3. Binomische Formel

Dritte Binomische Formel

Wir starten mit dem Beispiel:
(7 + 3)·(7 3) = ...

Wir multiplizieren auch hier nach den selben Regeln wie in den anderen Beispielen und erhalten:

(7 + 3)·(7 - 3)
= 7·(7 - 3) + 3·(7 - 3)
= 7·7 - 7·3 + 3·7 - 3·3
= 7·7 + (- 7·3 + 7·3) - 3·3
= 7·7 + ( 0 ) - 3·3
= 7·7 - 3·3
= 72 - 32

Wir setzen nun zur Verallgemeinerung für die 7 ein a und für die 3 ein b ein:

(7 + 3)·(7 - 3) = 72 - 32
(a + b)·(a - b) = a2 - b2

Grafische Herleitung der 3. Binomischen Formel

Bei der grafischen Darstellung versuchen wir erneut aus der Fläche a2 unsere gesuchte Fläche darzustellen. Wir starten mit:

Quadrat Seitenlänge a

Wir teilen die Seiten des Quadrates wieder auf in (a-b) und b:

Dritte Binomische Formel Herleitung 0

In diesem Fall ziehen wir als nächstes das b2 von der Fläche a2 einmal ab (a2 - b2).

Dritte Binomische Formel Herleitung 1

Es bleiben drei Teilflächen übrig:

Dritte Binomische Formel Herleitung 2

Verschieben wir jetzt die Fläche (a-b)·b, die oben liegt nach rechts und drehen sie, so entsteht:

Dritte Binomische Formel Herleitung 3

Betrachten wir uns jetzt die Seitenlänge dieses Rechtecks, so fällt uns auf, dass sich aus b + (a-b) = b + a - b = a ergibt.

Dritte Binomische Formel Herleitung 4

Hier erkennen wir schon die gesuchte Fläche mit (a + b)·(a - b). Damit wäre auch die 3. Binomische Formel grafisch gezeigt.

(a + b) · (a - b) = a2 + b2

Rechner Binomische Formeln

  Schreib uns deine Hinweise