G11: ggT und kgV

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Video: Einführung ggT

Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Der ggT gibt die größtmögliche Zahl an, durch die zwei oder mehr Zahlen teilbar sind. Eine Zahl ist teilbar durch eine andere Zahl, wenn die Division durch genau diese Zahl eine ganze Zahl ergibt.

Im Folgenden werden nun zwei Methoden vorgestellt, mit denen man den ggT bestimmen kann.

Bestimmung des ggT durch Auflisten aller Teiler

Diese Methode ist einfach verständlich, jedoch bei größeren Zahlen sehr umständlich. Zählt man alle Teiler der Zahlen auf, deren ggT man bestimmen soll, so lässt sich der ggT ablesen.

Beispiel: Bestimme den ggT der Zahlen 8 und 12, indem du alle Teiler aufschreibst:

Um die Teiler von 8 zu bestimmen, schaut man sich zunächst an, durch welche Zahlen man die Zahl 8 teilen kann, sodass man eine ganze Zahl erhält.
8:1 = 8
8:2 = 4
8:3
8:4 = 2
8:5
8:6
8:7
8:8 = 1

Man erkennt nun die Teiler von 8, diese sind: 1, 2, 4, 8

Bestimmt man mit dem selben Verfahren die Teiler von 12 erhält man: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Jetzt schaut man sich den größten dieser Teiler an, der in beiden Listen auftaucht (den also beide gemeinsam haben). In diesem Fall wäre das die Zahl 4. Die 4 ist also ggT von 8 und 12.

Mathematisch schreibt man dies: ggT(8, 12) = 4

Problematisch wird dieses Verfahren bei größeren Zahlen, die viele Teiler besitzen.

Bestimmen des ggT durch Primfaktorzerlegung

Eine etwas kompliziertere, aber dafür auch für größere Zahlen anwendbare Methode ist die Bestimmung von Primfaktoren der Zahlen, von denen der ggT gebildet werden soll. Man zerlegt die Zahlen jeweils in ihre Primfaktoren und bestimmt anschließend alle Faktoren, die in beiden Zerlegungen auftauchen. Diese Faktoren multipliziert man anschließend.

Falls dir die Primfaktorzerlegung noch nicht bekannt ist, solltest du zuerst die Lektion G10 Primzahlen und Primfaktorzerlegung anschauen.

Beispiel:

Gesucht ist ggT(8, 20)
8 = 4 · 2 = 2 · 2 · 2
20 = 4 · 5 = 2 · 2 · 5
ggT = 2 · 2 = 4

Die blau gekennzeichneten Primfaktoren sind jene, die in beiden Zerlegungen auftauchen.

Daraus folgt: ggT(8, 20) = 4

Diese Methoden lassen sich auch für den ggT von mehr als zwei Zahlen anwenden.

Sollten die Zahlen keinen gemeinsamen Teiler besitzen (also nur Division :1 funktioniert), verwenden wir das Wort "teilerfremd".

Anwendung des ggT

Der ggT lässt sich unter anderem verwenden, um Brüche zu kürzen. Hat man den ggT von Zähler und Nenner eines Bruches bestimmt, so kann man diesen Bruch mit dem ggT kürzen.

Beispiel:
18 / 150 soll gekürzt werden.

ggT(18, 150) wird bestimmt mit Hilfe der Primfaktorzerlegung:

18 = 6 · 3 = 2 · 3 · 3
150 = 15 · 10 = 3 · 5 · 2 · 5 = 2 · 3 · 5 · 5
ggT = 2 · 3 = 6

Man kann den Bruch nun mit dem größten gemeinsamen Teiler 6 vollständig kürzen:

(18 : 6) / (150 : 6) = 3 / 25

ggT von mehreren Zahlen

Der ggT lässt sich auch von mehreren Zahlen bestimmen, die Rechenmethode ist dabei die gleiche:

10 = 2 · 5
25 = 5 · 5
40 = 2 · 2 · 2 · 5
ggT = 5

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Das kgV gibt an, wann sich die Vielfachen von zwei Zahlen zum ersten Mal begegnen.

Auch hier gibt es zwei Methoden. Die den Methoden zur Berechnung des ggT ähneln.

Bestimmung des kgV durch Auflisten der Vielfachen

Auch hier kann man einige Vielfache bestimmen und anschließend schauen, wenn die Vielfachen der Zahlen gleich sind.

Beispiel: kgV(8, 12)
Vielfache von 8 sind: 8, 16, 24, 32, …
Vielfache von 12 sind: 12, 24, 36, 48, …

Man sieht direkt, dass das kleinste gemeinsame Vielfach von 8 und 12 = 24 ist, denn bei 24 sind die Vielfachen der beiden Zahlen das erste Mal gleich. kgv(8, 12) = 24

Bei größeren Zahlen hat man auch hier das Problem, dass die Listen sehr groß und aufwendig zu erstellen sind. Deswegen gibt es wiederum ein Verfahren, dass sich auch für große Zahlen anwenden lässt:

Bestimmen des kgV durch Primfaktorzerlegung

Zunächst bestimmt man wieder die Primfaktorzerlegung. Anschließend fasst man alle auftretenden Primfaktoren in ihrer höchsten Anzahl zusammen.

Beispiel:
8 = 2 · 2 · 2
12 = 2 · 2 · 3
kgV = 2 · 2 · 2 · 3 = 24

Der Faktor 2 tritt in der höchsten Anzahl 3 auf (Zerlegung von 8).
Der Faktor 3 tritt in der höchsten Anzahl 1 auf ( Zerlegung von 12).

Wir schreiben: kgV(6, 8) = 24

Anders als beim ggT gibt es immer ein kgV.

Anwendung des kgV

Möchte man zwei Brüche addieren, deren Nenner unterschiedlich sind, so muss man die Nenner gleichnamig machen. Dazu brauch man ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner. Man kann also das kgV zur Hilfe nehmen.

Beispiel: Man möchte diese beiden Brüche addieren.

5/30 + 14/42

Wir bestimmen kgV(30, 42):

30 = 2 · 3 · 5
42 = 2 · 3 · 7
kgV = 2 · 3 · 5 · 7 = 210

Man kann die Brüche somit beide erweitern, sodass in beiden Nennern 210 steht.

Um zu wissen, mit welchem Wert man erweitern musst, nimmt man die zuvor bestimmte Primfaktorzerlegungen zur Hilfe, um die Nenner in Faktoren zu zerlegen:

5 / 30 + 14 / 42 = 5 / (2 · 3 · 5) + 14 / (2 · 3 · 7)

Möchte man diese Brüche gleichnamig machen, so muss man jeweils mit den Primfaktoren erweitern, die im anderen Nenner, aber nicht im jeweils eigenen Nenner vorhanden sind.

5 / (2 · 3 · 5) + 14 / (2 · 3 · 7) = (5 · 7) / (2 · 3 · 5 · 7) + (14 · 5) / (2 · 3 · 7 · 5) = 35 / 210 + 70/210 = 105/210

Das kgV lässt sich auch von mehreren Zahlen bestimmen, dazu kann man ebenfalls beide Methoden anwenden.

kgV von mehreren Zahlen

Die Rechenmethode ist dieselbe wie vorab kennengelernt, nur dass wir jetzt eine weitere Zahl berücksichtigen:

28 = 2 · 2 · 7
25 = 5 · 5
40 = 2 · 2 · 2 · 5
kgV = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 7 = 1400

Wissen in Kurzform

größter gemeinsamer Teiler

Der ggT gibt die größtmögliche Zahl an, durch die zwei Zahlen teilbar sind.

Berechnung: Zahlen in Primfaktoren zerlegen und gleiche Primfaktoren zusammenfassen.

Beispiel:
8 = 2·2·2
20 = 2·2·5
ggT = 2·2 = 4

Wir schreiben: ggT(8, 20) = 4

Sollten die Zahlen keinen gemeinsamen Teiler besitzen (also nur Division :1 funktioniert), verwenden wir das Wort "teilerfremd".

kleinstes gemeinsames Vielfaches

Das kgV gibt an, wann sich die Vielfachen von zwei Zahlen zum ersten Mal begegnen.

Berechnung: Zahlen in Primfaktoren zerlegen und Primfaktoren (jeweils in höchster Anzahl) zusammenfassen.

Beispiel:
6 = 2·3
8 = 2·2·2
kgV = 2·2·2 ·3 = 24

Wir schreiben: kgV(6, 8) = 24

Zur Kontrolle führen wir uns die Vielfachen nochmals vor Augen:
→ Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
→ Vielfache von 8: 8, 16, 24, 32, ...

Das kgV von 6 und 8 ist also 24, die erste Zahl, bei der sich die Vielfachen von 6 und 8 erstmals treffen.

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