TRI05: Einheitskreis

https://www.matheretter.de/do/videoplayer?id=100&t=0
Video: Einführung Einheitskreis

Einführung

Sinus, Kosinus und Tangens hatten wir bereits am rechtwinkligen Dreieck kennengelernt. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter. Wir legen sin, cos und tan an einem Kreis fest. Wie das geht und welche Vorteile das mit sich bringt, erfahrt ihr in dieser Lektion.

Zuerst erinnern wir uns daran, dass die Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck nie größer als 90° sein können:

Auch hatten wir Sinus und Kosinus für Winkel bis 180° in allgemeinen Dreiecken definiert, jedoch können die Winkel in einem allgemeinen Dreieck nie größer als 180° sein.

Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Wenn wir uns einen Kreis zu Hilfe nehmen, können wir jedoch beliebige Winkel festlegen und damit auch die (Ko)Sinuswerte und Tangenswerte für beliebige Winkel bestimmen.

Um dies zu erreichen, zeichnen wir ein Koordinatensystem und einen Kreis. In diesen Kreis legen wir ein rechtwinkliges Dreieck, von dem ein Punkt B der Mittelpunkt des Kreises ist und ein Punkt A auf der Kreislinie liegt. Der dritte Punkt C befindet sich auf der x-Achse, und zwar dort, wo das Lot vom Punkt A die x-Achse trifft:

An diesem rechtwinkligen Dreieck können wir alle drei trigonometrischen Funktionen, Sinus, Kosinus und Tangens festlegen. Wir erkennen, dass wir ein Referenzdreieck in jedem der vier Quadranten einzeichnen können:

Referenzdreieck im II. Quadranten:

Referenzdreiecke in allen vier Quadranten:

Was weiterhin auffällt ist, dass wir auch negative Werte für Sinus, Kosinus und Tangens erhalten, wenn x-Wert oder y-Wert negativ sind.

Referenzwinkel am Kreis

Wie wir in der Lektion TRI05: Sinus und Kosinus bei allgemeinen Dreiecken gesehen haben, erhalten wir für einen Winkel zwischen 90° und 180° folgendes Dreieck mit Referenzwinkel, nun dargestellt im Einheitskreis:

Dabei ist der Sinuswert von Alpha: sin(α) = sin(β) und β = 180° - α, sodass wir festhalten können: sin(α) = sin(180° - α)

Aufgrund solcher Identitäten können sin, cos und tan für beliebige Winkel festgelegt werden. Mehr zu den Identitäten erfahren wir weiter unten.

Der Einheitskreis

Wir sprechen vom Einheitskreis, wenn der Radius des Kreises 1 Einheit lang ist. Das hat den Vorteil, dass wir die Sinus- und Kosinuswerte direkt an den x- und y-Werten der Dreiecksseiten ablesen können.

Mit dem Radius 1 (der die Hypotenuse des Dreiecks ist) ergibt sich:

sin(α) = GK / HY = GK / 1 = GK

cos(α) = AK / HY = AK / 1 = AK

tan(α) = GK / AK

Sinus- und Kosinuswerte am Einheitskreis ablesen

Wir sehen, dass die Gegenkathete (Wert siehe y-Achse) den Sinuswert angibt und die Ankathete (Wert siehe x-Achse) den Kosinuswert.

Wir merken uns:

sin(α) = Höhe = y

cos(α) = Breite = x

Genausogut können wir sagen, der Punkt auf der Kreislinie mit P(x|y) trägt die Sinus- und Kosinuswerte in seinen Koordinaten:

P( x | y ) = P( cos(α) | sin(α) )

Merken: Im Einheitskreis entspricht die Gegenkathete dem Sinuswert und die Ankathete dem Kosinuswert, wobei auf die Vorzeichen zu achten ist. Ebenfalls gilt: Die Koordinaten des Punktes P auf der Kreislinie des Einheitskreises geben Kosinuswert (x) und Sinuswert (y) an.

Winkel mit Sinus und Kosinus positiv bzw. negativ

Je nach gewähltem Winkel erhalten wir auch negative Werte für Sinus, Kosinus und Tangens. Hier ein Übersicht mit den vier Quadranten:

II. Quadrant
sin +
cos –
tan –
I. Quadrant
sin +
cos +
tan +
III. Quadrant
sin –
cos –
tan +
IV. Quadrant
sin –
cos +
tan –

Wir sehen: Sinus ist im I. und II. Quadranten positiv ("oben"), Kosinus ist im I. und IV. Quadranten positiv ("rechts") und Tangens ist im I. und III. Quadranten positiv. Negative Werte erhalten wir für Sinus im III. und IV. Quadranten ("unten"), für Kosinus im II. und III. Quadranten ("links") und für Tangens im II. und IV. Quadranten.

Tangenswerte am Einheitskreis

Wir hatten in der Lektion TRI06 Tangens den Tangens am rechtwinkligen Dreieck definiert und gelernt, dass wir ihn an einer Strecke ablesen können, die im Koordinatensystem bei P(1|0) beginnt und senkrecht nach oben verläuft, bis sie die verlängerte Hypotenuse trifft. Zur Erinnerung:

Tangens am Dreieck ablesen

Genauso tun wir dies für den Tangens im Einheitskreis. Für positive x-Werte startet die Strecke bei P(1|0) und für negative x-Werte bei P(-1|0):

Positiver Tangenswert I:

Positiver Tangenswert II:

Negativer Tangenswert I:

Negativer Tangenswert II:

Tangens nicht definiert

Sinus und Kosinus sind für alle Winkel definiert. Ihre Werte gehen von -1 bis +1. Der Tangens kann hingegen auch nicht definiert sein. Dies ist der Fall, wenn x=0 ist, unsere Ankathete also keine Länge hat. Dies ist bei 90° der Fall, bei 270°, bei 450° usw. Dann ergibt sich tan(α) = GK / AK = GK/0 = n.d.

Zeichnen wir tan(270°), dann sehen wir, dass Hypotenuse und Gegenkathete zusammenfallen, also aufeinanderliegen:

Die Identitäten

Die sogenannten Identitäten helfen uns bei verschiedenen Sachverhalten. Mit ihrer Hilfe können wir Sinus in Kosinus überführen, alle Sinus-/Kosinuswerte auf Winkel von 0° bis 90° zurückführen, rechnerisch weitere Winkel bestimmen, schwierige trigonometrische Gleichungen vereinfachen und auflösen.

Es gibt sehr viele Identitäten, wir lernen hier die grundlegenden kennen. Vorab die Übersicht:

sin(α) = cos(90° - α)
cos(α) = sin(90° - α)
sin(α) = cos(α + 90°)
sin(α) = -sin(-α)
cos(α) = cos(-α)
sin(90° + α) = sin(90° - α)
cos(90° + α) = -cos(90° - α)
sin(α) = sin(α + 360°)
cos(α) = cos(α + 360°)

1. Identität: Vom Sinus- zum Kosinuswert mit sin(α) = cos(90° - α)

Die erste Identität lautet: sin(α) = cos(90° - α). Wir können uns dies direkt am rechtwinkligen Dreieck vor Augen führen:

Genauso gilt:

cos(α) = sin(β)
cos(α) = sin(90° - α)

Mit der Identität sin(α) = cos(90° - α) können wir uns aus dem gegebenen Sinuswert den Kosinuswert ermitteln. Ein Beispiel:

sin(α) = cos(90° - α)
sin(60°) ≈ 0,866

sin(60°) = cos(90° - 60°)
sin(60°) = cos(30°)
0,866 ≈ cos(30°)

Wenn wir den Sinuswert von 60° kennen, in diesem Fall rund 0,866, dann wissen wir sofort, dass der Kosinus von 30° ebenfalls 0,866 ist.

Wenn wir sin(α) und cos(90° - α) zeichnen, erkennen wir, dass der Kosinus der Sinus des Komplimentärwinkels ist. Siehe Abbildung:

2. Identität sin(α) = cos(α + 90°)

Der Sinuswert des Winkels entspricht dem Kosinuswert des um 90° verschobenen Winkels:

3. Identität sin(α) = -sin(-α)

4. Identität cos(α) = cos(-α)

5. Identität sin(90° + α) = sin(90° - α)

6. Identität cos(90° + α) = -cos(90° - α)

7. Identität sin(α) = sin(α + 360°) und cos(α) = cos(α + 360°)

Diese Identität muss man nicht einzeichnen, denn sie besagt, dass wenn wir einmal im Kreis herumgehen, sich unser Punkt P wieder an der gleichen Position befindet und damit Sinus- und Kosinuswerte für beide Winkel dieselben sind.

Das Programm "Einheitskreis: Identitäten für Sinus und Kosinus" zeigt euch die vorgenannten und weitere Identitäten auf. Dort seht ihr animiert/interaktiv, wie sich die Identitäten verhalten.

Warum Kosinus Ko-Sinus heißt

Die zuvor kennengelernte Identität sin(α) = cos(90°- α) verrät, dass der Kosinus der Sinus des Komplimentärwinkels ist. Dies können wir uns noch einmal am rechtwinkligen Dreieck ansehen:

sin(β) = b / c
cos(α) = b / c
→ sin(β) = cos(α)

Wenn die Hypotenuse 1 ist, dann erhalten wir:

sin(β) = b / 1 = b
cos(α) = b / 1 = b
→ sin(β) = cos(α) = b

Der Winkel α ist Komplementärwinkel zu Winkel β, das heißt, beide ergeben immer zusammen 90°. Also α + β = 90° bzw. α = 90° - β. Daher:

sin(β) = cos(α) = b
sin(β) = cos(90° - β) = b

Genauso:
cos(β) = sin(α)
cos(β) = sin(90° - β)

Wir erkennen: Der Kosinuswert von β ist der Sinuswert des Komplementärwinkels α.

Trigonometrischer Pythagoras und Herleitung

Erinnern wir uns zuerst an den Satz des Pythagoras mit a2 + b2 = c2. Wenn wir die Hypotenuse mit c = 1 festlegen, dann ergibt sich bei Anwendung am rechtwinkligen Dreieck:

a2 + b2 = c2 | c = 1
a2 + b2 = 12
a2 + b2 = 1

Wir wissen, dass bei einer Hypotenuse mit der Länge 1 die Gegenkathete dem Sinuswert entspricht und die Ankathete dem Kosinuswert. Also in der Abbildung b = Sinuswert und a = Kosinuswert:

a = cos(β) = AK / HY = a / 1

b = sin(β) = GK / HY = b / 1

Somit können wir einsetzen:

a2 + b2 = 1 | a = cos(β) und b = sin(β)

(cos(β))2 + (sin(β))2 = 1

Das Quadratzeichen schreibt man direkt an das sin oder cos, wir notieren also:

cos2(β) + sin2(β) = 1

Dies ist der "Trigonometrische Pythagoras".

Beispielaufgabe Trigonometrischer Pythagoras

Verwenden wir die soeben kennengelernte Formel, um eine Gleichung zu lösen:

cos2(13°) + sin2(13°) = x

Jetzt wissen wir, dass cos2(β) + sin2(β) = 1 ist, damit lässt sich sofort lösen:

x = cos2(13°) + sin2(13°)
x = 1

Interpretieren wir den trigonometrischen Pythagoras als Funktionsgleichung und zeichnen ihn als Graph, so erhalten wir:

~plot~ sin(x)^2+cos(x)^2;sin(x)^2;cos(x)^2 ~plot~

Der blaue Funktionsgraph hat immer den y-Wert 1. Die geschwungenen Graphen für Sinus und Kosinus werden wir in der Lektion TRI08 Trigonometrische Funktionen ausführlich erklären.

Alternative Herleitung zum trigonometrischen Pythagoras

Eine schnellere Herleitung ist algebraisch (rechnerischer Natur):

a2 + b2 = c2 | :c2
a2:c2 + b2:c2 = c2:c2
a2/c2 + b2/c2 = 1
(a/c)2 + (b/c)2 = 1 | a/c = cos(β)
(cos(β))2 + (b/c)2 = 1 | b/c = sin(β)
(cos(β))2 + (sin(β))2 = 1
cos2(β) + sin2(β) = 1
sin2(β) + cos2(β) = 1

Hieraus ergibt sich auch ein neuer Zusammenhang:

sin2(β) + cos2(β) = 1
I. sin2(β) = 1 - cos2(β)
II. cos2(β) = 1 - sin2(β)

Koordinatengleichung des Einheitskreises

Die Koordinatengleichung ist ein Spezialfall der sogenannten Kreisgleichung (x-xM)2 + (y-yM)2 = r2, die wir uns in einer späteren Lektion anschauen. Liegt der Mittelpunkt M im Koordinantenursprung ergibt sich:

(x-xM)2 + (y-yM)2 = r2
(x-0)2 + (y-0)2 = r2
x2 + y2 = r2

Die Koordinatengleichung lautet: x² + y² = 1.

Dabei sind x und y die Koordinaten unseres auf der Kreislinie des Einheitskreises liegenden Punktes P.

Die Gleichung entsteht, wenn wir das zuvor kennengelernte Wissen kombinierten. Zum einen das Wissen, dass die x-Koordinate des Punktes P (auf dem Einheitskreis) dem Sinuswert und die y-Koordinate des Punktes P dem Kosinuswert entspricht. Zum anderen den soeben gelernten trigonometrischen Pythagoras mit: sin2(β) + cos2(β) = 1.

P( x | y ) → P( cos(β) | sin(β) )

sin2(β) + cos2(β) = 1   | sin(β) = y
y2 + cos2(β) = 1    | cos(β) = x
y2 + x2 = 1
x2 + y2 = 1

Sinus- und Kosinuswerte, die man wissen muss

Es gibt Sinus- und Kosinuswerte, die man kennen muss. Hierzu stellt man sich ganz einfach den Einheitskreis vor, zeichnet in Gedanken das Dreieck zum Winkel ein und liest den Wert an Gegenkathete (Sinus) oder Ankathete (Kosinus) ab.

Wichtige Sinuswerte

sin(0°) = 0
sin(90°) = 1
sin(180°) = 0
sin(270°) = -1
sin(360°) = 0

Wichtige Kosinuswerte

cos(0°) = 1
cos(90°) = 0
cos(180°) = -1
cos(270°) = 0
cos(360°) = 1

Statt Gradzahlen kann man auch das Bogenmaß verwenden, dieses schauen wir uns in der Lektion TRI09: Bogenmaß und Kreiszahl Pi an.

Die gleiche Aufstellung mit dem Bogenmaß (die Einheit rad schreibt man meist nicht mit, also statt "0 rad" schreibt man einfach "0") wäre:

Wichtige Sinuswerte (Winkel in Gradmaß und Bogenmaß)

sin(0°) = sin(0) = 0
sin(90°) = sin(1/2·Π) = 1
sin(180°) = sin(1·Π) = 0
sin(270°) = sin(3/2·Π) = -1
sin(360°) = sin(2·Π) = 0

Wichtige Kosinuswerte (Winkel in Gradmaß und Bogenmaß)

cos(0°) = cos(0) = 1
cos(90°) = cos(1/2·Π) = 0
cos(180°) = cos(1·Π) = -1
cos(270°) = cos(3/2·Π) = 0
cos(360°) = cos(2·Π) = 1

Weitere Artikel:

  Schreib uns deine Hinweise

Made with ❤ by Matheretter.de