Wissen: Distributivgesetz

Distributivgesetz allgemein

Das Distributivgesetz lautet: a · (b + c) = a·b + a·c

"verteilen" heißt auf Latein distribuere, daher sprechen wir nicht vom Verteilungsgesetz, sondern vom Distributivgesetz.

Die Animation zeigt, wie a auf b und c verteilt wird:

Distributivgesetz animiert 1

Nachstehend ist das Distributivgesetz mit Variablen und Zahlen dargestellt:

a·(b + c) = a·b + a·c
3·(4 + 1) = 3·4 + 3·1
3·5 = 12 + 3
15 = 15

Bitte merkt euch, dass das Distributivgesetz auch gilt, wenn die Zahl (der Faktor) hinter der Klammer steht. Zum Beispiel:
(12+18) = (12+18)·3 = 3·12 + 3·18

Verstecken wir eine Zahl, indem wir sie mit einer Variablen ersetzen, dann erhalten wir:
3·(x+18) = (x+18)·3 = 3·x + 3·18

Da die Division die Umkehrung der Multiplikation ist, können wir auch hier das Distributivgesetz anwenden:
(30+60):3 = 30:3 + 60:3

Ausmultiplizieren

Sprechen wir vom Ausmultiplizieren, so meinen wir meist das Distributivgesetz. Hierbei steht ein Term (meist eine Zahl oder eine Unbekannte) vor einer Klammer und wird mit dieser verrechnet. Als Beispiel:

$$ x·(3 + \frac{1}{2}·x) \\ = x·3 + x·\frac{1}{2}·x \\ = 3·x + \frac{1}{2}·x·x \\ = 3·x + \frac{1}{2}·x^2 $$

Es kann auch vorkommen, dass eine Klammer mit einer Klammer ausmultipliziert wird:

$$ (x + 1) · (3 + x) \\ = (x + 1)·3 + (x + 1)·x \\ = x·3 + 1·3 + x·x + 1·x \\ = 3·x + 3 + x^2 + x \\ = x^2 + 3·x + x + 3 \\ = x^2 + 4·x + 3 $$

Distributivgesetz grafisch

Wir können uns das Distributivgesetz auch grafisch denken, die folgende Abbildung macht es deutlich:

Distributivgesetz grafisch

In der nächsten Grafik wird das Distributivgesetz ähnlich wie zuvor visualisiert, jedoch zeichnen wir diesmal Striche ein, um die Zugehörigkeit darzustellen:

Distributivgesetz visuell 2

Die folgende Animation stellt das Distributivgesetz anhand von Flächen dar. Bei beiden a·(b+c) sowie a·b+a·c entsteht die selbe Fläche:

Distributivgesetz animiert 2
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