F13: Ganzrationale Funktionen

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Video: Einführung Ganzrationale Funktionen

Was sind Ganzrationale Funktionen?

Ganzrationale Funktionen werden auch Polynomfunktionen genannt, da ihre Gleichung aus einem Polynom besteht. Zum Beispiel: f(x) = 2·x3 + 5·x2 - 2,5·x + 1. Ein Polynom ist ein Term in der Form an·xn + ... + a3·x3 + a2·x2 + a1·x + a0. Beim Funktionsplotter gfplot ist das größtmögliche n = 13. Wählt ihr es aus, beginnt die Gleichung mit a13·x13 + ... Das n steht für die Anzahl der Koeffizienten bzw. die Anzahl der Potenzen und das jeweilige a für die Koeffizienten. n muss eine natürliche Zahl sein (0, 1, 2, 3, 4, ...) und die Koeffizienten a müssen reelle Zahlen sein. Die bekanntesten ganzrationalen Funktionen sind die lineare Funktion und die quadratische Funktion. Der Grad der Funktion ist gleichzeitig der Grad des Polynoms, er wird durch den höchsten Exponenten n angegeben. Dessen Koeffizienten nennt man Leitkoeffizient. Zum Beispiel hat g(x)=1,5·x3+2·x-4 den Grad 3 und den Leitkoeffizient 1,5.

Allgemeine Eigenschaften von Ganzrationalen Funktionen

Es gibt viele Eigenschaften für Ganzrationalen Funktionen, wir wollen uns im Folgenden die grundlegenden Eigenschaften anschauen. Das wären zum einen die Nullstellen und zum anderen die Symmetrie. Weitere Eigenschaften werdet ihr in weiteren Lektionen kennenlernen (wie zum Beispiel Periodizität oder Stetigkeit).

Nullstellen

Bereits bei den Nullstellen unterscheidet sich eine Funktion geraden Grades (Exponenten sind 2, 4, …) von einer Funktion ungeraden Grades (Exponenten sind 1, 3, …). Schaut man sich den Graphen einer Funktion ungeraden Grades an, so stellt man fest, dass diese von links unten nach rechts oben verläuft, oder von links oben nach links unten. Das heißt, egal welchen Grad die Funktion hat, solange sie ungerade ist, muss es mindestens eine Nullstelle geben, da die x-Achse übertreten wird. Bei einer Funktion mit geradem Grad ist das hingegen nicht immer der Fall. Hier verläuft der Graph von links oben nach rechts oben oder von links unten nach rechts unten. Ein Überschreiten der x-Achse ist möglich, aber es besteht keine Notwendigkeit.

Liegen nun Ganzrationale Funktionen vor, so ist es möglich, dass nach den Nullstellen gefragt wird. Dabei hilft obiges Wissen, dass bei einer Funktion mit ungeradem Grad auf jeden Fall mindestens eine Nullstelle vorliegen muss. Die maximale Anzahl der Nullstellen ist hingegen durch den Grad bestimmt. So muss eine Funktion fünften Grades in jedem Falle mindestens eine Nullstelle besitzen, sie besitzt jedoch nie mehr als fünf Nullstellen. Bei einer Funktion sechsten Grades muss gar keine Nullstelle vorliegen, jedoch besitzt sie maximal sechs Nullstellen.

Die Bestimmung der Nullstellen einer linearen Funktion (Funktion 1. Grades) ist bekannt: Durch Gleichsetzen der Funktion mit 0 wird nach x aufgelöst.

Beispiel:
f(x) = 3x + 6
f(x) = 3x + 6 = 0
3·x + 6 = 0
3·x = -6
x = -2

Die Nullstelle ist also bei x = -2, wie auch der Funktionsgraph zeichnerisch bestätigt:

~plot~ 3x+6 ~plot~

Auch ist bekannt, dass bei einer Funktion 2. Grades, eine quadratische Funktion, die p-q-Formel verwendet werden kann, um die Nullstellen zu bestimmen, vergleiche Lektion F06 Quadratische Funktionen.

Bewegt man sich hingegen bei Funktionen höheren Grades, so wird die Nullstellenbestimmung schon deutlich schwieriger. Während es für die Ganzrationalen Funktionen dritten Grades und vierten Grades auch noch Lösungsformeln gibt (bspw. die sogenannte „Cardanische Formel“, die heutzutage aber selten zum Einsatz kommt, da etwas zu kompliziert), gibt es für Funktionen noch höherer Ordnung keine Lösungsformeln mehr. Hier kann man dem Problem mit der sogenannten Polynomdivision beikommen, die ihr in der Lektion G27 Kubische Gleichungen und Polynomdivision erklärt findet. Diese lässt sich nur unter gewissen Voraussetzungen anwenden (es müssen rationale Nullstellen vorliegen, so dass man die Chance hat, diese zu erraten… Genaueres siehe Lektion). Weiterhin kann man auch mit Näherungsverfahren arbeiten. Hierbei sei beispielsweise das Newtonverfahren erwähnt, derer gibt es aber weitere.

Symmetrie

Die Symmetrie wird ausführlichst in Lektion F10 Symmetrie bei Funktionen diskutiert, so seien hier nur nochmals die wichtigsten Bedingungen aufgeführt:
- Punktsymmetrie (zum Ursprung) liegt vor, wenn die Bedingung f(-x) = -f(x) erfüllt ist.
- Achsensymmetrie (zur y-Achse) liegt vor, wenn die Bedingung f(-x) = f(x) erfüllt ist.

Hinweis: Eine Ganzrationale Funktion geraden Grades kann nie punktsymmetrisch sein, wie eine Ganzrationale Funktion ungeraden Grades nie achsensymmetrisch sein kann. Man kann dies sogar als Regel festhalten:
- Punktsymmetrie zum Ursprung liegt nur vor, wenn ausschließlich ungerade Exponenten vorliegen.
- Achsensymmetrie zur y-Achse liegt nur vor, wenn ausschließlich gerade Exponenten vorliegen.

Als Beispiel zwei Graphen, der eine punktsymmetrisch, der andere achsensymmetrisch:

~plot~ x^4+x^2;x^3+x ~plot~

Tipp: Verändert oben die Exponenten und seht, wie sich die neuen Graphen ergeben. Gebt bspw. x^6 ein, richtig, der Graph wäre achsensymmetrisch. Oder x^5+x^3, richtig, ein punktsymmetrischer Graph entsteht.

Bezeichnungen von Ganzrationalen Funktionen

Ab dem 4. Funktionsgrad gehen die Bezeichnungen auf die lateinischen Ordnungszahlen zurück.

  • n = 0: Konstante Funktion
  • n = 1: Lineare Funktion
  • n = 2: Quadratische Funktion
  • n = 3: Kubische Funktion
  • n = 4: Quartische Funktion
  • n = 5: Quintische Funktion
  • n = 6: Sextische Funktion
  • n = 7: Septische Funktion
  • n = 8: Octische Funktion
  • n = 9: Nonische Funktion
  • n = 10: Decische Funktion
  • n = 11: Undecische Funktion
  • n = 12: Duodecische Funktion
  • n = 13: Tredecische Funktion
  • n = 14: Quattuordecische Funktion
  • n = 15: Quindecische Funktion
  • n = 16: Sedecische Funktion
  • n = 17: Septendecische Funktion
  • n = 18: Duodevicesische Funktion
  • n = 19: Undevicesische Funktion
  • n = 20: Vicesische Funktion

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