Umrechnen von Bogenmaß und Gradmaß

Umrechnen von Bogenmaß und Gradmaß

Das Gradmaß lässt sich leicht ins Bogenmaß umrechnen, genauso wie das Bogenmaß ins Gradmaß. Zuerst sehen wir, dass ein kompletter Kreis 360° sind bzw. 2·π rad. Für jeden Winkel können wir dann Grad oder Radiant bestimmen.

90° bedeutet: 1 Teil von 4 Teilen des Kreisbogens. Damit:

360° · \( \frac{1}{4} \) bzw. \( \frac{360°}{4} \) = 90°

Das Gleiche in Radiant ausgedrückt:

2·π · \( \frac{1}{4} \) bzw. 2·\( \frac{π}{4} \) = 0,5·π rad

0,5·π können wir ausrechnen mit dem Taschenrechner und erhalten 0,5·π ≈ 0,5 · 3,142 ≈ 1,571 rad.

Allgemeine Formel

Wir stellen das Verhältnis auf für einen vollen Kreis:

360° = 2·π

Dann dividieren wir auf beiden Seiten :2, also:

360° = 2·π   | :2
180° = π

Wenn wir einen Winkel α haben, können wir sagen α verhält sich zu 180° genauso wie unser Winkel in Radiant zu π:

αGrad / 180° = αrad / π

Auf Grundlage dieser Verhältnisgleichung können wir das Bogenmaß in Grad umwandeln und Grad in Bogenmaß.

Beispiel α = 90°, damit:

αGrad / 180° = αrad / π
90° / 180° = αrad / π
π · 90° / 180° = αrad

αrad = 0,5 · π

Wir können nun folgende allgemeine Formeln aufstellen:

Formel von Grad zu Bogenmaß

αGrad / 180° = αrad / π   | · π
αrad = (αGrad / 180°) · π

Formel von Bogenmaß zu Grad

αGrad / 180° = αrad / π   | · 180°
αGrad = (αrad / π) · 180°

Bogenmaß:   \( \color{blue}{\alpha_{\text{rad}}} = \frac { \alpha_{\text{Grad}} }{ 180° } \cdot \pi \)

Gradmaß:   \( \color{blue}{\alpha_{\text{Grad}}} = \frac { \alpha_{\text{rad}} }{ \pi } \cdot 180° \)

Winkelangabe in Gradmaß oder Bogenmaß

Bei der Angabe des Winkels ist es euch überlassen, ob ihr Gradmaß oder Bogenmaß notiert. Es handelt sich schließlich um den selben Winkel, nur in einer anderen Einheit ausgedrückt.

sin(α) = y → hier kann α entweder als Gradmaß oder Bogenmaß notiert sein

Beispiel:

sin(90°) = 1 =

sin(0,5π rad) = 1

Man schreibt übrigens das “rad” oft nicht mit, das heißt, folgende Notation ist auch korrekt:

sin(0,5π) = 1

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