Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum

Für Berechnungen bei Exponentialfunktionen benötigt man oft die Potenzregeln und den Logarithmus (so wie wir es schon in der Lektion Exponentialgleichungen gesehen hatten). Rechnen wir ein paar Beispiele:

Beispielaufgabe 1: y = 10 bei f(x) = 2x

Wann ist y = 10 bei f(x) = 2x?

Lösung:

f(x) = 2x = 10

2x = 10

Nehmen wir den Logarithmus zur Lösung:

2xx = 10   | ln

ln(2x) = ln(10)

x·ln(2) = ln(10)   | :ln(2)

x = ln(10) : ln(2)

x ≈ 3,3219

Antwort:

Bei x ≈ 3,3219 hat unsere Funktion den Wert y = 10.

Beispielaufgabe 2: Wachstum von Baktieren

Aufgabe: Eine Bakterienkultur besteht zu Beginn aus 1000 Bakterien. Jede Stunde verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien. Wann haben sich die Bakterien verzehnfacht?

Vorüberlegung: Anzahl an Bakterien z

0. Stunde: z = 1000
1. Stunde: z = 1000 · 2 = 2000
2. Stunde: z = 1000 · 2·2 = 4000
3. Stunde: z = 1000 · 2·2·2 = 8000

Lösung:

0. Stunde: z = 1000 · 20 = 1000
1. Stunde: z = 1000 · 21 = 2000
2. Stunde: z = 1000 · 22 = 4000
x. Stunde: z = 1000 · 2x = 10000

f(t) = 1000 * 2t

2t = 10   | Also nach wie viel Stunden t haben wir 10 Mal so viele Bakterien?

2t = 10   | ln
ln(2t) = ln(10)
t·ln(2) = ln(10)   | :ln(2)
t = ln(10) / ln(2)
t = 3,322 h
t = 3 h 20 min (aufgerundet, damit wir mindestens 10 mal so viele Bakterien haben)

Antwort: In 3 Stunden 20 Minuten hat sich die Anzahl der Bakterien verzehnfacht.

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