INT04: Partielle Integration

Partielle Integration

Nachdem wir nun einige Integrationsregeln kennen gelernt haben, wurde versprochen, sich genauer mit der partiellen Integration auseinanderzusetzen.


\( \int f(x) \cdot g'(x) \; dx = \left[f(x) \cdot g(x) \right] - \int f'(x) \cdot g(x) \; dx \)


Die partielle Integration ist dabei die Umkehrung der Produktregel der Ableitung und gliedert sich in mehrere Schritte.

Hat man ein Produkt gegeben, welches zu integrieren ist, nimmt man sich die einzelnen Faktoren und bestimmt einen als f(x) und einen als g’(x). Die Wahl beeinflusst die Handhabung der Faktoren, denn wie oben auf der rechten Seite zu sehen ist, braucht man neben dem gewählten f(x) auch f’(x), welches deshalb in einer Nebenrechnung abgeleitet werden muss, während neben dem gewählten g’(x) auch ein g(x) benötigt wird, also dieser Faktor integriert werden muss.

Bevor wir uns ein paar Beispielen zuwenden seien gleich ein paar Tipps mit auf den Weg gegeben:

  • Es ist zumeist einfacher eine Potenz (Faktoren der Gestalt \( x^n \)) abzuleiten als zu integrieren. Es kann sogar dazu führen, dass die partielle Integration ins Leere läuft, geht man es andersherum an. Als Faustregel: Potenzen werden abgeleitet.

  • Dasselbe gilt für Faktoren wir ln(x), die sich nur schwer integrieren lassen und besser abgeleitet werden.

  • Teils muss zweimal partiell integriert werden und/oder gar umsortiert. Sollte aber nach der zweiten partiellen Integration kein Ziel in Sicht sein, so sollte man f(x) und g’(x) vertauschen.

  • Tipp für Klausuren: Ist die partielle Integration bei nur einem Term gefragt, so kann der Faktor 1 hinzugefügt werden. Das wird später am Paradebeispiel ln(x) gezeigt.

Beispiele zur Anwendung der partiellen Integration

Gewöhnliche partielle Integration

Als gewöhnliches Integral, welches partielle integriert werden soll, ziehen wir uns einmal die Funktion \( h(x) = x\cdot\cos(x) \) heran. Es ist nun an uns die obige Formel heranzuholen und f(x) sowie g’(x) geschickt zu wählen.


\( \int f(x) \cdot g'(x) \;dx = \left[f(x) \cdot g(x) \right] - \int f'(x) \cdot g(x) \;dx \)


Wenn wir uns an die Faustregel erinnern, so sollte man f(x) = x wählen. Tun wir das bleibt g’(x) = cos(x).


\( f(x) = x\quad \to \quad f'(x) =1\\ \)

\( g'(x) = \cos(x) \quad \to \quad g(x) = \sin(x) \)


Damit nun in die obige Formel:

\( \int f(x) \cdot g'(x) \;dx = \left[f(x) \cdot g(x) \right] - \int f'(x) \cdot g(x) \;dx \)

\( \int x\cdot \cos(x) \;dx = \left[x\cdot \sin(x) \right] - \int 1 \cdot \sin(x) \;dx \)


Nun muss nur noch der letzte Summand integriert werden. Wobei die Integration von sin(x) kein Problem darstellt. Es ergibt sich also:

\( \int x\cdot \cos(x) \;dx = \left[x\cdot \sin(x) \right] - \int \sin(x) \;dx \)

\( \int x\cdot \cos(x) \;dx = \left[x\cdot \sin(x) - (-\cos(x)) \right] \)

\( \int x\cdot \cos(x) \;dx = \left[x\cdot \sin(x) +\cos(x) \right] \)


Hinweis: Sobald man den letzten Summanden integriert hat, kann man ihn in die eckige Klammer schreiben. Erinnert euch, dass man auch die eckige Klammer weglassen kann und stattdessen ein +c schreibt.

Zusatz: Integration läuft ins Leere

Es wurde vorher erwähnt, dass die partielle Integration bei der falschen Wahl ins Leere laufen kann. Das sei hier mal gezeigt.


\( \int f(x) \cdot g'(x) \;dx = \left[f(x) \cdot g(x) \right] - \int f'(x) \cdot g(x) \;dx \)


Wenn wir uns an die Faustregel erinnern, so sollte man f(x) = x wählen. Nehmen wir aber nun absichtlich mal g’(x) = x.


\( f(x) = \cos(x) \quad \to \quad f'(x) =-\sin(x) \)

\( g'(x) = x \quad \to \quad g(x) = \frac12x^2 \)


Damit nun in die obige Formel:

\( \int f(x) \cdot g'(x) \;dx = \left[\cos(x) \cdot \frac12x^2\right] - \int (-\sin(x)) \cdot \frac12x^2\;dx \)


Schon der erste Summand sieht deutlich komplizierter aus als oben, doch wäre dieser erledigt und stellt kein Problem dar. Hingegen ist das hintere Integral noch zu lösen, wo wir wiederum ein Produkt vorliegen haben. Aber auch eine weitere partielle Integration führt hier nicht zum Ziel (bei erneuter Wahl der Potenz als g’(x)) und die Integration läuft ins Leere.

Einfügen eines weiteren Faktors

Wie oben angekündigt, ist es manchmal sinnvoll einen weiteren Faktor hinzuzufügen. Das Paradebeispiel dafür ist die Integration von ln(x).


\( \int \ln(x) \;dx = \int 1\cdot\ln(x) \;dx \)

Nun können wir f(x) und g’(x) wählen. Da f(x) = 1 keinen Sinn macht, wählen wir g’(x) = 1.


\( f(x) = \ln(x) \quad \to \quad f'(x) = \frac1x \)

\( g'(x) = 1 \quad \to \quad g(x) = x \)


Mit dieser Nebenrechnung müssen wir nun noch in die zu Beginn genannte Formel.

\( \int f(x) \cdot g'(x) \;dx = \left[f(x) \cdot g(x) \right] - \int f'(x) \cdot g(x) \;dx \)

\( \int \ln(x) \cdot1\;dx = \left[\ln(x) \cdot x \right] - \int \frac1x \cdot x \;dx \)


Nun kann man den letzten Summanden noch zu 1 vereinfachen und simpel integrieren. Der erste Summand ist ja bereits integriert. Am Ende noch zusammenfassen und fertig.


\( \int \ln(x) \cdot1\;dx = \left[\ln(x) \cdot x\right] - \int 1 \;dx \)

\( \int \ln(x) \cdot1\;dx = \left[\ln(x) \cdot x - x\right] = \left[x\cdot\left(\ln(x)-1\right) \right] \)


Umsortierung

Widmen wir uns noch dem Beispiel einer Integration zu, bei der wir umformen müssen. Die Beispielfunktion sei \( h(x) = \cos^2(x) \).


Um unsere Formel anwenden zu können, müssen wir h(x) zuerst in ein Produkt umschreiben. Dann können wir loslegen.

\( \cos^2(x) = \cos(x) \cdot \cos(x) \)


\( f(x) = \cos(x) \quad \to \quad f'(x) = -\sin(x) \)

\( g'(x) = \cos(x) \quad \to \quad g(x) = \sin(x) \)


\( \int f(x) \cdot g'(x) \;dx = \left[f(x) \cdot g(x) \right] - \int f'(x) \cdot g(x) \;dx \)

\( \int \cos(x) \cdot \cos(x) \;dx = \left[\cos(x) \cdot \sin(x) \right] - \int (-\sin(x)) \cdot \sin(x) \;dx \)


Nun haben wir im letzten Summanden wieder ein Produkt stehen. Dank dem trigonometrischen Pythagoras wissen wir allerdings, dass \( \sin^2(x) = 1-\cos^2(x) \) ist.


\( \int \cos(x) \cdot \cos(x) \;dx = \left[\cos(x) \cdot \sin(x) \right] - \int (-\sin(x)) \cdot \sin(x) \;dx \)

\( \int \cos(x) \cdot \cos(x) \;dx = \left[\cos(x) \cdot \sin(x) \right] + \int \sin(x) \cdot \sin(x) \;dx \)

\( \int \cos(x) \cdot \cos(x) \;dx = \left[\cos(x) \cdot \sin(x) \right] + \int (1-\cos^2(x)) \;dx \)

\( \int \cos(x) \cdot \cos(x) \;dx = \left[\cos(x) \cdot \sin(x) \right] + \int 1 \;dx - \int \cos^2(x) \;dx \)


Das Integral mit 1 zu integrieren, stellt keine Herausforderung dar. Doch haben wir erneut ein Integral, welches dem ursprünglichen Integral gleicht. Um nicht erneut die partielle Integration anzusetzen und sich in einer Schleife zu fangen, bringen wir das Integral der rechten Seite nach links. Sind ja beide identisch und wir erhalten zweimal das ursprüngliche Integral.


\( 2\cdot\int \cos(x) \cdot \cos(x) \;dx = \left[\cos(x) \cdot \sin(x) \right] + \left[x\right] \)


Rechts haben wir nun kein Integral mehr. Links das ursprüngliche Integral doppelt. Dividieren wir durch den Faktor 2 und wir sind am Ziel angelangt.


\( \int \cos(x) \cdot \cos(x) \;dx = \frac12\cdot\left(\left[\cos(x) \cdot \sin(x) \right] + \left[x\right] \right) \)

\( \int \cos(x) \cdot \cos(x) \;dx = \frac12\cdot\left[\cos(x) \cdot \sin(x)+x\right] \)

Doppelte Integration

Zuletzt schauen wir uns noch ein Beispiel an, bei dem die doppelte Integration eine Rolle spielt. Das zu bestimmende Integral sei von der Funktion \( h(x) = x^2\cdot \cos(x) \).


Direkt zur Sache:

\( f(x) = x^2\quad \to \quad f'(x) = 2x \)

\( g'(x) = \cos(x) \quad \to \quad g(x) = \sin(x) \)


\( \int f(x) \cdot g'(x) \;dx = \left[f(x) \cdot g(x) \right] - \int f'(x) \cdot g(x) \;dx \)

\( \int x^2\cdot \cos(x) \;dx = \left[x^2\cdot \sin(x) \right] - \int (2x\cdot \sin(x) \;dx \)


Nun haben wir mit dem letzten Summanden weiterhin ein Produkt, welches zu integrieren ist. Tun wir das also. Dabei konzentrieren wir uns für diesen Schritt ausschließlich auf den letzten Summanden.


\( f(x) = 2x\quad \to \quad f'(x) = 2 \)

\( g'(x) = \sin(x) \quad \to \quad g(x) = -\cos(x) \)


\( \int f(x) \cdot g'(x) \;dx = \left[f(x) \cdot g(x) \right] - \int f'(x) \cdot g(x) \;dx \)

\( \int 2x\cdot \sin(x) \;dx = \left[2x\cdot (-cos(x)) \right] - \int 2\cdot (-\cos(x)) \;dx \)

Nun wieder in das ursprüngliche Problem:

\( \int x^2\cdot \cos(x) \;dx = \left[x^2\cdot \sin(x) \right] - \int (2x\cdot \sin(x) \;dx \)

\( \int x^2 \cdot \cos(x) \; dx = \left[x^2 \cdot \sin(x) \right] - \left[ 2x \cdot (-cos(x)) \right] - \int 2 \cdot (-\cos(x)) \; dx \)


Aufgelöst. Insbesondere die Rechenzeichen verrechnet.

\( \int x^2 \cos(x) \; dx = \left[ x^2 \sin(x) \right] + \left [2x \cdot \cos(x) \right] + \int 2 \cdot \cos(x) \; dx \)


Nun muss nur noch der letzte Summand integriert werden, was aber kein Problem darstellt:


\( \int x^2\cdot \cos(x) \;dx = \left[x^2\cdot \sin(x) + 2x\cdot cos(x) - 2\cdot \sin(x) \right] \)

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