G25: Bruchgleichungen / Bruchterme

https://www.matheretter.de/do/videoplayer?id=129&t=0
Video: Einführung Bruchgleichungen

Was sind Bruchgleichungen?

Bruchgleichungen werden Gleichungen genannt, bei denen mindestens eine Unbekannte im Nenner auftritt. Bruchgleichungen kann man eigentlich wie gewöhnliche Gleichungen lösen. Allerdings hat man die sogenannte Definitionsmenge zu berücksichtigen. Definitionsmenge bedeutet nicht viel mehr als "was darf x für Werte annehmen". Dazu solltet ihr euch daran erinnern, dass es es verboten ist (nicht definiert) durch 0 zu dividieren, bei einem Bruch also der Nenner nicht 0 werden darf. Hat man also eine Bruchgleichung gegeben, die beispielsweise die Gestalt

$$\frac{2}{3+x} + \frac{1}{x} = 5$$

hat, so ist zu verhindern, dass keiner der Nenner den Wert 0 annimmt. Dies wird durch die Definitionsmenge (man sagt auch "Definitionsbereich") eingeschränkt und verdeutlicht. Im obigen Fall haben wir dieses Problem, wenn der Nenner den Wert \(x = -3\) oder den Wert \(x = 0\) annimmt und so müssen diese mittels Festlegung der Definitionsmenge herausgenommen werden. Das wird so geschrieben: \(D = \mathbb R \setminus \{-3;0\}\) was bedeutet: Die Definitionsmenge beinhaltet alle reellen Zahlen "ohne" (der Schrägstrich) die Zahlen -3 und 0. Diese Vorarbeit ist bei Bruchgleichungen notwendig.

Merkt euch: Sollte sich als Ergebnis eine der nicht erlaubten Zahlen ergeben, so darf sie nicht als Lösung verwendet werden.

Lösen von Bruchgleichungen

Wie gesagt, funktioniert das Lösen von Bruchgleichungen genau wie bei Gleichungen, die wir schon kennen. Vorarbeit muss aber bezüglich der Definitionsmenge getätigt werden. Auch sollte der Nenner entfernt werden, was eine einfachere Bearbeitung der Gleichung erlaubt.

$$\frac1x = 2$$

Der Definitionsbereich lässt sich hier zu \(D = \mathbb R\setminus{\{0\}}\) bestimmen, d.h. der Wert x = 0 darf nicht angenommen werden. Um den Nenner zu entfernen wird die Gleichung ganz einfach auf beiden Seiten mit diesem multipliziert:

$$\frac1x = 2 \quad|\cdot x$$ $$1 = 2\cdot x\quad|:2$$ $$x = \frac12$$

Da \(x = \frac12\) in der Definitionsmenge liegt (in der erlaubten Zahlenmenge), darf die 1/2 als Lösung verwendet werden. Sicherheit gibt hier auch eine Probe, also das Einsetzen des x-Wertes in die Bruchgleichung und das Überprüfen auf eine wahre Aussage hin.

Für das Lösen von Bruchgleichungen gibt es verschiedene Verfahren. Das wichtigste ist wohl das Verständnis bezüglich des Hauptnenners. Dieser ist das sogenannte kleinste gemeinsame Vielfache aller Nenner (vgl. Lektion G11 kgV und ggT). Ist man nicht in der Lage den Hauptnenner zu finden, kann man sich auch mit einem gemeinsamen Nenner zufrieden geben, also einem beliebigen Vielfachen aller Nenner, man wird aber mit größeren Zahlen arbeiten müssen, was die Rechenarbeit erschweren mag. Wir konzentrieren uns hier also auf den Hauptnenner.

Um den Hauptnenner zu bilden, muss man sich an Brüche/Bruchterme erinnern, die wir erweitert und gekürzt hatten. Mit diesen Hilfsmitteln können wir die Hauptnenner erschaffen. Dies sei an einem Beispiel gezeigt.

$$\frac{5}{x+3} + \frac{1}{x-1} = 2$$

Bevor wir beginnen bestimmen wir noch den Definitionsbereich. Dieser ist hier \(D = \mathbb R\setminus\{-3;1\}\). Nun zur Bestimmung des Hauptnenners. Dieser ergibt sich hier aus der Multiplikation beider vorhandener Nenner, sprich \((x+3)\cdot(x-1)\) (Ein beliebiger gemeinsamer Nenner wäre beispielsweise \(3\cdot(x+3)\cdot(x-1)\), soll uns hier aber nicht weiter interessieren.) Um diesen Hauptnenner nun bei jedem Bruch zu erschaffen, müssen die Brüche entsprechend erweitert werden. Bei dem ersten Bruch muss dazu mit \((x-1)\) multipliziert werden und bei dem zweiten Bruch mit \((x+3)\). Die rechte Seite der Gleichung (dort wo die 2 alleine steht) muss komplett mit dem Hauptnenner erweitert werden. Damit ergibt sich:

$$\frac{5\cdot\color{blue}{(x-1)}}{(x+3)\cdot\color{blue}{(x-1)}} + \frac{1 \cdot \color{blue}{(x+3)}}{(x-1)\cdot\color{blue}{(x+3)}} = \frac{2\cdot\color{blue}{(x+3)\cdot(x-1)}}{\color{blue}{(x+3)\cdot(x-1)}}$$

Tipp: Es muss hierbei der Nenner (x+3)·(x-1) nicht ausmultipliziert werden, denn im nächsten Schritt wird die gesamte Gleichung schlicht mit diesem multipliziert! Wir multiplizieren also den Nenner mit der Gleichung, damit aus der Bruchgleichung eine Gleichung ohne Brüche entsteht:

$$\frac{5\cdot(x-1)}{\color{blue}{(x+3)\cdot(x-1)}} + \frac{1 \cdot (x+3)}{\color{blue}{(x+3)\cdot(x-1)}} = \frac{2\cdot(x+3)\cdot(x-1)}{\color{blue}{(x+3)\cdot(x-1)}} \quad| \color{red}{\cdot (x+3)\cdot(x-1)}$$ $$5\cdot(x-1) + (x+3) = 2\cdot(x+3)\cdot(x-1)$$ Nun wird wie gewohnt ausgerechnet. In diesem Fall müssen wir ausklammern und dann so umformen, dass die pq-Formel angewendet werden kann. $$5\cdot(x-1) + (x+3) = 2\cdot(x+3)\cdot(x-1)$$ $$5\cdot x - 5 + x + 3 = 2(x^2-x-3+3\cdot x)$$ $$6\cdot x - 2 = 2\cdot x^2 - 2\cdot x - 6 + 6\cdot x$$ $$6\cdot x - 2 = 2\cdot x^2 + 4\cdot x - 6\quad|-6\cdot x + 2$$ $$2\cdot x^2 - 2\cdot x - 4 = 0 \quad |:2 $$ $$x^2 - x - 2 = 0$$ $$x^2 + (-1)\cdot x + (-2) = 0 \quad|\text{pq-Formel}$$ $$x_{1,2} = -\frac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-1}{2}\right)^2 + 2}$$ $$x_{1,2} = \frac12 \pm \sqrt{\frac14+2}$$ $$x_{1,2} = \frac12 \pm \sqrt{\frac94}$$ $$x_{1,2} = \frac12 \pm \frac32$$ $$x_1 = \frac12 - \frac32 = -1$$ $$x_2 = \frac12 + \frac32 = 2$$

Diese beiden Lösungen liegen innerhalb der Definitionsmenge und demnach kann die Lösungsmenge als \(L = \{-1;2\}\) aufgeschrieben werden.

Es ergibt sich also folgendes Schema zum Lösen von Bruchgleichungen:

  1. Definitionsmenge bestimmen
  2. Erweitern der Brüche auf den Hauptnenner (oder einen gemeinsamen Nenner)
  3. Gleichung umformen, sodass alle Nenner wegfallen
  4. Gleichung nach x auflösen
  5. Ermittelte x-Werte mit der Definitionsmenge vergleichen, Lösungen bestimmen

Lösen mit Hilfe der binomischen Formeln

Um mit Bruchgleichungen arbeiten zu können, solltet ihr euch unter anderem im Bereich der binomischen Formeln (G07), dem Ausklammern (G24) und der pq-Formel (F06 und G26) auskennen, welches alles Verfahren sind, um Bruchgleichungen lösen zu können. Gerade die Anwendung der binomischen Formeln ist von Bedeutung, deshalb folgt hierzu noch ein weiteres Beispiel. Lösen wir diese Bruchgleichung:

$$\frac{5}{x^2-4} + \frac{2\cdot x}{x+2} = 2$$

Hier kann man sich Arbeit ersparen, wenn man im Nenner des ersten Summanden (also x²-4) die dritte binomische Formel erkennt.

$$\frac{5}{(x+2)\cdot(x-2)} + \frac{2\cdot x}{x+2} = 2$$

Nun wird noch der Definitionsbereich bestimmt, bevor man richtig durchstartet. Dieser lautet \(D = \mathbb R\setminus\{-2;2\}\). Damit kann nun die Bruchgleichung angegangen werden. Der Hauptnenner sollte sofort zu \((x+2)\cdot(x-2)\) erkannt werden. Erweitern wir entsprechend:

$$\frac{5}{(x+2)\cdot(x-2)} + \frac{2\cdot x\color{blue}{\cdot(x-2)}}{(x+2)\color{blue}{\cdot(x-2)}} = \frac{2\color{blue}{\cdot(x+2)\cdot(x-2)}}{\color{blue}{(x+2)\cdot(x-2)}}$$

Es kann nun direkt mit dem Hauptnenner multipliziert werden.

$$\frac{5}{\color{blue}{(x+2)\cdot(x-2)}} + \frac{2\cdot x\cdot(x-2)}{\color{blue}{(x+2)\cdot(x-2)}} = \frac{2\cdot(x+2)\cdot(x-2)}{\color{blue}{(x+2)\cdot(x-2)}} \quad |\cdot \color{red}{(x+2)\cdot(x-2)}$$ $$5 + 2\cdot x\cdot(x-2) = 2(x^2-4)$$ $$5 + 2\cdot x^2 - 4\cdot x = 2\cdot x^2 - 8 \quad|-2\cdot x^2 + 4\cdot x + 8$$ $$4\cdot x = 13\quad|:4$$ $$x = \frac{13}{4}$$

Dieser Wert liegt in der Definitionsmenge und ist damit erlaubt. Die Lösungsmenge ist also \(L = \{\frac{13}{4}\}\).

Weitere Artikel:

  Schreib uns deine Hinweise

Made with ❤ by Matheretter.de