INT08: Flächenberechnung mit Integralen

Integrale zur Flächenberechnung

Nun, endlich, im achten Kapitel kommen wir zu den Anwendungen, die sich hauptsächlich auf die Flächenberechnung beschränken soll. Mit den ganzen Hilfsmitteln, die wir kennengelernt haben, können wir diese nämlich nun berechnen. Dabei wollen wir zwei Fälle unterscheiden. Einmal die Berechnung einer Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse. Zum Anderen aber auch die Fläche zwischen zwei Graphen.

Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Für die Flächenberechnung zwischen einem Graphen und der x-Achse gehen wir vor, wie wir es im letzten Kapitel gesehen hatten. Wir nehmen die linke Grenze des interessanten Bereichs und die rechte Grenze des interessanten Bereichs und errechnen den Flächeninhalt über das bestimmte Integral. Oft wird dabei von Nullstelle zu Nullstelle integriert. Schauen wir uns ein paar Beispiele dazu an.

Beispiel 1

Berechnen der Fläche zwischen dem Graphen f und der x-Achse zwischen x = 2 und x = 5, mit f(x) = 5.


Das Integral stellt sich damit auf zu:

\( \int_2^5 5 \; dx = \left[5x\right]_2^5 = 5\cdot5 - 5\cdot2 = 15 \)

Das Ergebnis können wir leicht im Graphen überprüfen, da es sich nur um ein Rechteck handelt.

Fläche Integral Beispiel

Beispiel 2

Berechnen der Fläche, die von dem Graphen f und der x-Achse umschlossen wird. Dabei sei f(x) = -(x-2)(x+2).

Hier müssen wir zuerst die Nullstellen bestimmen, welche man direkt zu x = -2 und x = 2 ablesen kann und die unsere Grenzen bestimmen.


Das Integral stellt sich damit auf zu:

\( \int_{-2}^2 -(x-2)(x+2) \; dx= -\int_{-2}^2 x^2-4 \; dx = -\left[\frac13x^3 - 4x\right]_{-2}^2 \)

\( =-\left(\frac13\cdot2^3 - 4\cdot2 - \left(\frac13 \cdot(-2)^3 - 4\cdot(-2)\right)\right) = -\left(-\frac{16}{3} - \frac{16}{3}\right) = \frac{32}{3} \)

Fläche Parabel Integral

Alternative zu Beispiel 2

Wie man im Graphen erkennt, ist die Funktion f(x) symmetrisch, es macht daher auch Sinn das Integral von 0 bis 2 zu errechnen und den Flächeninhalt zu verdoppeln. So spart man sich teils Zeit beim Einsetzen (da beim Einsetzen von 0 das Rechnen entfällt). Überprüfen wir, ob wir auf dasselbe kommen.

\( \int_{0}^2 -(x-2)(x+2) \; dx= -\int_{0}^2 x^2-4 \; dx = -\left[\frac13x^3 - 4x\right]_{0}^2 \)

\( =-\left(\frac13\cdot2^3 - 4\cdot2 - 0\right) = \frac{16}{3} \)

Das müssen wir noch verdoppeln und kommen ebenfalls auf \( 2\cdot\frac{16}{3} = \frac{32}{3} \) .

Beispiel 3

Ganz so einfach wie in den beiden obigen Beispielen muss es aber nicht immer zugehen. Befindet sich der Flächeninhalt einmal über und einmal unter der x-Achse, muss das gesondert betrachtet werden. Denn der Flächeninhalt unter der x-Achse ist “negativ orientiert” und trägt ein negatives Vorzeichen. Ist man rein an einer Fläche interessiert, wird der negativ orientierte Teil im Betrag betrachtet. Wenn wir uns also Beispiel 2 nochmals anschauen und den Graphen umdrehen, ändert sich abgesehen vom Vorzeichen nichts.

Das Integral stellt sich damit auf zu:

\( \int_{-2}^2 (x-2)(x+2) \; dx= \int_{-2}^2 x^2-4 \; dx = \left[\frac13x^3 - 4x\right]_{-2}^2 \)

\( =\left(\frac13\cdot2^3 - 4\cdot2 - \left(\frac13 \cdot(-2)^3 - 4\cdot(-2)\right)\right) = \left(-\frac{16}{3} - \frac{16}{3}\right) = -\frac{32}{3} \)

Fläche Parabel nach unten - Integral

Da es aber keine negativen Flächen gibt, wird das Integral im Betrag betrachtet.

\( \left|\int_{-2}^2 (x-2)(x+2) \; dx\right| = \left|-\frac{32}{3}\right| = \frac{32}{3} \)

Meist wird das Integral ohne Betrag errechnet und erst am Schluss erwähnt, dass Flächen positiv zu sein haben und das Ergebnis betragsmäßig betrachtet wird.

Beispiel 4

Noch etwas spannender wird es, wenn sowohl eine Fläche über und eine Fläche unter der x-Achse vorzufinden sind. Nehmen wir dazu die Funktion f(x) = 2x und integrieren sie im Bereich zwischen -3 und 3.

Erst einmal ohne Betragsstriche und stur wie in den ersten Beispielen:

\( \int_{-3}^3 2x \; dx = \left[x^2\right]_{-3}^3 = 3^2 - (-3)^2 = 9-9 = 0 \)


Laut Integral soll der Flächeninhalt zwischen der x-Achse, des Graphen und der genannten Grenzen 0 sein. Wie wir aus dem Graphen entnehmen, ist das falsch.

Fläche Graph 2x - Integral

Was wir machen müssen, ist die Fläche unter der x-Achse getrennt zu errechnen und dann zu der Fläche über der x-Achse addieren. Dabei nutzen wir wieder den Betrag (Alternativ könnte man hier wieder mit der Symmetrie argumentieren und nur eine Seite berechnen und den Wert verdoppeln). Machen wir das.

\( \left|\int_{-3}^0 2x \; dx \right| + \left|\int_{0}^3 2x \; dx\right| = \left|\left[x^2\right]_{-3}^0\right| + \left|\left[x^2\right]_{0}^3\right| = |9| + |9| = 18 \)

Auch das können wir wieder im Graphen recht leicht überprüfen und bestätigen.

Anmerkung: Hat man mehrere Flächen, die sich abwechselnd über und unter der x-Achse befinden, so müssen alle Intervalle extra berechnet werden. Von Nullstelle zu Nullstelle.

Flächenberechnung zwischen zwei Graphen

Um die Fläche zwischen zwei Graphen zu bestimmen, geht man prinzipiell wie gewohnt vor. Der einzige größere Unterschied besteht in der Vorarbeit, bei der die Differenzfunktion der beiden Funktionen berechnet wird. Dabei wird die Differenzfunktion im Betrag betrachtet (auch hier gilt wieder, dass meist erst der Wert des Integrals berechnet wird und erst davon der Betrag gezogen wird).

Beispiel

Nehmen wir die beiden Funktion f(x) = x^2+1 sowie g(x) = x+1. Die Differenzfunktion ist demnach h(x) = f(x) - g(x) (Wichtig: Es spielt keine Rolle ob man h(x) = f(x) - g(x) oder als h(x) = g(x) - f(x) bezeichnet, da ja der Betrag verwendet wird).

Hat man die Differenzfunktion h(x) vorliegen, hat man die ganz zusätzliche Vorarbeit erledigt und kann vorgehen wie oben gezeigt. Dazu werden die Nullstellen berechnet und in deren Grenzen integriert.

\( h(x) = x^2+1 - (x+1) = x^2-x = 0 \)

\( x_{1} = 0 \) und \( x_{2} = 1 \)


\( \left|\int_0^1 h(x) \; dx \right| = \left|\int_0^1 x^2-x \; dx\right| = \left|\left[\frac13 x^3-\frac12 x^2\right]_0^1\right| \)

\( = \left|\frac13 - \frac12 - (0)\right| = \left|-\frac16\right| = \frac16 \)

Schauen wir uns das noch in ein paar Graphen ein. Zuerst die ursprüngliche Aufgabe, also betrachten wir die Fläche zwischen den beiden Graphen g und f.

Fläche zwischen zwei Graphen via Integral

Hier erkennen wir auch die Schnittstellen zu x = 0 und x = 1, wie wir sie bestimmt haben. Errechnet wird der Flächeninhalt nun über die Differenzfunktion. Die Differenzfunktion produziert nichts anderes als eine Vereinfachung, indem später nur noch die Fläche zwischen Graph und x-Achse berechnet werden muss. Was wir in Integralform hingeschrieben haben, sieht so aus:

Differenzfunktion

Das erinnert an die bisherigen Probleme und man geht genauso vor.

Nachtrag: Symmetrie

Ein weiterer wichtiger Punkt soll noch eure Aufmerksamkeit finden, bevor ihr entlassen seid. Bei diesem geht es um die Symmetrie bei Integralen (Vorsicht: Unabhängig von der Flächenberechnung). Einen ersten Eindruck davon hatten wir schon in Beispiel 4 gewonnen. Dort hatten wir die Gesamtfläche berechnen sollen und erstmal ohne Betrag gerechnet. Das Ergebnis hatte 0 ausgespuckt. Dort waren wir aber an der Fläche interessiert und haben nachträglich noch die Beträge gesetzt. Jetzt holen wir uns das Beispiel aber nochmals her.

Punktsymmetrie

Fläche Graph 2x - Integral

Es gilt sich zu merken, dass im Falle einer Berechnung von Integralen (unabhängig von der Flächenberechnung) die Punktsymmetrie bei der Bestimmung dieser helfen kann, da sich Integrale mitunter zu 0 aufheben.

\( \int_{-3}^3 2x \; dx = \left[x^2\right]_{-3}^3 = 3^2 - (-3)^2 = 9-9 = 0 \)

So braucht man bei obigem Integral nur die Funktion f(x) = 2x anzuschauen und sie als eine punktsymmetrische Funktion zu identifizieren; sowie die Grenzen, die sich je gleich weit vom Symmetriepunkt entfernt befinden, um direkt den Wert 0 ausgeben zu können.

Achsensymmetrie

Hier heben sich die Teilbereiche zwar nicht gegenseitig auf, doch kann man sich durchaus die Arbeit erleichtern, wenn man weiß, dass man nur die Hälfte eines Integrals zu berechnen hat und den errechneten Teil verdoppeln kann, um auf das Ergebnis zu kommen.

Fläche Parabel Integral

Um zur Funktion f(x) = -x²+4 den Flächeninhalt zu errechnen, hatten wir zuvor gerechnet:

$$ \int_{-2}^2 -(x-2)(x+2) \; dx= -\int_{-2}^2 x^2-4 \; dx = -\left[\frac13x^3 - 4x\right]_{-2}^2 \\ =-\left(\frac13\cdot2^3 - 4\cdot2 - \left(\frac13 \cdot(-2)^3 - 4\cdot(-2)\right)\right) = -\left(-\frac{16}{3} - \frac{16}{3}\right) = \frac{32}{3} $$

Hingegen kann man auch nur von 0 bis 2 integrieren und diesen Flächeninhalt verdoppeln, um auf dasselbe zu kommen (oft ist es einfacher 0 als Grenze einzusetzen, als beispielsweise -2).

\( 2\int_{0}^2 -(x-2)(x+2) \; dx= -2\int_{0}^2 x^2-4 \; dx = -2\left[\frac13x^3 - 4x\right]_{0}^2 \)

\( =-2\left(\frac13\cdot2^3 - 4\cdot2 - 0\right) = -2\left(-\frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} \)

Zusammenfassung

Will man eine Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse berechnen, so sind folgende Schritte durchzuführen:

  1. Nullstellen berechnen (falls bestimmte Integralgrenzen gegeben sind, mögen manche Nullstellen nicht im betrachteten Intervall liegen)

  2. Das Integral abschnittsweise betrachten (von einer Nullstelle zur anderen; zumindest solange sich die Orientierung der Fläche ändert)

  3. Die einzelnen Flächen betragsmäßig addieren

Will man eine Fläche zwischen zwei Graphen berechnen, so sind folgende Schritte durchzuführen:

  1. Die Differenzfunktion h(x) ist aufzustellen. Da diese im Betrag betrachtet wird, spielt es keine Rolle ob h(x) = g(x) - f(x) oder h(x) = f(x) - g(x) gewählt wird.

  2. Nullstellen berechnen (falls bestimmte Integralgrenzen gegeben sind, mögen manche Nullstellen nicht im betrachteten Intervall liegen)

  3. Das Integral abschnittsweise betrachten (von einer Nullstelle zur anderen; zumindest solange sich die Orientierung der Fläche ändert)

  4. Die einzelnen Flächen betragsmäßig addieren

Merkregel: Flächen sind nie negativ. Nichtsdestotrotz mag es Aufgaben geben, wo das Integral, nicht aber die Fläche errechnet werden soll. Es muss dann nicht gezwungenermaßen mit Beträgen gerechnet werden!

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