Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen

Bereits bei den Nullstellen unterscheidet sich eine Funktion geraden Grades (Exponenten sind 2, 4, …) von einer Funktion ungeraden Grades (Exponenten sind 1, 3, …). Schaut man sich den Graphen einer Funktion ungeraden Grades an, so stellt man fest, dass diese von links unten nach rechts oben verläuft, oder von links oben nach links unten. Das heißt, egal welchen Grad die Funktion hat, solange sie ungerade ist, muss es mindestens eine Nullstelle geben, da die x-Achse übertreten wird. Bei einer Funktion mit geradem Grad ist das hingegen nicht immer der Fall. Hier verläuft der Graph von links oben nach rechts oben oder von links unten nach rechts unten. Ein Überschreiten der x-Achse ist möglich, aber es besteht keine Notwendigkeit.

Liegen nun Ganzrationale Funktionen vor, so ist es möglich, dass nach den Nullstellen gefragt wird. Dabei hilft obiges Wissen, dass bei einer Funktion mit ungeradem Grad auf jeden Fall mindestens eine Nullstelle vorliegen muss. Die maximale Anzahl der Nullstellen ist hingegen durch den Grad bestimmt. So muss eine Funktion fünften Grades in jedem Falle mindestens eine Nullstelle besitzen, sie besitzt jedoch nie mehr als fünf Nullstellen. Bei einer Funktion sechsten Grades muss gar keine Nullstelle vorliegen, jedoch besitzt sie maximal sechs Nullstellen.

Die Bestimmung der Nullstellen einer linearen Funktion (Funktion 1. Grades) ist bekannt: Durch Gleichsetzen der Funktion mit 0 wird nach x aufgelöst.

Beispiel:
f(x) = 3x + 6
f(x) = 3x + 6 = 0
3·x + 6 = 0
3·x = -6
x = -2

Die Nullstelle ist also bei x = -2, wie auch der Funktionsgraph zeichnerisch bestätigt:

~plot~ 3x+6 ~plot~

Auch ist bekannt, dass bei einer Funktion 2. Grades, eine quadratische Funktion, die p-q-Formel verwendet werden kann, um die Nullstellen zu bestimmen, vergleiche Lektion Quadratische Funktionen.

Bewegt man sich hingegen bei Funktionen höheren Grades, so wird die Nullstellenbestimmung schon deutlich schwieriger. Während es für die Ganzrationalen Funktionen dritten Grades und vierten Grades auch noch Lösungsformeln gibt (bspw. die sogenannte „Cardanische Formel“, die heutzutage aber selten zum Einsatz kommt, da etwas zu kompliziert), gibt es für Funktionen noch höherer Ordnung keine Lösungsformeln mehr. Hier kann man dem Problem mit der sogenannten Polynomdivision beikommen, die ihr in der Lektion Kubische Gleichungen und Polynomdivision erklärt findet. Diese lässt sich nur unter gewissen Voraussetzungen anwenden (es müssen rationale Nullstellen vorliegen, so dass man die Chance hat, diese zu erraten… Genaueres siehe Lektion). Weiterhin kann man auch mit Näherungsverfahren arbeiten. Hierbei sei beispielsweise das Newtonverfahren erwähnt, derer gibt es aber weitere.

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