahrungsangebot an Schneehasen abhängt.

Leider ist dieses System von Differenzialgleichungen nicht elementar lösbar, daher soll hier eine vereinfachte Variante obiger Aufgabe untersucht werden:

\( \begin{array}{l}\dot x\left( t \right) = {a_{11} }x\left(t \right) + {a_{12} }y\left( t \right) \\ \dot y\left( t\right) = {a_{21} }x\left( t \right) + {a_{22} }y\left(t \right)\end{array} \)

Der Lösungsansatz von Gl. 275 führt zu der charakteristischen Gleichung

\( {\lambda ^2} - \left( { {a_{11} } + {a_{22} } } \right)\lambda + \left( { {a_{11} } \cdot {a_{22} } - {a_{12} } \cdot {a_{21} } } \right) = 0 \), die für \(\lambda \) folgende Lösungen liefert

\( {\lambda _{1,2} } = \frac{ { {a_{11} } + {a_{22} } } }{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt { { {\left( { {a_{11} } - {a_{22} } } \right)}^2} + 4 \cdot {a_{12} }{a_{21} } } \)

Es kann angenommen werden, dass der Wurzelausdruck imaginär nach obiger Annahme imaginär wird. Weiterhin soll vereinfachend angenommen werden, dass Eigen-Wachstumsraten beider Populationen gleich groß seien (\({a_{11} } = {a_{22} } = \alpha \)) und dass die gegenseitige Wechselwirkungen bis auf das Vorzeichen ebenfalls gleich seien (\({a_{12} } = {a_{21} } = \omega \)):

\({\lambda _{1,2} } = \alpha \pm i \cdot \omega \)

Die zugehörigen Eigenvektoren werden aus der Definitionsgleichung Gl. 280 abgeleitet:

\( \left( {\begin{array}{*{20}{c} } {\alpha - \left( {\alpha \pm i\omega } \right)} & {\sqrt \omega }\\{\sqrt \omega } & {\alpha - \left( {\alpha \pm i\omega } \right)} \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {x_0} }\\{ {y_0} }\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ \mp i\omega } & {\sqrt \omega } \\ {\sqrt \omega }&{ \mp i\omega }\end{array} } \right) \cdot \left({\begin{array}{*{20}{c} }{ {x_0} } \\ { {y_0} } \end{array} } \right) = 0 \)

Da das Gleichungssystem überbestimmt ist, darf eine Gleichung gestrichen und Variable frei gewählt werden. Mit \({x_0} = 1\) wird

\( \begin{array}{l}\sqrt \omega \mp i\omega \cdot {y_0} = 0 \\ {y_{01} } = i\frac{1}{ {\sqrt \omega } }; \quad {y_{02} } = - i\frac{1}{ {\sqrt \omega } } \end{array} \)

Damit lautet die allgemeine (homogene) Lösung der verkoppelten DGL

\( X\left( t \right) = {c_1} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1\\{i\frac{1}{ {\sqrt \omega } } }\end{array} } \right) \cdot {e^{\left( {\alpha + i\omega } \right) \cdot t} } + {c_2} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1\\{ - i\frac{1}{ {\sqrt \omega } } }\end{array} } \right) \cdot {e^{\left( {\alpha - i\omega } \right) \cdot t} } \)

Mit der Anfangsbedingung \(X\left( 0 \right) = {X_0}\) werden die Konstanten bestimmt:

\( {X_0} = {c_1} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1\\{i\frac{1}{ {\sqrt \omega } } }\end{array} } \right) + {c_2} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1\\{ - i\frac{1}{ {\sqrt \omega } } }\end{array} } \right) \)

\( \begin{array}{l}{x_0} = {c_1} + {c_2}\\{y_0} = i\frac{1}{ {\sqrt \omega } } \cdot {c_1} - i\frac{1}{ {\sqrt \omega } } \cdot {c_2}\end{array} \)

Das führt auf

\( {c_1} = \frac{1}{2}\left( { {x_0} - i\sqrt \omega {y_0} } \right)\) und \( {c_2} = \frac{1}{2}\left( { {x_0} + i\sqrt \omega {y_0} } \right) \)

Einsetzen in die homogene Lösung

\( X\left( t \right) = \frac{1}{2}\left( { {x_0} - i\sqrt \omega {y_0} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1\\{i\frac{1}{ {\sqrt \omega } } }\end{array} } \right) \cdot {e^{\left( {\alpha + i\omega } \right) \cdot t} } + \frac{1}{2}\left( { {x_0} + i\sqrt \omega {y_0} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1\\{ - i\frac{1}{ {\sqrt \omega } } }\end{array} } \right) \cdot {e^{\left( {\alpha - i\omega } \right) \cdot t} } \)

Auflösen

\( \begin{array}{l}x\left( t \right) = \frac{1}{2}\left( { {x_0} - i\sqrt \omega {y_0} } \right) \cdot {e^{\left( {\alpha + i\omega } \right) \cdot t} } + \frac{1}{2}\left( { {x_0} + i\sqrt \omega {y_0} } \right) \cdot {e^{\left( {\alpha - i\omega } \right) \cdot t} }\\\end{array} \) und

\( y\left( t \right) = \frac{1}{2}\left( { {x_0} - i\sqrt \omega {y_0} } \right) \cdot i\frac{1}{ {\sqrt \omega } } \cdot {e^{\left( {\alpha + i\omega } \right) \cdot t} } - \frac{1}{2}\left( { {x_0} + i\sqrt \omega {y_0} } \right) \cdot i\frac{1}{ {\sqrt \omega } } \cdot {e^{\left( {\alpha - i\omega } \right) \cdot t} } \)

schließlich

\( x\left( t \right) = \left[ { {x_0} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) + \sqrt \omega {y_0} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)} \right] \cdot {e^{\alpha t} } \)

und

\( y\left( t \right) = \left[ { - \frac{ { {x_0} } }{ {\sqrt \omega } } \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) + {y_0} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)} \right] \cdot {e^{\alpha t} } \)

Populationsverlauf

Der zeitliche Populationsverlauf veranschaulicht, das beide Populationsstärken in Wechselwirkung stehen. Immer wenn die Polarfüchse zu viele Schneehasen gefressen haben, sterben auch die Polarfüchse mit einem zeitlichen Versatz vermehrt. Dadurch erholen sich die Schneehasen, was wieder mit zeitlicher Verzögerung, zu einer Zunahme der Polarfüchse führt.

Allerdings verursacht die oben gemachte Vereinfachung nicht erklärbare negative Populationsgrößen.

  Schreib uns deine Hinweise