Basisvektoren

Basisvektoren

Basisvektoren sind Einheitsvektoren, die die Basis für das Koordinatensystem bilden. Sie geben die Richtungen des Koordinatensystems an. Im zweidimensionalen Koordinatensystem wären das:

$$ \vec{e_x} = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \text{ und } \ \vec{e_y} \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}$$

Jeder Vektor baut auf diesen Basisvektoren auf, das heißt jeder Vektor kann mit Hilfe der skalaren Multiplikation von Basisvektoren gebildet werden.

Als Beispiel schreiben wir einen Vektor mit Hilfe der Linearkombination aus zwei Basisvektoren:

$$ \begin{pmatrix} 7\\9 \end{pmatrix} = 7 \cdot \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} + 9 \cdot \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} = 7 \cdot \vec{e_{x}} + 9 \cdot \vec{e_{y}} $$

Basisvektoren im Raum

Die Basisvektoren gibt es übrigens nicht nur im Zweidimensionalen (Ebene), sondern auch im Dreidimensionalen (Raum). Die Basisvektoren notiert man dort wie folgt:

$$ \vec{e_x} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \quad \vec{e_y} \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \quad \vec{e_z} \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$

Grafisch kann man sie in den Ursprung des Koordinatensystems zeichnen. Die Basisvektoren liegen auf den Achsen mit der Länge 1.

Mit diesen drei Basisvektoren und der Skalarmultiplikation können wir nun jeden beliebigen Vektor im Raum bilden. Man nennt sie auch "Standard-Basisvektoren" des dreidimensionalen Vektorraums R3.

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