Wissen: Gebiete der Mathematik

Einführung zur Mathematik

Die Mathematik hat sich aus den Tätigkeiten des Zählen, Rechnens und Messens entwickelt. Sie beschäftigt sich vor allem mit Zahlen, Figuren auf Ebenen, Körpern im Raum und Zusammenhängen zwischen diesen. Die Mathematik wird zum Beispiel verwendet, um Vorgänge in der Natur zu beschreiben und vorab zu berechnen, aus diesem Grund greifen die Naturwissenschaften auf sie zurück (zum Beispiel Physik, Astronomie, Chemie und Biologie). Ziel der Naturwissenschaften ist es, Ergebnisse reproduzierbar zu machen. Die Mathematik ist ein hervorragendes Mittel, denn sie bringt eindeutige Berechnungen hervor und lässt sogar Voraussagen zu.

Kurzgeschichte der Mathematik

Die Mathematik hat sich über mehrere Jahrtausende entwickelt. Heutzutage sprechen wir von der „modernen Mathematik“. Schon die Arabar waren im 2. Jahrtausend vor Christus in der Lage, mit Wurzeln zu rechnen. In Indien entwickelte sich das Notieren in Form von Gleichungen um 500 vor Christus. In Griechenland entwickelte man Zahlenbegriffe. Pythagoras von Samos sagte, alles ist Zahl, doch verschwieg das Problem von irrationalen Zahlen wie √2. Euklid dokumentierte das mathematische Wissen um 300 vor Christus und schuf damit „Elemente“, eines der ersten Mathewerke (auf Papyrus geschrieben).

Durch die Araber wurden im Mittelalter die damaligen Rechentechniken weiterentwickelt, auch die der Mathematik der alten Griechen. Viele Wörter, die wir heute verwenden, stammen aus dem Arabischen und Griechischen.

Die heutige Einteilung der Mathematik in Teilgebiete gibt es erst seit dem ca. 15./16. Jahrhundert. Bekannt ist vor allem der deutsche Mathematiker Adam Riese, dem wir die ersten Rechenbücher in deutscher Sprache zu verdanken haben.

Im 17. Jahrhundert begründete der französische Mathematiker, René Descartes, die analytische Geometrie. Statt lange Sätze zu nutzen, um mathematische Zusammenhänge zu beschreiben, verwendete er Variablen (a²+b²=c² statt „Die Hypotenuse ins Quadrat ist …“). Dadurch konnten geometrische Konstruktionen durch Gleichungen beschrieben werden.

Im 18. Jahrhundert entwickelten der Mathematiker Leibniz und der Mathematiker/Physiker Newton die Differential- und Integralrechnung.

Im 19. Jahrhundert war es der deutsche Mathematiker Gauß, der die Algebra und Zahlentheorie, so wie wir sie heute kennen, weiterentwickelte.

Im 20./21. Jahrhundert werden vermehrt Computer verwendet, um Neues in der Mathematik zu entdecken und zu beweisen. Nicht nur das Finden von Primzahlen wurde damit extrem schnell, sondern auch der Vier-Farben-Satz wurde mit Hilfe von Computern bewiesen.

Gebiet: Arithmetik

Die Arithmetik befasst sich mit Zahlenarten und Rechengesetzen. Es wird unterschieden in elementare Arithmetik (grundlegendes Rechnen, darunter fallen die Grundrechenarten und die Potenzen) und höhere Arithmetik (hierunter fallen Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kombinatorik und Zahlentheorie).

Gebiet: Algebra

Die Algebra befasst sich mit dem Lösen von Gleichungen sowie mit algebraischen Strukturen (das heißt, wie Mengen von Elementen miteinander verknüpft sind).

Die lineare Algebra befasst sich mit linearen Gleichungssystemen und sogenannten Vektorräumen (ein „Raum“, in dem mögliche Berechnungen bzw. Verknüpfungen definiert werden).

Die höhere Algebra untersucht strukturelle Zusammenhänge zwischen abstrakten Größen und wird häufig in der Physik eingesetzt.

Gebiet: Analysis

Die Analysis befasst sich mit Grenzwerten. Sie beinhaltet die Differentialrechnung und die Integralrechnung, zudem die Funktionentheorie und die Differential- und Integralgeometrie.

Gebiet: Angewandte Mathematik

Die angewandte Mathematik bietet eigene Methoden zur Lösung von mathematischen Problemen. Sie findet sich insbesondere in der Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Versicherungs- und Finanzmathematik.

Gebiet: Geometrie

Die Geometrie befasst sich u. a. mit Figuren in der Ebene, Körpern im Raum, Kurven und Flächen. Sie untergliedert sich weiter in: Planimetrie (2D), Stereometrie (3D), Trigonometrie (Dreiecksvermessung) und analytische Geometrie.

Gebiet: Logik

Die Logik behandelt das formale Denken mit Hilfe von Mathematik. Die Formalisierung der Logik (d. h. eine Verallgemeinerung von Aussagen) hat das Ziel, einzelne Beweisschritte eigenständig zu betrachten und Beweise komplett als Folgen von Operationen darstellen zu können. Zum einen gibt es die Aussagenlogik, bei der mathematische Aussagen mit Wahrscheinlichkeitswerten verknüpft werden. Zum anderen gibt es die Prädikatenlogik, in der die Struktur von mathematischen Aussagen untersucht wird.

Gebiet: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aus der Untersuchung des Glücksspiels heraus hat sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung entwickelt. Sie befasst sich mit der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse. Man unterteilt in Wahrscheinlichkeitstheorie (Stochastik), bei der die Verteilung der Zufallsvariable bestimmt wird (zum Beispiel bei Zufallsexperimenten wie Würfeln oder Münzwurf), und Statistik, die bei unvollkommener Kenntnis des Experiments mit Hilfe von Stichproben auf eine Verteilung zurückschließt (Schätzen und Entscheiden).

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