G30: Exponentialgleichungen

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Video: Einführung Exponential-gleichungen

Was ist eine Exponentialgleichung?

Eine Potenz hat die Gestalt ax. Dabei ist a die sogenannte Basis und x ist der Exponent. Das Ganze wird als Potenz beschrieben. Den Wert den man erhält, wenn man diese Potenz ausrechnet ist der Potenzwert. Von einer Exponentialgleichung spricht man, wenn man eine Gleichung, in der zumindest einmal die Unbekannte im Exponenten steht. So wäre eine einfache Form der Exponentialgleichung etwa

$$a^x = b$$

Aber auch kompliziertere Gebilde fallen in die Rubrik der Exponentialgleichungen, sobald ein x hochgestellt wird:

$$a^\color{red}{x} + b\cdot x^2 + c\cdot x = d$$

Um eine solche Gleichung zu lösen, stehen uns mehrere Hilfsmittel zur Verfügung, wobei direkt gesagt sei, dass es nicht möglich ist, jede Exponentialgleichung algebraisch (also durch Umformungen) zu lösen.

Hilfsmittel zur Lösung sind:
1. Potenzgesetze
2. Logarithmengesetze
3. Ausklammern
4. Substituieren

Lösungsmethoden für Exponentialgleichungen

Wie gerade eben erwähnt gibt es mehrere Hilfsmittel, um Exponentialgleichungen zu lösen. Es seien hier ein paar Beispiele vorgerechnet, die die Anwendung der unterschiedlichen Methoden beschreiben, wobei auf obengenannte Hilfsmittel zurückgegriffen wird.

1. Exponentenvergleich

Hat man eine Aufgabe gegeben, bei der die Basen dieselben sind, so kann man sich direkt die Exponenten anschauen, denn wenn die Basen dieselben sind, so müssen die Exponenten auch gleich sein.

$$2^{2x+3} = 2^{3x} \quad| \text{ Exponenten anschauen}$$ $$2x+3 = 3x \quad\quad|-2x$$ $$x = 3$$

Durch den bloßen Vergleich der Exponenten sind wir auf das Ergebnis x = 3 gestoßen. Eine Probe wird das Ergebnis verifizieren:

$$2^{2\cdot3+3} = 2^{3\cdot3}$$ $$2^{6+3} = 2^9$$ $$2^9 = 2^9$$

Beide Seiten der Gleichung ergeben den gleichen Wert, die Lösung für x ist also korrekt.

2. Logarithmieren

Hat man unterschiedliche Basen so stellt Logarithmieren eine gute Alternative dar. Schauen wir uns das anhand eines Beispiels an:

$$5^x - 1000 = 0 \quad|+1000$$ $$5^x = 1000 \quad|\ln$$ $$\ln(5^x) = \ln(1000)$$ $$x\cdot\ln(5) = \ln(1000) \quad|:\ln(5)$$ $$x = \frac{\ln(1000)}{\ln(5)} \approx 4,29$$

Dabei wurde ln, der Logarithmus naturalis (das heißt der Logarithmus zur Basis e) genommen. Ihr dürft aber jeden beliebigen Logarithmus verwenden und so auch den ebenfalls häufig vorkommenden Logarithmus zur Basis 10, welcher mit lg abgekürzt wird. Ihr kommt zum selben Resultat. Eine Probe bestätigt auch wieder obiges Ergebnis.

Von besonderer Wichtigkeit ist es, darauf zu achten, dass immer jeweils den kompletten Term auf der linken bzw. rechten Seite logarithmiert. Es ist also insbesondere bei einer Summe der Fall, dass ihr komplett die Summe in einen Logarithmus schreiben müsst. Das mag unter Umständen nicht weiterhelfen, da dadurch kein Vorteil entsteht. Ein Beispiel, wie man da alternativ rangeht, sei im nächsten Absatz gezeigt.

3. Substitution

Für den Fall, dass ihr eine Summe habt, ist es schon schwerer diese zu lösen. Es gibt aber Spezialfälle, wo die Substitution angewendet werden kann.

$$3^{2x} + 2\cdot3^x - 8 = 0$$

Hier sollte man nun erkennen, dass \(3^{2x} = (3^{x})^2\) ist und mit \(u = 3^x\) lässt sich dem Problem nun beikommen, indem man es auf ein quadratisches Problem reduziert.

$$u^2 + 2u - 8 = 0 \quad| \text{ pq-Formel mit p = 2 und q = -8}$$

\(u_1 = -4\) und \(u_2 = 2\)

Damit ist man aber noch nicht fertig. Wir haben substituiert und das muss nun auch rückgängig gemacht werden. Dazu \(u =3e^x\) wieder heranziehen: Die Lösung \(u_1\) braucht nicht zu untersucht werden, da eine Potenzfunktion selbst nie negativ wird und deshalb keine Möglichkeit besteht, hier ein x zu finden.

$$u_2 = 3^x$$ $$2 = 3^x$$ $$\ln(2) = \ln(3^x)$$ $$\ln(2) = x \cdot \ln(3)$$ $$x = \frac{\ln(2)}{\ln(3)} \approx 0,631 $$

Die gesuchte Lösung für die ursprüngliche Gleichung ist also x ≈ 0,631 was durch eine Probe wieder bestätigt werden kann.

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