G15: Antiproportionalität

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Video: Einführung Antiproportionalität

Was ist Antiproportionalität?

Bevor wir mit dieser Lektion anfangen, solltest du bereits die Lektion G14 Proportionalität kennen.

Klären wir zunächst einmal was Antiproportionalität überhaupt bedeutet. „Anti“ kommt aus dem griechischen und bedeutet so viel wie „gegen“. Das Wort Proportionalität kennen wir bereits. Zur Wiederholung: Proportionalität beschreibt ein Verhältnis zwischen zwei Dingen. Dieses Verhältnis ist direkt, also beide Dinge/Größen steigen und fallen gleichmäßig.

Bei der Antiproportionalität haben wir eine Art „Gegenverhältnis“. Man nennt die Antiproportionalität deswegen auch indirekte Proportionalität. Was genau das ist, werden wir uns nun an einigen Beispielen anschauen.

Beispiel 1

Sagen wir, dass eine Person die Aufgabe hat, 10 Ziegelsteine von einem Ort zu einem anderem Ort zu transportieren. Die Person kann immer nur 1 Ziegelstein gleichzeitig tragen. Wie oft muss die Person nun vom einem zum anderem Ort laufen? Das ist eine ganz einfache Frage und wir wissen, dass die Person 10 mal laufen muss.

Was passiert jetzt aber, wenn die Person Hilfe bekommt und statt einer Person gleich 2 Personen die selbe Anzahl an Ziegelsteinen transportieren müssen? Was passiert, wenn 5 oder mehr Personen die Ziegelsteine transportieren? Wie oft muss jede einzelne Person dann laufen? Das können wir uns ganz einfach klar machen:

Für 10 Ziegelsteine läuft eine Person 10 mal. Rechnerisch wäre das:
10 Ziegelsteine : 1 Person = 10 Läufe pro Person

Für 10 Ziegelsteine laufen 2 Personen jeweils 5 mal. Rechnerisch wäre das:
10 Ziegelsteine : 2 Personen = 5 Läufe pro Person

Für 10 Ziegelsteine laufen 5 Personen jeweils 2 mal. Rechnerisch wäre das:
10 Ziegelsteine : 5 Personen = 2 Läufe pro Person

Fällt euch bereits etwas bei dem Verhältnis „Anzahl der Personen zu Anzahl der Läufe pro Person“ auf? Wir sehen, dass wenn wir die Anzahl der Personen erhöhen, die Anzahl der Läufe pro Person sinkt. Genau dies ist das, was bei der Antiproportionalität passiert. Wenn wir genauer hinschauen, dann sehen wir auch, dass es so etwas wie einen Proportionalitätsfaktor gibt. Multiplizieren wir jeweils die fett gedruckten Zahlen in dem Beispiel so erhalten wir:

1 · 10 = 10
2 · 5 = 10
5 · 2 = 10

Unser Verhältnis verändert sich gleichmäßig. Verdoppeln wir die Anzahl der Personen, so brauchen wir nur die Hälfte der Läufe. Verfünffachen wir die Anzahl der Leute, so brauchen wir nur ein Fünftel der Läufe. Den Wert 10 nennt man in diesem Fall Antiproportionalitätsfaktor. Wir können eine beliebige Anzahl an Personen nehmen und diese mit der dazugehörigen Anzahl an Läufen multiplizieren und wir würden immer den selben Antiproportionalitätsfaktor bei diesem Beispiel erhalten. Der Antiproportionalitätsfaktor eines Verhältnisses ändert sich nicht.

Halten wir also fest:

Wenn eine indirekte Proportionalität bei einem Verhältnis vorliegt, dann gilt: Multiplizieren wir die eine Größe mit einem Wert, so müssen wir die andere Größe durch diesen Wert teilen.

Machen wir uns das noch an einem zweitem Beispiel klar.

Beispiel 2

Unsere Aufgabe lautet: 20 Arbeiter bauen 10 Tage, um ein Haus fertigzustellen. Wie viele Tage benötigen 10 Arbeiter?

Diese Aufgabe können wir über den Antiproportionalitätsfaktor lösen.
20 Arbeiter = 10 Tage ⇒ Antiproportionalitätsfaktor: 20 · 10 = 200
10 Arbeiter = ? Tage ⇒ Antiproportionalitätsfaktor: 10 · ? = 200

Wir müssen also nur schauen, bei wie vielen Tagen wir den selben Antiproportionalitätsfaktor erhalten. Dafür brauchen wir nur eine Gleichung auflösen:

10 · x = 200

Stellen wir die Gleichung nach x um, so erhalten wir:
x = 200 : 10
x = 20
10 Arbeiter brauchen also 20 Tage.

Außerdem können wir die Aussage noch über den Dreisatz lösen. Wir berechnen dafür erst einmal, wie lange 1 Arbeiter braucht und daraus anschließend, wie lange 10 Arbeiter brauchen:

20 Arbeiter brauchen 10 Tage.
1 Arbeiter braucht 20 mal so lange, also 10 · 20 Tage = 200 Tage.
10 Arbeiter sind 10 mal so schnell, also 200 : 10 Tage = 20 Tage.

Auch hier erhalten wir das selbe Ergebnis.

Zusatz: Antiproportionalität und Fläche

Wir können uns die Antiproportionalität auch anhand einer Fläche anschaulich machen. Wir haben ein Rechteck mit einem Flächeninhalt, der dem Antiproportionalitätsfaktor entspricht. Die beiden Seitenlängen entsprechen den beiden Größen unseres Verhältnisses. Jetzt ändern wir die beiden Seitenlängen des Rechtecks so, dass sich der Flächeninhalt sich nicht ändert - und damit auch nicht der Antiproportionalitätsfaktor. Wir vergrößern also die eine Seitenlänge um einen bestimmen Faktor und verringern dementsprechend die zweite Seitenlänge um den selben Faktor. Anschaulich ist das Ganze noch einmal in dem zur Lektion gehörendem Programm dargestellt.

Zusammenfassung

Direkte Proportionalität:

Zwei Mengen sind zueinander direkt-proportional, wenn sie zusammen gleichmäßig steigen oder fallen. Mit "gleichmäßig" ist ein gleiches Verhältnis gemeint, also der Proportionalitätsfaktor, den wir ausrechnen können, indem wir beide Mengen miteinander dividieren. Dieser Wert muss stets konstant sein!

Indirekte Proportionalität:

Zwei Menge sind zueinander indirekt-proportional, wenn die eine Menge steigt und die andere Menge im gleichen Maße fällt. Mit "gleichem Maße" ist der Antiproportionalitätsfaktor gemeint, den wir ausrechnen können, indem wir beide Mengen miteinander multiplizieren. Dieser Wert muss stets konstant sein!

Beispiele für indirekte Proportionalität:

1. Um so mehr Zeit du Sport treibst, desto weniger wirst du wiegen.
2. Um so mehr wir uns von einem Epizentrum (dem Startpunkt eines Erdbebens) entfernen, desto weniger Erschütterungen bemerken wir.
3. Je weiter sich eine Welle auf dem Meer bewegt, desto kleiner wird sie.
4. Um so mehr du dich wäschst, desto weniger Bakterien befinden sich auf deiner Haut.

Bei der direkten Proportionalität schreiben wir zwei Mengen a und b, die direkt voneinander abhängen, allgemein mit: a ~ b

Bei der indirekten Proportionalität schreiben wir die zwei Mengen, die indirekt proportional voneinander abhängen, allgemein mit:

indirekte Proportionalität

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