Dreieckssätze Winkel und Seiten

Dreieckssätze für Winkel und Seiten

Je nachdem, welche Werte gegeben sind, entscheidet sich, welcher Lösungsweg zum Berechnen von Winkeln und Seiten des Dreiecks zu wählen ist. Die verschiedenen Fälle sind im Folgenden dargestellt. "W" bedeutet Winkel, "S" bedeutet Seite. "SWS" bedeutet also eine Kombination aus "Seite Winkel Seite", wobei in diesem Fall der Winkel von beiden Seiten eingeschlossen wird (wie bei a, γ, b der Fall). Ein "SSW" bedeutet Seite-Seite-Winkel, hier ist der Winkel nicht eingeschlossen.

1. Lösung für Fall SSS: Kosinussatz

Jeder Kosinussatz wird jeweils so umgestellt, dass der Winkel alleine auf einer Seite steht.

$$ α = cos^{-1}\left( \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2bc}\right) \\ β = cos^{-1}\left( \frac{-b^2 + a^2 + c^2}{2ac}\right) \\ γ = cos^{-1}\left( \frac{-c^2 + a^2 + b^2}{2ab}\right) $$

Zum Kopieren:
α = arccos( (b² + c² - a²) / 2·b·c )
β = arccos( (a² + c² - b²) / 2·a·c )
γ = arccos( (a² + b² - c²) / 2·a·b )

2. Lösung für Fall SWS: Kosinussatz

Wir ziehen die Wurzel bei dem jeweiligen Kosinussatz, um die Seite berechnen zu können.

$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·\cos(α) \\ a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2·b·c·\cos(α)} $$

$$ b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·\cos(β) \\ b = \sqrt{a^2 + c^2 - 2·a·c·\cos(β)} $$

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·\cos(γ) \\ c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2·a·b·\cos(γ)} $$

3. Lösung für Fall SSW: Sinussatz

$$ \frac{a}{sin(α)} = \frac{b}{sin(β)} = \frac{c}{sin(γ)} $$

Hier müssen wir entsprechend der gegebenen Werte den jeweiligen Sinussatz umstellen.

Sind zum Beispiel a, α und β gegeben, so ist nach b umzustellen, wir erhalten als Lösungsformel: \( b = \frac{a}{sin(α)} · sin(β) \).

Auf diese Weise lassen sich folgende Lösungsformeln für die Seiten bestimmen:

$$ a = \frac{b}{sin(β)} · sin(α) \\ a = \frac{c}{sin(γ)} · sin(α) \\ b = \frac{a}{sin(α)} · sin(β) \\ b = \frac{c}{sin(γ)} · sin(β) \\ c = \frac{a}{sin(α)} · sin(γ) \\ c = \frac{b}{sin(β)} · sin(γ) $$

Sind a, b und Winkel α gegeben, so ist zuerst nach sin(β) umzustellen \( sin(β) = \frac{sin(α)}{a} · b \) und dann mit Arkussinus das β zu bestimmen: \( β = sin^{-1}(\frac{sin(α)}{a} · b) \).

Auf diese Weise lassen sich folgende Lösungsformeln für die Winkel bestimmen:

$$ α = sin^{-1}(\frac{sin(b)}{β} · a) \\ α = sin^{-1}(\frac{sin(c)}{γ} · a) \\ β = sin^{-1}(\frac{sin(α)}{a} · b) \\ β = sin^{-1}(\frac{sin(c)}{γ} · b) \\ γ = sin^{-1}(\frac{sin(α)}{a} · c) \\ γ = sin^{-1}(\frac{sin(b)}{β} · c) $$

4. Lösung für Fälle WSW und WWS

Wir müssen zuerst den fehlenden Winkel mit dem Winkelsummensatz bestimmen:

α = 180° - β - γ
β = 180° - α - γ
γ = 180° - α - β

Dann wenden wir den Sinussatz an, wie oben gezeigt, und berechnen die fehlenden Seiten.

5. Lösung für Fall WWW

Wenn uns drei Winkel gegeben sind, so haben wir keine Information darüber, wie lang eine Seite ist. Es gibt keine eindeutige Lösung bzw. wir können auch sagen, es gibt unendlich viele mögliche Lösungen.

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