Wissen: Integraltransformationen Zusammenfassung

Autor: André Dalwigk

Komplexe Analysis

Komplexe Zahlen

Definition: Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form \(z=a+ib\) mit \(a,b\in\mathbb{R}\). \(a\) heißt der Realteil von \(z\) und \(b\) nennt man den Imaginärteil von \(z\):

\(\Re(z)=a\)
\(\Im(z)=b\)

Die Menge der komplexen Zahlen wird mit ℂ bezeichnet.

Satz: Gleichheit komplexer Zahlen

Seien \(z_1,z_2\in\mathbb{C}\) mit \(z_1=a+ib\) und \(z_2=r+is\). \(z_1\) und \(z_2\) heißen gleich, wenn \(\Re(z_1)=\Re(z_2)\Leftrightarrow a=r\) \(\Im(z_1)=\Im(z_2)\Leftrightarrow b=s\).

Definition: Addition und Multiplikation in ℂ

Seien \(z_1,z_2\in\mathbb{C}\) mit \(z_1=a+ib\) und \(z_2=r+is\). Wir definieren:

  1. \((a+ib)+(r+is):=(a+r)\cdot i(b+s)\)
  2. \((a+ib)\cdot (r+is):=(ar-bs)+i(as+br)\)
  3. \(-(a+ib):=-a+i(-b)\)
  4. \(\dfrac{1}{a+ib}:=\dfrac{a}{a^2+b^2}+i\cdot \dfrac{-b}{a^2+b^2}\), falls \(z=a+bi\neq 0\)

Satz: Körperaxiome in ℂ

\(z,w,u\in \mathbb{C}\) gilt:

\(z+w=w+z\) Kommutativgesetze
\(zw=wz\)
\((z+w)+u=z+(w+u)\) Assoziativgesetze
\((zw)u=z(wu)\)
\(z+0=z\) neutrale Elemente
\(z\cdot 1=z\)
\(z+(-z)=0\) inverse Elemente
\(z \cdot \dfrac{1}{z}=1\)
\(z(w+u)=zw+zu\) Distributivgesetz

Definition: Konjugiert komplexe Zahl

Ist \(z=a+ib\in\mathbb{C}\), so heißt \(\overline{z}=a-ib\) die zu \(z\) konjugiert komplexe Zahl.

Satz: Rechenregeln für konjugiert komplexe Zahlen

Seien \(z,z_1,z_2\in\mathbb{C}\) und \(n\in\mathbb{N}_0\). Dann gilt:

  1. \(\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}\)
  2. \(\overline{-z}=-\overline{z}\)
  3. \(\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\thinspace\overline{z_2}\)
  4. \(\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\), für \(z_2\neq 0\)
  5. \(\overline{z^n}=\overline{z}^n\)
  6. \(z\in\mathbb{R}\Leftrightarrow z=\overline{z}\)

Definition: Betrag einer komplexen Zahl

Für \(z=a+ib\in\mathbb{C}\) heißt \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) der Betrag von \(z\). \(\forall z\in\mathbb{C}:|z|\in\mathbb{R}_0^+\).

Satz: Rechenregeln für den Betrag von komplexen Zahlen

Seien \(z,z_1,z_2\in\mathbb{C}\) und \(n\in\mathbb{N}_0\). Dann gilt:

  1. \(|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|\) (Dreiecksungleichung)

  2. \(|z_1z_2|=|z_1||z_2|\)

  3. \(|\dfrac{z_1}{z_2}|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}\)

  4. \(|z^n|=|z|^n\)

  5. \(z\overline{z}=|z|^2\)

  6. \(|\overline{z}|=|z|\)

Satz: Komplexe Wurzeln

Jede komplexe Zahl \(z=x+iy\) besitzt zwei verschiedene Wurzeln, nämlich
$$ \sqrt{x+iy}= \begin{cases} \pm\bigg(\sqrt{\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}}+i\cdot\sqrt{\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}}\bigg) & \text{für $y\geq 0$} \\ \pm\bigg(\sqrt{\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}}-i\cdot\sqrt{\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}}\bigg) & \text{für $y< 0$} \\ \end{cases} $$

Bemerkung: Notation zum Anzeigen der Zweideutigkeit von Wurzeln in ℂ

Im Gegensatz zu rellen Zahlen ist für eine Zahl \(z\in\mathbb{C}\) der Ausdruck \(\sqrt{z}\) nicht mehr eindeutig festgelegt. Wir schreiben daher \(\overset{\mathbb{C}}{\sqrt{z}}\), um die Zweideutigkeit anzuzeigen.

Satz: Fundamentalsatz der Algebra

Jedes Polynom \(P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1z+a_0\) mit \(a_i\in\mathbb{C}\) mit komplexen \(z\) kann in Linearfaktoren zerlegt werden, also \(P(z)=a_n(z-z_1)\cdot...\cdot(z-z_n)\). Die Zahlen \(z_1,z_2,...,z_n\) sind die Nullstellen von \(P(z)\). Insbesondere hat jedes komplexe Polynom mindestens eine Nullstelle.

Polarkoordinaten

Definition: Die komplexe e-Funktion

Für \(z=x+iy\in\mathbb{C}\) definiert man \(e^z:=e^x(\cos{\left(y\right)}+i\cdot\sin{\left(y\right)})\)

Satz: Rechenregel für die komplexe Exponentialfunktion

Für die komplexe Exponentialfunktion gilt (wie in \(\mathbb{R}\))

\(e^{z+w}=e^ze^w\)

Bemerkung: Die schönste Formel der Welt

Speziell gilt \(e^{i\varphi}=e^{0+i\varphi}=(\cos{\left(\varphi\right)}+i\cdot\sin{\left(\varphi\right)})\), also \(|e^{i\varphi}|=\sqrt{\cos^2{\left(\varphi\right)}+\sin^2{\left(\varphi\right)}}=1\), für alle \(\varphi\in\mathbb{R}\).

Satz: Rechenregeln für (komplexe) e-Funktionen

Seien \(z=x+iy\in\mathbb{C}\) und \(\varphi\in\mathbb{R}\). Dann gilt:

  1. \(e^{\overline{z}}=e^{x-iy}=e^x\left(\cos{\left(-y\right)}+i\cdot\sin{\left(-y\right)}\right)\\=e^x\left(\cos{\left(y\right)}-i\cdot\sin{\left(y\right)}\right)=\overline{\left(\cos{\left(y\right)}+i\cdot\sin{\left(y\right)}\right)}=\overline{e^z}\)

  2. \(e^{-\varphi}=e^{i\varphi}=\overline{e^{i\varphi}}\)

  3. \(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}=\cos{\left(\varphi\right)}+i\cdot\sin{\left(\varphi\right)}+\cos{\left(-\varphi\right)}+i\cdot\sin{\left(-\varphi\right)}=2i\cdot\sin{\left(\varphi\right)}\), also \(\sin\left(\varphi\right)=\dfrac{e^{i\varphi+e^{-\varphi}}}{2i}\)

  4. \(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}=\cos{\left(\varphi\right)}+i\cdot\sin{\left(\varphi\right)}-\cos{\left(-\varphi\right)}-i\cdot\sin{\left(-\varphi\right)}=2\cdot\cos{\left(\varphi\right)}\), also \(\cos\left(\varphi\right)=\dfrac{e^{i\varphi+e^{-\varphi}}}{2}\)

Satz: Darstellung der Sinus- und Kosinusfunktion durch die komplexe e-Funktion

Sei \(z\in\mathbb{C}\).Dann gilt:

  1. \(cos{\left(z\right)}=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\)
  2. \(sin{\left(z\right)}=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\)

Bemerkung: Additionstheoreme der komplexen Sinus- und Kosinusfunktion

Auch für \(z,w\in\mathbb{C}\) gelten die Additionstheoreme

  1. \(sin{\left(z+w\right)}=\sin{\left(z\right)}\cdot\cos{\left(w\right)}+\cos{\left(z\right)}\cdot\sin{\left(w\right)}\)
  2. \(cos{\left(z+w\right)}=\cos{\left(z\right)}\cdot\cos{\left(w\right)}-\sin{\left(z\right)}\cdot\sin{\left(w\right)}\)

Definition: Polarkoodinaten

\(\forall z=a+ib\in\mathbb{C}\backslash\{0\}:\exists!r>0\wedge\varphi\in[ 0,2 \pi[:z=re^{i\varphi}\)
\(r\) ist der Betrag von \(z\), also \(r=|z|\).
\(\varphi\) ist das Argument von \(z\) (\(\varphi = Arg(z)\)).

Satz: Ermittlung von \(Arg(z)\) für \(z=x+iy\)

$$ Arg(z)= \begin{cases} x=0\Rightarrow \begin{cases} \dfrac{\pi}{2} & \text{für $y>0$}\\ \dfrac{3\pi}{2} & \text{für $y<0$} \end{cases}\\ x>0\Rightarrow \begin{cases} \arctan{\left(\dfrac{y}{x}\right)} & \text{für $y\geq 0$}\\ \arctan{\left(\dfrac{y}{x}\right)}+2\pi & \text{für $y< 0$} \end{cases}\\ x < 0 \Rightarrow\arctan{\left(\dfrac{y}{x}\right)}+\pi,\forall y \end{cases} $$

Bemerkung: Zusammenhänge komplexer trigonometrischer Funktionen

  1. \(\tan{\left(z\right)}=\dfrac{\sin{\left(z\right)}}{\cos{\left(z\right)}}\) mit \(z\in\mathbb{C}\setminus\left\lbrace\pm\dfrac{k\cdot\pi}{2}\mid k\in\mathbb{N}\right\rbrace\)
  2. \(\cot{\left(z\right)}=\dfrac{\cos{\left(z\right)}}{\sin{\left(z\right)}}\) mit \(z\in\mathbb{C}\setminus\left\lbrace\pm k\cdot\pi\mid k\in\mathbb{N}\right\rbrace\)
  3. \(\sin{\left(z\right)}=0\Leftrightarrow e^{iz}=e^{-iz}\Leftrightarrow\left(e^{iz}\right)^{2}=1\Leftrightarrow e^{iz}=\pm 1\Leftrightarrow z\in\left\lbrace \pm k\cdot \pi \right\rbrace\)
  4. \(\cos{\left(z\right)}=0\Leftrightarrow e^{iz}=-e^{-iz}\Leftrightarrow\left(e^{iz}\right)^{2}=-1\Leftrightarrow z\in\left\lbrace \pm k\cdot \dfrac{\pi}{2} \right\rbrace\)

Bemerkung: Geometrische Interpretation der Multiplikation in ℂ

Seien \(z,w\in\mathbb{C}\) mit \(z=re^{i\varphi}\) und \(w=te^{i\psi}\). Dann gilt:

$$ z\cdot w = rt\cdot e^{i\varphi} \cdot e^{i\psi}=rte^{i(\varphi+\psi)} $$

Die Längen werden folglich multipliziert und die Winkel addiert.

Bemerkung: n-te Potenz von komplexen Zahlen

Sei \(z=re^{i\varphi}\in\mathbb{C}\). Dann gilt:

$$ z^n=r^ne^{i\varphi n}=r^n(\cos{(n\varphi)}+i\sin{(n\varphi)}) $$

Satz: n-te Wurzeln in ℂ

Seien \(z,w\in\mathbb{C}\). Die Gleichung \(z^n=w\) mit \(n\in\mathbb{N}\) hat für \(w=re^{i\varphi}\neq 0\) genau \(n\) verschiedene Lösungen, nämlich:

\( z_k=\sqrt[n]{r}\cdot e^{\dfrac{i\cdot (\varphi+2k\pi)}{n}} \) mit \(k=0,1,...,n-1\).

Gebiete, Folgen und Kurven in ℂ

Bemerkung: Distanzen in ℂ

Der Abstand zwischen \(z_1,z_2\in\mathbb{C}\) ist: $$|z_1-z_2|$$

Definition: \(\epsilon-\) Umgebung in ℂ

Sei \(z\in\mathbb{C}\). Dann nennen wir $$U_\epsilon(z_0)=\{z\in\mathbb{C}\mid |z-z_0|<\epsilon\}$$ die \(\epsilon-\)Umgebung von \(z_0\).

Definition: Randpunkte, Abgeschlossenheit

Ein Punkt \(z_0\) heißt Randpunkt einer Menge \(D\subset \mathbb{C}\), wenn in jeder \(\epsilon-\)Umgebung von \(z_0\) sowohl Punkte von \(D\) als auch Punkte von \(\mathbb{C}\setminus D\) liegen. Ein Punkt aus \(D\), der kein Randpunkt ist, heißt innerer Punkt von \(D\). \(D\) heißt abgeschlossen, wenn der Rand von \(D\) zu \(D\) gehört. \(D\) heißt offen, wenn \(D\) nur aus inneren Punkten besteht.

Definition: Konvergenz gegen \(z\)

Eine Folge \((z)_n\) mit \(n\in\mathbb{N}\) von komplexen Zahlen konvergiert gegen \(z\), wenn jede \(\epsilon-\)Umgebung von \(z\) ab einem \(n_0\) alle Folgenglieder enthält.

Definition: Wege und Kurven in ℂ

Eine stetige Abbildung $$\gamma:[a,b]\rightarrow\mathbb{C}$$ heißt ein Weg in ℂ. Das Bild $$\gamma([a,b])$$ nennen wir Kurve in ℂ.

Definition: Geschlossener Weg

Ein Weg \(\gamma:[a,b]\rightarrow\mathbb{C}\) heißt geschlossen, wenn $$\gamma(a)=\gamma(b)$$ gilt.

Bemerkung: Stetig differenzierbarer Weg

Jeder Weg \(\gamma:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}\) ist von der Form $$\gamma(t)=x(t)+i\cdot y(t)$$ mit reellen Funktionen \(x(t),y(t)\). \(\gamma\) heißt stetig differenzierbar, wenn \(x(t)\) und \(y(t)\) stetig differenzierbar sind. In diesem Fall schreibt man: $$\gamma^\prime(t)=x^\prime(t)+i\cdot y^\prime(t)$$

Satz: Länge eines Wegs in ℂ

Sei \(\gamma:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}\) ein stetig differenzierbarer Weg. Dann gilt für die Länge \(L(\gamma)\) des Weges: $$L(\gamma)= \int\limits_{a}^{b} |\gamma^\prime(t)|\mathrm{d}t$$

Definition: Gebiet in ℂ

Eine offene zusammenhängende Menge in ℂ heißt ein Gebiet. Jede Obermenge einer \(\epsilon-\)Umgebung von \(z_0\) heißt eine Umgebung von \(z_0\).

Holomorphe Funktionen

Definition: Komplexe Differenzierbarkeit

Sei \(f:D\rightarrow \mathbb{C}\) eine Funktion und \(D\) ein Gebiet. \(f\) heißt in \(z_0\) komplex differenzierbar, wenn der Grenzwert $$\lim_{z\rightarrow z_0}{\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}}$$ existiert. D.h. insbesondere, dass der Grenzwert unabhängig von der Annäherung an \(z_0\) ist. Der Grenzwert heißt Ableitung \(f^\prime(z_0)\) bzw. \(\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z}(z_0)\) von \(f\) in \(z_0\). Weiterhin heißt \(f\) komplex differenzierbar, wenn \(f\) in jedem Punkt aus \(D\) komplex differenzierbar ist.

Bemerkung: Hilfssatz für Potenzdifferenzen

Seien \(m,n\in\mathbb{N}\). Dann gilt: $$a^n-b^m=(a-b)\cdot \sum_{k=0}^{n-1}{a^{n-1-k}b^k}$$

Satz: Rechenregeln für komplex differenzierbare Funktionen

Seien \(f,g:D\rightarrow\mathbb{C}\) differenzierbar. Dann gilt:

  1. \((\alpha f)^\prime=\alpha f^\prime\) mit \(\alpha\in\mathbb{C}\)
  2. \((f\pm g)^\prime=f^\prime\pm g^\prime\)
  3. \((f\cdot g)^\prime=f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime\) (Produktregel)
  4. \(\left(\frac{f}{g}\right)^\prime=\dfrac{f^\prime\cdot g-f\cdot g^\prime}{g^2}\) mit \(g \neq 0\) (Quotientenregel)
  5. \((f\circ g)^\prime(z)=f^\prime(g(z))\cdot g^\prime(z)\) (Kettenregel)

Definition: Holomorphe Funktion

Sei \(f:D\rightarrow\mathbb{C}\) eine Funktion und \(D\) ein Gebiet. Ist \(f\) komplex differenzierbar auf \(D\), dann heißt \(f\) holomorph oder analytisch. \(f\) heißt holomorph in einem Punkt \(z_0\in D\), wenn \(f\) in einer ganzen \(\epsilon-\)Umgebung von \(z_0\) komplex differenzierbar ist.

Bemerkung: Holomorphie als globale Eigenschaft

Eine holomorphe Funktion \(f\) ist immer auf einem ganzen Gebiet differenzierbar (nicht nur in einem Punkt). Holomorphie ist eine globale Eigenschaft (keine lokale). Auch bei Holomorphie in einem Punkt wird Differenzierbarkeit in einem ganzen Gebiet (\(\epsilon-\)Umgebung) verlangt.

Bemerkung: Zerfall von komplexen Funktionen in Real- und Imaginärteil

Jede komplexe Funktion \(f(z)\) zerfällt in einen Realteil \(\Re\) und einen Imaginärteil \(\Im\). Seien \(g,h:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}\): $$f(z)=\underbrace{g(z)}_{\Re}+\underbrace{i\cdot h(z)}_{\Im}$$ \(g,h\) können als Funktionen zweier reeller Variablen aufgefasst werden: $$g(z)=g(x+iy)\approx g(x,y)$$ $$h(z)=h(x+iy)\approx h(x,y)$$ Also insgesamt: $$f(z)=g(x,y)+i\cdot h(x,y)$$ mit \(z=x+iy\).

Satz: Entscheidungskriterium für komplexe Differenzierbarkeit

Seien \(f,g:D\rightarrow\mathbb{C}\) eine komplexe Funktion und \(D\) ein Gebiet. Seien weiterhin \(f(z)=g(x,y)+i\cdot h(x,y)\) mit \(z=x+iy\) und \(g,h\) reelle Funktionen. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. \(f\) ist in \(z_0\) komplex differenzierbar.

  2. Die Funktionen \(g(x,y)\) und \(h(x,y)\) sind in \(z_0=x_0+iy_0\approx (x_0,y_0)\) partiell nach \(x\) und \(y\) differenzierbar und es gilt: $$\dfrac{\partial g }{\partial x}(x_0,y_0)=\dfrac{\partial h}{\partial y}(x_0,y_0)$$ $$\dfrac{\partial g }{\partial y}(x_0,y_0)=-\dfrac{\partial h}{\partial x}(x_0,y_0)$$ Es gilt dann: $$f^\prime(z_0)=\dfrac{\partial g }{\partial x}(x_0,y_0)+i\cdot \dfrac{\partial h }{\partial x}(x_0,y_0)=\dfrac{\partial h }{\partial y}(x_0,y_0)-i\cdot \dfrac{\partial g }{\partial y}(x_0,y_0)$$

Bemerkung: Reelle und komplexe Differenzierbarkeit im Vergleich

Komplexe Differenzierbarkeit ist restriktiver als reelle. Das sieht man z.B. daran, dass die Differenzierbarkeit des Real- und Imaginärteils noch nicht hinreichend für die komplexe Differenzierbarkeit ist.

Satz: Reelle und komplexe Differenzierbarkeit im Vergleich

Sei \(f(z)\) in \(z_0\) holomorph (d.h. in einer ganzen \(\epsilon-\)Umgebung von \(z_0\) differenzierbar) und es gelte \(f^\prime(z_0)\neq 0\). Es bilde \(f\) eine Umgebung von \(z_0\) bijektiv in eine Umgebung von \(f(z_0)=w_0\) ab und \(f^{-1}\) sei stetig in \(w_0\). \(f^{-1}\) ist dann holomorph in \(w_0\) und es gilt: $$(f^{-1})^\prime(w_0)=(f^{-1})^\prime(f(z_0))=\dfrac{1}{f^\prime(f^{-1}(w_0))}$$

Umkehrfunktionen in ℂ

Bemerkung: Komplexer Stetigkeitsbegriff

\(f\) heißt stetig in \(z_0\), wenn für jede Folge \((u)_n\rightarrow z_0\) gilt: $$\lim_{n\rightarrow\infty}{f((u)_n)=f(z_0)}$$ (wie in \(\mathbb{R}\) ohne Sprünge).

Definition: Kurvenintegral

Sei \(D\subset \mathbb{C}\) ein Gebiet und \(f:D\rightarrow\mathbb{C}\) eine stetige Funktion und \(\gamma:[a,b]\rightarrow D\) ein glatter Weg (d.h. \(\gamma\) ist stetig differenzierbar). Unter dem Kurvenintegral von \(f\) längs \(\gamma\) versteht man: $$\int\limits_{\gamma} f(z)\mathrm{d}z := \int\limits_{a}^{b} f(\gamma (t))\gamma^\prime (t)\mathrm{d}t$$ Für reelle Integrale ergibt sich der gewohnte Wert, denn sei \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\), \(\gamma(t)=a+t(b-a)\) und \(t\in[0,1]\). Dann gilt: $$\int\limits_{\gamma} f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{1}^{0} f(\gamma (t))\gamma^\prime (t)\mathrm{d}t=\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$$ weil allgemein $$\int\limits_{s}^{r} f(\varphi (t))\varphi^\prime (t)\mathrm{d}s=\int\limits_{\varphi(r)}^{\varphi(s)} f(x)\mathrm{d}x$$

Bemerkung: Additivität des Integrals

Seien \(f,g\) komplexe Funktionen und \(\alpha,\beta\in\mathbb{C}\). Dann gilt: $$\int\limits_{\gamma}\alpha f(z)+\beta g(z)\mathrm{d}z=\alpha\int\limits_{\gamma}f(z)\mathrm{d}z+\beta\int\limits_{\gamma}g(z)\mathrm{d}z$$

Bemerkung: Betrag komplexer Stammfunktionen

Sei \(D\subset\mathbb{C}\) ein Gebiet und \(\gamma:[a,b]\rightarrow D\) ein glatter Weg. Für eine stetige Funktion \(f:D\rightarrow\mathbb{C}\) gilt dann: $$\left|\int\limits_{\gamma}f(z)\mathrm{d}z\right|\leq \underbrace{L(\gamma)}_{Bogenlaenge}\max_{t\in[a,b]}|f(\gamma(t))|$$ denn es gilt: $$\left|\int\limits_{\gamma}f(z)\mathrm{d}z\right|=\left|\int\limits_{a}^{b}f(\gamma(t))\gamma^\prime(t)\mathrm{d}t\right|\leq \int\limits_{a}^{b}\left|f(\gamma(t))\right|\cdot \left|\gamma^\prime(t)\right|\mathrm{d}t\leq \max_{t\in[a,b]}|f(\gamma(t))|\cdot L(\gamma)$$

Satz: Bogenlänge komplexer Funktionen

Die Länge einer Kurve \(\gamma(t)\) auf dem Intervall \([a,b]\) wird wie folgt berechnet: $$L\left(\gamma\right) = \int\limits_{a}^{b}\left|\gamma^\prime\left(t\right)\right|$$

Fourier-Reihen

Die reelle Darstellung von Fourier-Reihen

Bemerkung: Periodizität

Jede periodische Funktion \(f\) mit Periode \(P\) lässt sich auf die Periode \(2\pi\) zurückführen, wenn man setzt: $$\tilde{f}(x)=f\left(x\cdot\dfrac{p}{2\pi}\right)$$ Es gilt dann: $$\tilde{f}(x+2\pi)=f\left((x+2\pi)\cdot\dfrac{p}{2\pi}\right)=f\left(x\cdot\dfrac{p}{2\pi}+p\right)=f\left(x\cdot\dfrac{p}{2\pi}\right)=\tilde{f}(x)$$

Problemstellung: Fourier-Reihe

$$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{a_n\cdot cos(nx)+b_n\cdot sin(nx)}$$ Fragen

  1. Ist eine solche Darstellung möglich?
  2. Wie berechnet man \(a_i\),\(b_i\)?

Satz: Orthogonalitätsrelationen für \(sin\) und \(cos\)

Die Länge einer Kurve \(\gamma(t)\) auf dem Intervall \([a,b]\) wird wie folgt berechnet:

  1. \(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\cdot \sin(kx)\mathrm{d}x=\begin{cases} 0 & \text{falls } n\neq k \\ \pi & \text{falls} n=k \\ \end{cases}\)
  2. \(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cdot \cos(kx)\mathrm{d}x=\begin{cases} 0 & \text{falls } n\neq k \\ \pi & \text{falls} n=k \\ \end{cases}\)
  3. \(\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\cdot \cos(kx)\mathrm{d}x=0, \forall n,k\in\mathbb{N}\)

Bemerkung: Verhalten von \(\sin(nx)\) und \(\cos(nx)\) für \(n\in\mathbb{N}\)

Wir betrachten die \(2\pi\)-periodischen Funktionen \(f(x)=cos(nx)\) und \(g(x)=sin(nx)\). Dann gilt:

  1. \(f(0) = \cos(n\cdot0)=1 \text{; }\forall n\in\mathbb{N}_0\)
  2. \(f(\pi) = \cos(n\cdot\pi)=(-1)^n \text{; }\forall n\in\mathbb{N}_0\)
  3. \(f(k\pi) = \cos(n\cdot k\pi)=(-1)^n \text{; }\forall n\in\mathbb{N}_0, k\in\mathbb{N}\)
  4. \(g(0) = \sin(n\cdot0)=0 \text{; }\forall n\in\mathbb{N}_0\)
  5. \(g(\pi) = \sin(n\cdot\pi)=0 \text{; }\forall n\in\mathbb{N}_0\)
  6. \(g(k\pi) = \sin(n\cdot k\pi)=0 \text{; }\forall n\in\mathbb{N}_0, k\in\mathbb{N}\)

Satz: Fourier-Koeffizienten

Besitzt eine \(2\pi\)-periodische Funktion die Darstellung $$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{a_n\cdot\cos(nx)+b_n\cdot\sin(nx)}$$ dann gilt:

  1. \(a_n=\dfrac{1}{\pi}\cdot\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot\cos(nx)\mathrm{d}x\\ n\in\mathbb{N}_0=0,1,2,3,...\)
  2. \(b_n=\dfrac{1}{\pi}\cdot\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot\sin(nx)\mathrm{d}x \\ n\in\mathbb{N}=1,2,3,...\)

Die Zahlen \(a_n,b_n\) heißen Fourier-Koeffizienten von \(f\).

Satz: Konvergenz der Fourier-Reihe

Ist \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) eine \(2\pi\)-periodische, stückweise glatte Funktion, so konvergiert ihre Fourier-Reihe punktweise gegen \(f\), d.h.: $$f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{a_n\cdot\cos(nx)+b_n\cdot\sin(nx)\\x\in\mathbb{R}}$$

Definition: Gerade und ungerade Funktionen

  1. Eine Funktion \(f(x)\) heißt gerade, falls \(f(x)=f(-x)\).
  2. Eine Funktion \(f(x)\) heißt ungerade, falls \(f(x)=-f(-x)\).

Ist \(f(x)\) eine

  1. gerade Funktion, dann gilt: \(\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x=2\cdot\int\limits_{0}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x\).
  2. ungerade Funktion, dann gilt: \(\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x=0\).

Satz: Fourier-Koeffizienten für gerade und ungerade Funktionen

  1. \(f\) gerade \(\begin{cases} f(x)\cdot\cos(nx) \text{ gerade} \Longrightarrow & a_n=\dfrac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}f(x)\cos(nx)\mathrm{d}x\\ f(x)\cdot\sin(nx) \text{ ungerade} \Longrightarrow & b_n=0, \forall n \\ \end{cases}\)
  2. \(f\) ungerade \(\begin{cases} f(x)\cdot\cos(nx) \text{ ungerade} \Longrightarrow & a_n=0, \forall n\\ f(x)\cdot\sin(nx) \text{ gerade} \Longrightarrow & b_n=\dfrac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}f(x)\sin(nx)\mathrm{d}x \\ \end{cases}\)

Für \(f\) gerade lässt sich \(a_0\) durch $$a_0=\dfrac{1}{\pi}\cdot\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x$$ berechnen.

Satz: Fourier-Transformierte nicht \(2\pi-\)periodischer Funktionen

$$a_0=\dfrac{2}{T}\cdot\int\limits_{(T)}y(t)\mathrm{d}t$$ $$a_n=\dfrac{2}{T}\cdot\int\limits_{(T)}y(t)\cdot\cos(n\omega_0t)\mathrm{d}t$$ $$b_n=\dfrac{2}{T}\cdot\int\limits_{(T)}y(t)\cdot\sin(n\omega_0t)\mathrm{d}t$$ mit \(n\in\mathbb{N}_0\)

Bemerkung: Grenzwert der Fourierkoeffizienten

Die Fourierkoeffizienten einer stückweise glatten, \(2\pi\)-periodischen Funktion streben gegen \(0\), d.h.: $$\lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=0 = \lim_{n\rightarrow\infty}{b_n}$$

Die komplexe Darstellung von Fourier-Reihen

Satz: Umwandlung zwischen komplexer und reeller Fourierreihendarstellung

Die Fourierreihe einer stückweise glatten, \(2\pi\)-periodischen Funktion \(f(x)\) besitzt die Darstellungen

  1. \(f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{a_n\cdot\cos(nx)+b_n\cdot\sin(nx)}\)
  2. \(f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n\cdot e^{inx}}\)

Es gelten dabei die Umformungsregeln:

  1. \(c_n=\dfrac{1}{2}\cdot(a_n-b_ni)\)
  2. \(c_0=\dfrac{a_0}{2}\)
  3. \(c_{-n}=\dfrac{1}{2}\cdot(a_n+b_ni)\)
  4. \(a_n=c_n+c_{-n} \text{; }n\geq1\)
  5. \(a_0=2c_0\)
  6. \(b_n=i\cdot(c_n-c_{-n})\)

Insbesondere gilt: \(c_{-n}=\overline{c_n}\)

Satz: Form der komplexen Fourier-Koeffizienten

Für die komplexen Fourier-Koeffizienten \(c_n\) einer stückweise glatten, \(2\pi\)-periodischen Funktion \(f\) gilt: $$c_n=\dfrac{1}{2\pi}\cdot\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot e^{-inx}\mathrm{d}x$$ Für diese Fourier-Koeffizienten \(c_n\) verwendet man auch die Schreibweise \(\widehat{f}(n)\). Liegt eine nicht \(2\pi-\)periodische Funktion vor, so gilt: $$c_n=\dfrac{1}{T}\cdot\int\limits_{0}^{T}y(t)\cdot e^{-in\omega_0t}\mathrm{d}t$$

Satz: Eindeutigkeit der Fourier-Koeffizienten

Die Fourier-Koeffizienten einer stückweise glatten, \(2\pi\)-periodischen Funktion sind nicht eindeutig bestimmt. Weder in der reellen, noch in der komplexen Darstellung.

Das Faltungsprodukt für periodische Funktionen

Definition: Faltung

Seien \(f,g\) stückweise glatte, \(2\pi\)-periodische Funktionen. Man definiert $$f*g(x):=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x-t)\cdot g(x)\mathrm{d}t$$ die Funktion \(f*g\) heißt Faltung der Funktionen \(f\) und \(g\).

Satz: Eigenschaften der Faltung

Seien \(f,g,h\) \(2\pi\)-periodische, stückweise glatte Funktionen. Sei weiterhin \(\lambda\in\mathbb{R}\). Dann gilt:

  1. \(f*g=g*f\)
  2. \(\lambda f*g=f*\lambda g = \lambda(f*g)\)
  3. \((f+g)*h=f*h+g*h\)

Satz: Eigenschaften der Fouriertransformation

Seien \(f,g\) \(2\pi\)-periodische, stückweise glatte Funktionen. Sei weiterhin \(\lambda\in\mathbb{R}\). Dann gilt:

  1. \(\widehat{f+g}(n)=\widehat{f}(n)+\widehat{g}(n)\)
  2. \(\widehat{\lambda f}(n)=\lambda\widehat{f}(n)\)
  3. \(\widehat{f\cdot g}(n)=\widehat{f}(n)\cdot \widehat{g}(n)\)
  4. \(\widehat{f_a}(n)=e^{ina}\widehat{f}(n)\), wobei \(f_a(x)=f(x+a)\) die um die Phase \(a\) verschobene Funktion \(f\) bezeichne.

Fourier-Transformation

Allgemein

Ansatz: Ansatz für die Fourier-Transformation

$$\widehat{f}(s)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\cdot e^{-isx}\mathrm{d}x; \text{ } s\in\mathbb{R}$$ Fragen

  1. Für welche Funktionen \(f(x)\) ist die Fourier-Transformation sinnvoll?
  2. Gilt wieder \(f(x)=\sum_{s\in\mathbb{R}}{\widehat{f}(s)e^{isx}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\widehat{f}(s)\cdot e^{isx}}\)

Definition: Absolute Integrierbarkeit

Eine Funktion \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) heißt absolut integrierbar, wenn das uneigentliche Integral $$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\left|f(x)\right|\mathrm{d}x$$ existiert. Jede abgeschnittene Funktion ist absolut integrierbar.

Definition: Fourier-Transformierte

Sei \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) stückweise glatt und absolut integrierbar. Dann existiert das uneigentliche Integral $$\widehat{f}(s)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\cdot e^{-isx}\mathrm{d}x$$ für jedes \(s\in\mathbb{R}\) (beachte \(\left|f(x)\cdot e^{-isx}\right|=\left|f(x)\right|\)). \(\widehat{f}\) heißt Fourier-Transformierte von \(f\) (oder auch Spektralfunktion von \(f\)).

Sei \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) stückweise glatt und absolut integrierbar. Dann gilt: $$f(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\widehat{f}(s)\cdot e^{isx}\mathrm{d}s$$ für jeden Stetigkeitspuntk von \(f\). Ist \(x_0\) eine Sprungstelle von \(f\), so gilt: $$f(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\widehat{f}(s)\cdot e^{isx}\mathrm{d}s=\dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$$ Das Integral \(f(x)\) ist stets durch $$\int\limits_{-\infty}^{\infty}... = \lim_{A\rightarrow\infty}\int\limits_{-A}^{A} ...$$ zu berechnen (gleichmächtiges Ausdehnen nach \(-\infty\) und \(+\infty\)).

Bemerkung: Gestalt der Fourier-Transformierten

Periodische Funktionen haben Fourier-Koeffizienten \(c_n\)

  1. diskretes Spektrum
  2. nur ganzzahlige Frequenzen, falls Periode \(2\pi\) ist

Nicht periodische Funktionen haben Funktion als Fourier-Transformierte

  1. kontinuierliches Spektrum
  2. alle Frequenzen treten auf

Satz: Eindeutigkeitssatz

Seien \(f,g\) stückweise glatt und absolut integrierbar. Dann gilt: Ist \(\widehat{f}(s)=\widehat{g}(s)\) für alle \(s\in\mathbb{R}\), so ist \(f=g\) in allen gemeinsamen Stetigkeitspunkten von \(f\) und \(g\) und umgekehrt: Ist \(f\neq g\), so ist \(\widehat{f}\neq \widehat{g}\)

Die Fourier-Transformation für Ableitungen

Satz: Fourier-Transformation für Ableitungen

Sei \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) stetig und stückweise stetig differenzierbar. Ferner seien \(f\) und \(f^\prime\) absolut integrierbar (d.h. \(\int\left|f\right|<\infty\) und \(\int\left|f^\prime\right|<\infty\)). Dann gilt: $$\widehat{f^\prime}(s)=is\widehat{f}(s)$$ mit \(s\in\mathbb{R}\).

Satz: Fourier-Transformation für r-te Ableitungen

Sei \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} (r-1)-\)mal stetig differenzierbar und \(f^{(r-1)}\) stückweise stetig differenzierbar. Ferner seien \(f,f^\prime,...,f^{(r)}\) absolut integrierbar. Dann gilt: $$\widehat{f^{(r)}}(s)=(is)^r\widehat{f}(s)$$ mit \(s\in\mathbb{R}\).

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