G08: Brüche / Bruchrechnung

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Video: Division als Bruch

Was ist ein Bruch?

Man spricht grundsätzlich von einem "Bruch", wenn keine ganze Zahl vorliegt, sondern eine gebrochene Zahl. 4:2 = 2 (eine ganze Zahl), aber 2:4 = 2/4 (eine gebrochene Zahl, man lässt die Division so stehen, ersetzt jedoch das Divisionszeichen mit einem Bruchstrich).

$$ 2:4 = \frac{2}{4} $$

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Video: Bezeichnungen beim Bruch

Begriffe: Zähler und Nenner

Es gibt zwei Bezeichnungen, die wir benötigen. Oben auf dem Bruchstrich ist der "Zähler" und unten unterhalb des Bruchstrichs ist der "Nenner":

$$ \frac{Zähler}{Nenner} = \frac{a}{b}$$

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Video: Bruch am Kreis

Brüche am Kreis

Brüche werden meistens an einer Kreisgrafik dargestellt. Der Kreis ist das Ganze. Teilt man ihn gleichmäßig, so ergibt sich eine Stückelung (die Anzahl aller Stücke ist der Nenner). Wählen wir Teile davon aus, so erhalten wir den Zähler.

Als Beispiel eine Kreisgrafik, die den Bruch \( \frac{1}{2} \) als halbgefärbten Kreis darstellt. Wir haben eine Stückelung des Kreises in zwei Teile (Nenner = 2) und davon ist ein Teil blau markiert (Zähler = 1).

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Programm: Bruch am Kreis

Bruch einhalb grafisch

Mit anderen Worten: Die 2 bei \( \frac{\color{#00F}{1}}{ \color{#F00}{2}} \) meint 2 Kreisteile und die 1 bedeutet, dass 1 Kreisteil davon ausgewählt ist.

Genauso können wir den Kreis in 4 Teile zerlegen und davon 2 blau markieren. Es ergibt sich folgendes Bild:

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Programm: Bruch am Kreis

Bruch zwei Viertel grafisch

Hier ist gut zu erkennen, dass bei \( \frac{2}{4} \) wie auch bei \( \frac{1}{2} \) genau die Hälfte des Kreises markiert ist. Und richtig, beide sind gleich groß. Die Brüche haben den gleichen Wert. Wir können schreiben: \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Regeln zur Bruchrechnung

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Video: Kürzen

Kürzen von Brüchen

Nenner und Zähler werden mit der gleichen Zahl dividiert, Beispiel:

$$ \frac{24}{30} = \frac{24\color{blue}{:6}}{30\color{blue}{:6}} = \frac{4}{5} $$

$$ \frac{24}{30} = \frac{4}{5} = 0,8$$

Ihr seht, der Wert bleibt auch hier gleich.

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Video: Erweitern

Erweitern von Brüchen

Nenner und Zähler werden mit der gleichen Zahl multipliziert, Beispiel:

$$ \frac{2}{5} = \frac{2\color{blue}{·3}}{5\color{blue}{·3}} = \frac{6}{15} $$

$$ \frac{2}{5} = \frac{6}{15} = 0,4 $$

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Video: Addition von Brüchen

Addition von Brüchen

Bei der Addition von Brüchen (bei verschiedenen Nennern) müssen die Nenner gleichnamig gemacht werden. Das geht am Einfachsten, wenn wir den ersten Bruch \( \frac{a}{b} \) mit dem Nenner vom zweiten Bruch (also d) erweitern und den zweiten Bruch \( \frac{c}{d} \) mit dem Nenner vom ersten Bruch (also b) erweitern. Nachfolgend notiert:

$$ \frac{a}{\color{red}{b}} + \frac{c}{\color{blue}{d}} = \frac{a\color{blue}{·d}}{b\color{blue}{·d}} + \frac{c\color{red}{·b}}{d\color{red}{·b}} = \frac{a·d + c·b}{\color{red}{b}·\color{blue}{d}} $$

Setzt für die Variablen a, b, c und d einfach echte Zahlen ein und testet die Formel. Zum Beispiel so:

$$ \frac{2}{\color{red}{5}} + \frac{4}{\color{blue}{8}} = \frac{2\color{blue}{·8}}{5\color{blue}{·8}} + \frac{4\color{red}{·5}}{8\color{red}{·5}} = \frac{2·8 + 4·5}{\color{red}{5}·\color{blue}{8}} \\ \frac{2}{5} + \frac{4}{8} = 2:5 + 4:8 = 0,4 + 0,5 = 0,9 \\ \frac{2·8+4·5}{5·8} = \frac{16+20}{40} = \frac{36}{40} = 0,9 $$

Addition von Brüchen (grafisch)

Die Addition von Brüchen kann grafisch sehr anschaulich dargestellt werden. Man legt die Stücke einfach zusammen:

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Programm: Bruchaddition mit Kreisen

Brüche Addition grafisch

Wenn bei der Addition ein Ergebnis größer als 1 herauskommt, z. B. 13/10 = 1,3 als Dezimalzahl, so erhält man grafisch 1 kompletten Kreis und einen Kreis, der zu 0,3 gefüllt ist:

Brüche Addition grafisch

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Video: Subtraktion von Brüchen

Subtraktion von Brüchen

Bei der Subtraktion gelten die gleichen Regeln wie bei der Addition, nur dass wir ein Minuszeichen setzen:

$$ \frac{a}{\color{red}{b}} - \frac{c}{\color{blue}{d}} = \frac{a\color{blue}{·d}}{b\color{blue}{·d}} - \frac{c\color{red}{·b}}{d\color{red}{·b}} = \frac{a·d - c·b}{\color{red}{b}·\color{blue}{d}} $$

Subtraktion von Brüchen (grafisch)

Grafisch kann man die Subtraktion zweier Brüche wie folgt darstellen. Hier werden die Flächenstücke voneinander abgezogen:

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Programm: Bruchsubtraktion mit Kreisen

Brüche Subtraktion grafisch

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Video: Multiplikation von Brüchen

Multiplikation von Brüchen

Das ist wahrscheinlich die einfachste Regel, mit den Worten eines Schülers ausgedrückt: "oben mal oben und unten mal unten!" bzw. Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner:

$$ \frac{a}{b}·\frac{c}{d} = \frac{a·c}{b·d} $$

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Video: Division von Brüchen

Division von Brüchen

Bei der Division muss man immer zuerst den Kehrwert (Reziproke) bilden. Das heißt, Zähler und Nenner beim zweiten Bruch vertauschen. Danach darf bequem multipliziert werden:

$$ \frac{a}{b}:\frac{\color{blue}{c}}{\color{red}{d}} = \frac{a}{b}·\frac{\color{red}{d}}{\color{blue}{c}} = \frac{a·\color{red}{d}}{b·\color{blue}{c}} $$

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Video: Gemischte Zahlen

Gemischte Zahlen

Gemischte Zahlen (auch "gemischte Brüche" genannt) bestehen aus einer ganzen Zahl und einem Bruch dahinter:

$$ c \ \frac{a}{b}=c+\frac{a}{b} $$

Man kann sich deren Umwandlung in einen reinen Bruch wie folgt denken, indem man das c zu einem c/1 schreibt, dann gleichnamig macht und addiert:

$$ c+\frac{a}{b} = \frac{c}{1}+\frac{a}{b} = \frac{c·b}{1·b}+\frac{a}{b} = \frac{c·b+a}{b} $$

Brüche - Gemischte Zahlen

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Video: Arten von Brüchen

Arten von Brüchen: Echter Bruch, Unechter Bruch, Scheinbruch, Stammbruch

Ein echter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler im Betrag kleiner ist als der Nenner. Zum Beispiel:

$$ \frac{3}{8} $$

Ein unechter Bruch hingegen ist ein Bruch, bei dem der Zähler im Betrag größer ist als der Nenner. Zum Beispiel:

$$ \frac{9}{7} $$

Aus einem unechten Bruch lässt sich eine gemischte Zahl erschaffen, für das Beispiel:

$$ \frac{9}{7} = \frac{2+7}{7} = \frac{7}{7} + \frac{2}{7} = 1 + \frac{2}{7} = 1 \frac{2}{7} $$

Als Scheinbruch bezeichnet man Brüche, die zu ganzen Zahlen umgewandelt werden können, so beispielsweise:

$$ \frac{10}{2} = 5 \text{ oder auch } \frac{5}{5} = 1 $$

Stammbruch nennt man einen Bruch, der eine 1 im Zähler hat und eine natürliche Zahl im Nenner. Beispiele:

$$ \frac{1}{2} ; \frac{1}{5} ; \frac{1}{7} \text{ aber nicht } \frac{2}{5} $$

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Video: Kehrwert (Reziproke) erläutert

Warum Zähler und Nenner bei der Division von Brüchen vertauschen?

Wer sich schon immer gefragt hat, warum man bei der Division Nenner und Zähler vertauschen muss (den Kehrwert bildet) und dann multipliziert anstatt dividiert, der kann sich Folgendes denken:

$$ 1:2 = \color{lightgray}{\frac{1}{2}} = 1·\frac{1}{2} = \color{lightgray}{1:2} = 1:\frac{2}{1} $$

Wichtig: Eine Division mit einer Ganzen Zahl kann durch eine Multiplikation mit einem Bruch ausgedrückt werden.
Noch ein Beispiel hierzu:

$$ 3\color{red}{:2} = \frac{3}{2} = 3\color{red}{·\frac{1}{2}} = 3:\frac{2}{1} $$

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Video: Rationale Zahlen

Rationale Zahlen ("Bruchzahlen")

Mit der Bruchrechnung erschließen wir übrigens eine neue Zahlenmenge, die sich Rationale Zahlen nennt und mit dem Zeichen ℚ gekennzeichnet wird. Quotient stammt von dem lateinischen Wort "quotiens" und kann mit "wie oft" übersetzt werden. Es bezieht sich darauf, wie oft eine Zahl durch eine andere teilbar ist. Den Begriff Quotient kennen wir noch von der Division.

Man schreibt für die Rationalen Zahlen. Jede Zahl, die in einen Bruch umgewandelt werden kann, ist eine Rationale Zahl.

Beispiel: Division zu Bruch Umwandlung

$$ 21:4 = \frac{21}{4} $$

Auch ganze Zahlen sind rationale Zahlen, man kann sie stets umwandeln (mithilfe von einem Eintel), als Beispiel: Ganze Zahl zu Eintel-Bruch

$$ 8 = \frac{8}{1} $$

Eine Rationale Zahl wird daher definiert als das Verhältnis zweier ganzer Zahlen. Man schreibt: a/b, wobei a,b ∈ ℤ und b ≠ 0.

Natürliche Zahlen ℕ und die ganze Zahlen ℤ gehören ebenfalls zur Menge der rationalen Zahlen.

Keine rationalen Zahlen sind zum Beispiel die irrationalen Zahlen, die wir uns später anschauen. Als Beispiel einer irrationalen Zahl können √2 oder die Kreiszahl π (≈ 3,14159) genannt werden.

Merkmale rationaler Zahlen

Die rationalen Zahlen sollten jedem Schüler bis zur 10. Klasse geläufig sein. Sie haben folgende Merkmale:

1. Sie sind als Bruch darstellbar (z. B. 1 = 1/1 oder 0,5 = 1/2 oder 3,25 = 13/4)
2. Sie haben keine, endlich viele oder unendlich viele Nachkommastellen (Beispiele: keine Nachkommastellen: 2 = 2/1, endlich viele Nachkommastellen: 1,5 = 3/2, unendlich viele Nachkommastellen: 1/3 = 0,3333... = 0,3)
3. Wenn die Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat, sind diese periodisch.

Rationale Zahlen in der Schule

Man spricht in der Schulmathematik meist dann von "Rationalen Zahlen", wenn man das Rechnen mit negativen ganzen Zahlen einführt und die ganzen Zahlen außerdem um die Bruchzahlen erweitert. Neu ist dann für Schüler insbesondere der Umgang mit negativen Zahlen, den wir in der Lektion G06 Rechnen mit Vorzeichen behandeln. Dies kann leider manchmal zu Missverständnissen führen.

Kehrwert bei einer Gleichung

Den Kehrwert kann man übrigens auch beim Umstellen von Gleichungen verwenden (Stichwort Äquivalenzumformung), man muss ihn dann auf alle Elemente der Gleichung anwenden! Sofern ihr euch bereits die Lektion G12: Terme, Termumformung, Gleichungen umstellen angesehen habt, müsstet ihr das Folgende verstehen können:

Beispiel-Gleichung:
5/15 = 3/9
5:15 = 3:9 | · 9
9 · 5:15 = 9 · 3:9 | ·15
15 · 9 · 5:15 = 15 · 9 · 3:9 | als nächstes wegkürzen
1 · 9 · 5:1 = 15 · 1 · 3:1
9 · 5 = 15 · 3
9 · 5 = 15 · 3 | :3
9 · 5 : 3 = 15 · 3 :3 | :5
9 · 5 : 3 :5 = 15 · 3 :3 :5 | als nächstes wegkürzen
9 · 1 : 3 :1 = 15 · 1 :1 :5
9 : 3 = 15 : 5
9/3 = 15/5
15/5 = 9/3

5/15 = 3/9 ist also äquivalent (im Werte gleich) zu 15/5 = 9/3

Fazit: Der Kehrwert bei einer Gleichung ist nichts weiter als eine mehrfache Multiplikation bzw. Division der entsprechenden Werte.

Dezimalzahl zu Bruch umrechnen

Jede Zahl bzw. Dezimalzahl kann in einen Bruch umgewandelt werden. Dazu zählen wir die Nachkommastellen und notieren sie als Division mit Zehnerzahl (Zehnerpotenz). Im Folgenden wird an einigen Beispielen gezeigt, wie das geht:

$$ 0,2 = \frac{2}{10} $$

Den Bruch beim zweiten Beispiel können wir noch kürzen:

$$ 0,255 = \frac{255}{1000} = \frac{255 :5}{1000 :5} = \frac{51}{200} $$

Oder wandeln wir eine Dezimalzahl größer 1 in einen unechten Bruch um:

$$ 1,75 = \frac{175}{100} = \frac{175 :25}{100 :25} = \frac{7}{4} $$

Und noch ein Beispiel:

$$ 0,085 = \frac{85}{1000} = \frac{85 :5}{1000 :5} = \frac{17}{200} $$

Durch die Umwandlung in einen Bruch kann man sich manchmal auch Rechenarbeit ersparen, zum Beispiel bei:

$$ 50 : 0,25 = 50 : \frac{25}{100} = 50 \cdot \frac{100}{25} = 50 \cdot 4 = 100 $$

Bruch zu Dezimalzahl umrechnen

Jeder Bruch kann als Dezimalzahl/Kommazahl geschrieben werden. Im Folgenden einige Beispielen hierfür:

$$ \frac{75}{100} = 0,75 $$

$$ \frac{320}{10} = 32 $$

$$ \frac{2222}{50} = 44.44 $$

Periodische Dezimalzahl in Bruch umformen (Dezimalbruchentwicklung)

Periodische Dezimalzahlen wie 0,3333… = 0,3 können einfach in Brüche umgewandelt werden. Die Ziffern der Periode werden in den Zähler geschrieben, dann zählen wir die Stellen der Periode und schreiben sie mit Neunen unten in den Nenner. Das Verfahren sehen wir an den Beispielen nachfolgend:

$$ 0,\overline{1} = \frac{1}{9} $$

$$ 0,\overline{01} = \frac{1}{99} $$

$$ 0,\overline{001} = \frac{1}{999} $$

$$ 0,\overline{5} = \frac{5}{9} $$

$$ 0,\overline{05} = \frac{5}{99} $$

$$ 0,\overline{75} = \frac{75}{99} $$

$$ 0,\overline{081} = \frac{81}{999} $$

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