Wissen: Dreieck

Dreiecksbeschriftung

Die Eckpunkte des Dreiecks werden entgegen des Uhrzeigersinns mit A, B, C beschriftet. Der Winkel an einem Punkt erhält üblicherweise den Namen des Punktes mit kleinem griechischen Buchstaben (Punkt A → α, Punkt B → β, Punkt C → γ). Die einem Eckpunkt gegenüberliegende Seite erhält dessen Namen in Kleinbuchstaben (z. B. Punkt B liegt Seite b gegenüber).

Dreiecksbeschriftung zum Ausdrucken

Dreiecksarten

Jedes Dreieck ist ein "allgemeines Dreieck" (beliebiges Dreieck). Hat es jedoch besondere Eigenschaften, so erhält es eine andere Bezeichnung:

Dreiecksarten Allgemeine Dreiecke zum Drucken

Es gibt demnach sechs Dreiecksarten: Gleichseitiges Dreieck, gleichschenkliges Dreieck, unregelmäßiges Dreieck, spitzwinkliges Dreieck, rechtwinkliges Dreieck, stumpfwinkliges Dreieck.

Dreieckshöhen

Eine Höhe wird senkrecht auf eine Dreiecksseite eingezeichnet und geht durch den darüberliegenden Punkt. Zum Beispiel steht Höhe b senkrecht auf Seite b und geht durch den gegenüberliegenden Punkt B.

Die Höhe (sofern sie innerhalb des Dreiecks liegt) teilt jedes Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke (die zueinander ähnlich sind):

Dreieckshöhe

Winkelsummensatz

Der Winkelsummensatz (auch Innenwinkelsummensatz genannt) lautet: Alle drei Winkel des Dreiecks (Innenwinkel) ergeben zusammen 180 Grad. Kurz notiert: α + β + γ = 180°

Winkelsummensatz Dreieck 180 Grad

Der Nachweis des Winkelsummensatzes kann über Wechselwinkel erfolgen:

Nachweis Winkelsummensatz Dreieck 180 Grad

Kennt man zwei Winkel, so kann man den dritten berechnen. Fehlt zum Beispiel α, so kann man bestimmen: α = 180° - β - γ

Flächenberechnung beim Rechtwinkligen Dreieck

Die Fläche eines Rechtwinkligen Dreiecks lässt sich berechnen, indem man die Seiten a und b miteinander multipliziert (es ergibt sich eine Rechtecksfläche) und dann halbiert (wir erhalten die Dreiecksfläche), siehe folgende Grafik:

Flächenberechnung Rechtwinkliges Dreieck

Merkt euch also die Flächenformel: A = a·b : 2

Berechnungen bei beliebigen Dreiecken

Je nachdem, welche Werte gegeben sind, entscheidet sich, welcher Lösungsweg zu wählen ist. Die verschiedenen Fälle sind im Folgenden dargestellt. "W" bedeutet Winkel, "S" bedeutet Seite. "SWS" bedeutet also eine Kombination aus "Seite Winkel Seite", wobei in diesem Fall der Winkel von beiden Seiten eingeschlossen wird (wie bei a, γ, b der Fall). Ein "SSW" bedeutet Seite-Seite-Winkel, hier ist der Winkel nicht eingeschlossen.

1. Lösung für Fall SSS: Kosinussatz

Jeder Kosinussatz wird jeweils so umgestellt, dass der Winkel alleine auf einer Seite steht.

$$ α = cos^{-1}\left( \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2bc}\right) \\ β = cos^{-1}\left( \frac{-b^2 + a^2 + c^2}{2ac}\right) \\ γ = cos^{-1}\left( \frac{-c^2 + a^2 + b^2}{2ab}\right) $$

Zum Kopieren:
α = arccos( (b² + c² - a²) / 2·b·c )
β = arccos( (a² + c² - b²) / 2·a·c )
γ = arccos( (a² + b² - c²) / 2·a·b )

2. Lösung für Fall SWS: Kosinussatz

Wir ziehen die Wurzel bei dem jeweiligen Kosinussatz, um die Seite berechnen zu können.

$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·\cos(α) \\ a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2·b·c·\cos(α)} $$

$$ b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·\cos(β) \\ b = \sqrt{a^2 + c^2 - 2·a·c·\cos(β)} $$

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·\cos(γ) \\ c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2·a·b·\cos(γ)} $$

3. Lösung für Fall SSW: Sinussatz

$$ \frac{a}{sin(α)} = \frac{b}{sin(β)} = \frac{c}{sin(γ)} $$

Hier müssen wir entsprechend der gegebenen Werte den jeweiligen Sinussatz umstellen.

Sind zum Beispiel a, α und β gegeben, so ist nach b umzustellen, wir erhalten als Lösungsformel: \( b = \frac{a}{sin(α)} · sin(β) \).

Auf diese Weise lassen sich folgende Lösungsformeln für die Seiten bestimmen:

$$ a = \frac{b}{sin(β)} · sin(α) \\ a = \frac{c}{sin(γ)} · sin(α) \\ b = \frac{a}{sin(α)} · sin(β) \\ b = \frac{c}{sin(γ)} · sin(β) \\ c = \frac{a}{sin(α)} · sin(γ) \\ c = \frac{b}{sin(β)} · sin(γ) $$

Sind a, b und Winkel α gegeben, so ist zuerst nach sin(β) umzustellen \( sin(β) = \frac{sin(α)}{a} · b \) und dann mit Arkussinus das β zu bestimmen: \( β = sin^{-1}(\frac{sin(α)}{a} · b) \).

Auf diese Weise lassen sich folgende Lösungsformeln für die Winkel bestimmen:

$$ α = sin^{-1}(\frac{sin(b)}{β} · a) \\ α = sin^{-1}(\frac{sin(c)}{γ} · a) \\ β = sin^{-1}(\frac{sin(α)}{a} · b) \\ β = sin^{-1}(\frac{sin(c)}{γ} · b) \\ γ = sin^{-1}(\frac{sin(α)}{a} · c) \\ γ = sin^{-1}(\frac{sin(b)}{β} · c) $$

4. Lösung für Fälle WSW und WWS

Wir müssen zuerst den fehlenden Winkel mit dem Winkelsummensatz bestimmen:

α = 180° - β - γ
β = 180° - α - γ
γ = 180° - α - β

Dann wenden wir den Sinussatz an, wie oben gezeigt, und berechnen die fehlenden Seiten.

5. Lösung für Fall WWW

Wenn uns drei Winkel gegeben sind, so haben wir keine Information darüber, wie lang eine Seite ist. Es gibt keine eindeutige Lösung bzw. wir können auch sagen, es gibt unendlich viele mögliche Lösungen.

Berechnung des Dreieckumfangs

Der Umfang eines Dreiecks lässt sich bestimmen, indem wir alle drei Seiten zusammen addieren.

u = a + b + c

Bestimmen der Dreieckshöhen

ha = c · sin(β)

hb = a · sin(γ)

hc = b · sin(α)

Sind uns die Höhen nicht bekannt, jedoch alle drei Seiten, so gibt es eine alternative Flächenformel mit Hilfe einer Strecke s: s = 0,5 · (Seite a + Seite b + Seite c). Diese verwenden wir dann wie folgt:

$$ h_a = \frac{2}{a} · \sqrt{s·(s-a)·(s-b)·(s-c)} \\ h_b = \frac{2}{b} · \sqrt{s·(s-a)·(s-b)·(s-c)} \\ h_c = \frac{2}{c} · \sqrt{s·(s-a)·(s-b)·(s-c)} $$

Berechnung der Dreiecksfläche

Für die Dreiecksfläche stehen uns drei Formeln zur Verfügung, die alle das gleiche Ergebnis hervorbringen:

$$ A = \frac{a·h_a}{2} \\ A = \frac{b·h_b}{2} \\ A = \frac{c·h_c}{2} $$

Weiteres Wissen zu Dreiecken findet ihr in der Lektion Dreiecke.

Alle Berechnungsformeln für Dreiecke aus 3 gegebenen Werten

Gegeben 1 Gegeben 2 Gegeben 3 Lösungsweg
Seite a Seite b Seite c SSS - Kosinussatz
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Seite a Seite b Winkel α SSW - Sinussatz
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Seite a Seite b Winkel β SSW - Sinussatz
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Seite a Seite b Winkel γ SWS - Kosinussatz
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Seite a Seite c Winkel α SSW - Sinussatz
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Seite a Seite c Winkel β SWS - Kosinussatz
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Seite a Seite c Winkel γ SSW - Sinussatz
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Seite a Winkel α Winkel β WWS - Winkelsummensatz, dann Sinussatz
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Seite a Winkel α Winkel γ WWS - Winkelsummensatz, dann Sinussatz
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Seite a Winkel β Winkel γ WSW - Winkelsummensatz, dann Sinussatz
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Seite b Seite c Winkel α SWS - Kosinussatz
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Seite b Seite c Winkel β SSW - Sinussatz
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Seite b Seite c Winkel γ SSW - Sinussatz
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Seite b Winkel α Winkel β WWS - Winkelsummensatz, dann Sinussatz
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Seite b Winkel α Winkel γ WSW - Winkelsummensatz, dann Sinussatz
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Seite b Winkel β Winkel γ WWS - Winkelsummensatz, dann Sinussatz
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Seite c Winkel α Winkel β WSW - Winkelsummensatz, dann Sinussatz
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Seite c Winkel α Winkel γ WWS - Winkelsummensatz, dann Sinussatz
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Seite c Winkel β Winkel γ WWS - Winkelsummensatz, dann Sinussatz
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Winkel α Winkel β Winkel γ WWW - Seiten nicht berechenbar
Kann Seitenlängen aus 3 Winkeln nicht konkret ermitteln.

Fragen und Antworten zu beliebigen Dreiecken

Dreiecksrechner

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