Doppelwinkelfunktion für Kosinus

Auch hier schreiben wir das 2·a als (α + α):

cos(2·α) = ...

cos(α + α) = ...

Verwenden wir das Additionstheorem für Kosinus und setzen ein:

cos(α + ß) = cos(α) · cos(ß) - sin(α) · sin(ß) | ß = a

cos(α + α) = cos(α) · cos(α) - sin(α) · sin(α)

cos(α + α) = cos2(α) - sin2(α)

Als nächstes gilt es, das sin2(α) in Kosinus umzuformen. Mit Hilfe des trigonometrischen Pythagoras ist dies einfach möglich:

cos2(α) + sin2(α) = 1   | - cos2(α)

sin2(α) = 1 - cos2(α)

Dies nun einsetzen:

cos(α + α) = cos2(α) - sin2(α)

cos(α + α) = cos2(α) - (1 - cos2(α))

cos(α + α) = cos2(α) - 1 + cos2(α)

cos(α + α) = 2 · cos2(α) - 1

Und dies ist auch schon die fertige Formel für die Doppelwinkelfunktion für Kosinus:

cos(2·α) = 2 · cos2(α) - 1

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