Wissen: Vorgehen bei Extremwertaufgaben

Autor: Roland Schröder

Das allgemeine Vorgehen zum Lösen von Extremwertaufgaben wird nachstehend in 7 Schritten vorgeführt. Anschließend benutzen wir diese Anleitung, um eine Beispielaufgabe zu lösen:

Vorgehen beim Lösen von Extremwertaufgaben

  • 1. Was soll optimal (maxi- oder minimal) werden und wie lautet die Formel dafür? – „Hauptbedingung“
  • 2. Was ist gegeben und wie lautet die Formel dafür? (Einsetzen der gegebenen Größen). – „Erste Nebenbedingung“
  • 3. Anlegen einer Skizze mit Beschriftung der gegebenen und gesuchten Stücke. Berechnen mindestens eines Spezialfalles
  • 4. Gibt es weitere Formeln, in denen die bisher genannten Variablen und Konstanten vorkommen? – „Zweite Nebenbedingung“
  • 5. Bilden die unter 1., 2. und 4. genannten Bedingungen ein Gleichungssystem, das eine Variable mehr als Gleichungen hat?
  • 6. Gleichungssystem so weit reduzieren, dass außer der zu optimierenden Variable nur eine weitere Variable enthalten ist.
  • 7. Die Gleichung mit zwei Variablen als Funktionsgleichung auffassen und Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen. Zusatzüberlegungen zur Art jedes Extremums anstellen.

Beispiel-Lösung einer Extremwertaufgabe

Welches gleichschenklige Dreieck mit dem Umfang 30 cm hat den größten Flächeninhalt?

  • 1. Was soll optimal (maxi- oder minimal) werden und wie lautet die Formel dafür? – „Hauptbedingung“
  • 1. Die Dreiecksfläche soll maximal werden. Die Formel dafür lautet \( F = g·\frac{h}{2} \).
  • 2. Was ist gegeben und wie lautet die Formel dafür? (Einsetzen der gegebenen Größen). – „Erste Nebenbedingung“
  • 2. U = 2a + g. U = 30 ist gegeben. Daraus folgt: \( 30 = 2a + g \)
  • 3. Anlegen einer Skizze mit Beschriftung der gegebenen und gesuchten Stücke. Berechnen mindestens eines Spezialfalles
  • 3. Die Skizze muss mit g = Grundseite, a = Schenkellänge und h = Höhe auf der Grundseite beschriftet werden. Spezialfall a = 8. Dann bleibt g=30-16=14. Wegen der Flächenformel (siehe1.) muss nun h berechnet werden. Hier deutet sich schon an, was unter 4. festgehalten wird: \( \left( \frac{g}{2} \right)^2 + h^2 = a^2 \). Jetzt ist \( h = \sqrt{64 - 49} = \sqrt{15} \) und \( F = 7 \sqrt{15} ≈ 27,11 \)
  • 4. Gibt es weitere Formeln, in denen die bisher genannten Variablen und Konstanten vorkommen? – „Zweite Nebenbedingung“
  • 4. \( \left( \frac{g}{2} \right)^2 + h^2 = a^2 \)
  • 5. Bilden die unter 1., 2. und 4. genannten Bedingungen ein Gleichungssystem, das eine Variable mehr als Gleichungen hat?
  • 5. Aufstellen der obigen Gleichungen: $$ \begin{array}{ll} (1) & F = g · \frac{h}{2} \\ (2) & 30 = 2a + g \\ (3) & \left( \frac{g}{2} \right)^2 + h^2 = a^2 \end{array} $$ Drei Gleichungen mit den vier Variablen F, a, h, g lassen sich auf eine Gleichung mit den zwei Variablen F und eine aus a, h, g reduzieren.
  • 6. Gleichungssystem so weit reduzieren, dass außer der zu optimierenden Variable nur eine weitere Variable enthalten ist.
  • 6. Geschicktes Auflösen und Einsetzen führt schließlich zu: \( F(a) = (15-a) · \sqrt{30·a - 225} \)
  • 7. Die Gleichung mit zwei Variablen als Funktionsgleichung auffassen und Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen. Zusatzüberlegungen zur Art jedes Extremums anstellen.
  • 7. Nach der Produktregel ableiten und auf den Hauptnenner bringen: \( F‘(a) = \frac{-45a + 450}{\sqrt{30a - 225}} \). Diese Ableitung hat nur die Nullstelle a = 10. Dies muss das gesuchte Maximum sein.
  Schreib uns deine Hinweise