2. Binomische Formel

Zweite Binomische Formel

Auch hier werden wir ein Beispiel benutzen, um die 2. Binomische Formel zu erklären.

Wir wollen folgende Aufgabe berechnen:

(4 - 1)2 = (4 - 1) · (4 - 1) = ...

Bevor wir das machen, werden wir noch einmal die Rechenregel für die Vorzeichen bei der Multiplikation auffrischen.

Multiplizieren wir eine positive Zahl mit einer anderen positiven Zahl, so ist das Produkt auch positiv: + mal + = +

Multiplizieren wir eine negative Zahl mit einer positiven Zahl, so ist das Produkt negativ: - mal + = - oder + mal - = -

Multiplizieren wir zwei negative Zahlen, so ist das Produkt positiv: - mal - = +

Rechnen wir nun, indem wir, wie bereits bekannt, die Klammern multiplizieren, dabei übernehmen wir das Minus auf die "1" und rechnen mit "(-1)" beim Ausmultiplizieren:

(4 - 1)2 = (4 - 1) · (4 - 1)
= 4· (4 - 1) + (-1)· (4 - 1)
= 4·4 + 4·(-1) + (-1)·4 + (-1)·(-1)
= 42 - 4·1 - 1·4 + 12
= 42 - 2·(4·1) + 12

Machen wir es auch hier ganz allgemein, indem wir die 4 mit einem a und die 1 mit einem b ersetzen:

(4 – 1)2 = 42 – 2·(4·1) + 12

(a – b)2 = a2 – 2·(a·b) + b2

Damit haben wir nun auch unsere 2. Binomische Formel.

(a - b)2 = a2 - 2·a·b + b2

Grafische Herleitung der 2. Binomischen Formel

Auch hier wollen wir die Formel grafisch darstellen. Dazu schreiben wir die Binomische Formel um:

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 = a2 - ab - ab + b2 = a2 - ab + b2 - ab

Der unterstrichene Teil entspricht einem Quadrat mit der Seitenlänge a.
Quadrat Seitenlänge a

Ziel: Wir wollen also nachweisen, dass die Fläche (a-b)2 genauso groß ist wie die Fläche a2 abzüglich Fläche ab + b2 abzüglich ab. Im Folgenden stellen wir dies grafisch dar, damit das Verständnis leichter fällt.

Zuerst ziehen wir teilen wir die Seite a auf in die Teilstrecken b und (a-b), denn (a-b) + b = a. Bzw. "a - b" ist "a ohne b".

Zweite Binomische Formel - Herleitung 0

Jetzt ergeben sich vier neue Teilflächen, die wir einzeichnen und berechnen können:

Zweite Binomische Formel - Herleitung 1

Nun müssen wir die Fläche a·b vom großen Quadrat aa2 abziehen (der erste Teil der Formel: a2 - a·b + b2 - ab ):

Zweite Binomische Formel - Herleitung 2

Dann bleiben zwei Restflächen rechts übrig:

Zweite Binomische Formel - Herleitung 3

Wir wollen unsere Formel weiter grafisch klären, gerade hatten wir a·b abgezogen: ( a2 - a·b + b2 - ab ). Jetzt steht dort, sollen wir ein b2 hinzufügen und dann ein "- ab" abziehen. Mit Blick auf die beiden Restflächen erkennen wir, dass uns das kleine Quadrat (b2) links oben fehlt. Wenn wir dieses dort anfügen, können wir horizontal noch einmal die Fläche a·b abziehen. Also ergänzen wir die Fläche b2 (das ist der markierte Teil in der Formel: a2 - a·b + b2 - a·b). Danach können wir ein zweites Mal die Fläche a·b abziehen (a2 - a·b + b2 - a·b).

Zweite Binomische Formel - Herleitung 4

Dann bleibt schließlich die Fläche (a - b)2 übrig:

Zweite Binomische Formel - Herleitung 5

Damit hätten wir die 2. Binomische Formel auch grafisch erklärt:

a2 - 2·a·b + b2 = a2 - a·b + b2 - a·b = (a - b)2

bzw. andersherum geschrieben: (a - b)2 = a2 - a·b + b2 - a·b = a2 - 2·a·b + b2

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