Wissen: Integralrechnung - Zusammenfassung

Zusammenfassung zur Integralrechnung (Grundlagen)

Für den gemeinsamen Grenzwert von Unter- und Obersumme der Rechtecke, das heißt für den Flächeninhalt der Fläche zwischen der Randfunktion f und der x-Achse in einem Intervall [0; b] schreibt man auch:

$$ \lim \limits_{n \to \infty} S_u = \lim \limits_{n \to \infty} S_o = F_0(b) = \int_{0}^{b} f(x) dx $$

Dieser gemeinsame Grenzwert heißt das bestimmte Integral der Funktion f im Intervall [0; b]. 0 und b heißen Integrationsgrenzen, [0; b] heißt das Integrationsintervall, f(x) heißt Integrand.

Berechnen von Integralen:

$$ F_a(b) = F_0(b) - F_0(a) \Leftrightarrow \int_{a}^{b} f(x) dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a) $$

Flächen zwischen Funktionsgraph und der x-Achse

Es gibt drei Fälle für die Flächen zwischen Funktionsgraph und der x-Achse über einem Intervall:

Fall 1: Das Flächenstiick liegt oberhalb der x-Achse. Im vorgegebenen Intervall [a; b] sind alle Funktionswerte größer oder gleich Null (\( f(x) ≥ 0 \): \( A = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

Fall 2: Das Flächenstück liegt unterhalb der x-Achse. Im vorgegebenen Intervall [a; b] sind alle Funktionswerte kleiner oder gleich Null (\( f(x) ≤ 0 \): \( A = \left| \int_{a}^{b} f(x) dx \right| \)

Fall 3: Die Flächenstücke liegen teilweise oberhalb, teilweise unterhalb der x-Achse. Der Inhalt der Gesamtfläche ergibt sich als Summe der Teilflächen.

Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen

Fall 1: Die Graphen der Funktionen f und g haben im Integrationsintervall [a; b] keinen Schnittpunkt: \( A = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \), dabei liegt f über g.

Fall 2: Die Graphen der Funktionen f und g haben im Integrationsintervall [a; b] mindestens eine Schnittstelle.
Dann wird der Flächeninhalt in den drei Schritten berechnet:
1. Schnittstellen berechnen
2. Differenzfunktionen bilden („obere“ Funktion minus „untere“ Funktion)
3. Von Schnittstelle zu Schnittstelle schrittweise integrieren (bzw. von vorgegebenen Grenzen)

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