Wissen: Integration mittels Substitution

Einführung: Integration mittels Substitution

Nachdem wir wesentliche Integrationsregeln kennen gelernt haben, betrachten wir uns als nächstes die Integration mittels Substitution. Erinnern wir uns an die Kettenregel, so wird das Prinzip der Substitution schnell klar, denn es handelt sich um das Gegenstück der Kettenregel. Das ist auch ein hilfreicher Tipp, wenn sich die Fragestellung auftut, ob die Substitution Anwendung findet oder nicht. Würde man bei der Ableitung einer Funktion die Kettenregel verwenden, wird zum Integrieren oft die Substitution verwendet.

Liegt eine Funktion in der Form f(g(t)) · g’(t) vor, nutzt man die Substitution. Dabei wollen wir dieses Integral auf ein möglichst einfaches bzw. bekanntes Integral zurückführen um dann dieses zu errechnen und durch Rücksubstitution das eigentliche Integral zu berechnen. Dabei wird das g(t) durch z ersetzt.

\( \int f(g(t))\cdot g'(t)\; dt = \int f(z)\cdot g'(t) \; dt \)

Damit alleine ist es aber nicht getan. Nun haben wir ja noch das Differential dt, sowie auch noch g’(t). Das würde bedeuten, wir müssten das Integral weiterhin nach t integrieren, haben aber noch ein \( z \) mit dabei. Dies muss also auch ersetzt werden. Dazu wird ein jedes Mal eine Nebenrechnung gemacht. Dabei wird z = g(t) gesetzt, die eigentliche Substitution (aus dem Lateinischen “Ersetzen”) und davon die Ableitung gebildet (Anmerkung: Ist nicht 100% mathematisch korrekt, wird aber - abgesehen von den Mathematikern - überall so verwendet, weswegen wir auch nicht weiter ins Detail gehen).

Nebenrechnung:

z = g(t) (Ableitung nach t)

z’ = g’(t)

Nun wird das z’ meist als dz/dt geschrieben (eine andere Schreibweise für die Ableitung (nach t)), weswegen man hat:

dz/dt = g’(t)

dz = g’(t) dt

Nun wird dies nach dt umgeformt um das Differential in der eigentlichen Ableitung zu ersetzen.

dt = dt/g’(t)

Damit wieder in das Integral:

\( \int f(g(t)) \cdot g'(t) \;dt = \int f(z) \cdot g'(t) \;dt = \int f(z) \cdot g'(t) \;\frac{dz}{g'(t)} = \int f(z) \; dz \)

Das Integral ist nun stark vereinfacht und kann berechnet werden. Da wir nun nach z integrieren, ist das mit unserem Ursprungsintegral nicht mehr identisch und es muss am Ende resubstituiert werden. Sprich man hat das z wieder durch g(t) zu ersetzen.

Soweit zur Theorie. Schauen wir uns das in einem Beispiel an und sehen, dass die Praxis deutlich einfacher ist als die Theorie.

Beispielrechnung

Nehmen wir uns das Integral \( \int e^{4x} \;dx \) zur Hand und berechnen dies mittels der Substitution. Dabei setzen wir voraus, dass die Integration von \( e^x \) kein Problem darstellt - immerhin ergibt das ja direkt wieder die e-Funktion.

Problem:

\( \int e^{4x} \; dx \)

1. Schritt: Identifizierung des Substituenten -> \( 4x = z \)

2. Schritt: Nebenrechnung

4x = z (Es werden beide Seiten nach x abgeleitet)

4 = dz/dx Nach dx auflösen

dx = dz/4

3. Schritt: Eigentliche Substitution

\( \int e^{4x} \; dx= \int e^{z} \;\frac{dz}{4} \)

4. Schritt: Integration durchführen (Bei uns kann man ja \( \frac14 \) vor das Integral ziehen)

\( \frac14\int e^{z} \; dz = \frac14 e^z + c \)

5. Schritt: Resubstitution (Wieder z = 4x einsetzen)

\( \frac14e^{4x} + c \)

Mit fünf Schritten ist es bei der Substitution also meist getan.

Abhängigkeit des Integrals

Noch ein wichtiger Hinweis: Ist die Substitution vollbracht, muss das neue Integral einzig von z abhängen. Ist weiterhin ein x im Integral zu finden, so ist die Substitution nicht vollständig oder unsinnig. Im letzteren Fall müssen wir entweder eine andere Substitution wählen oder gar das Mittel ändern und beispielsweise mit der partiellen Integration herangehen. Im ersteren Fall muss man eventuelle noch vorhandene x weiter ersetzen. Das schauen wir uns an einem Beispiel an, damit das klar ist.

Problem:

\( \int x\cdot\sqrt{x+1}^5 \; dx \)

1. Schritt: Identifizierung des Substituenten -> \( \sqrt{x+1} = z \)

2. Schritt: Nebenrechnung

\( \sqrt{x+1} = z \) (Es werden beide Seiten nach x abgeleitet)

\( \frac12\frac{1}{\sqrt{x+1}} = dz/dx \) Nach dx auflösen

\( dx = 2\cdot\sqrt{x+1}\;dz \)

3. Schritt: Eigentliche Substitution

\( \int x\cdot\sqrt{x+1}^5 \; dx= \int x\cdot z^5 \; 2\sqrt{x+1}dz \)

Nun sind wir mit Schritt 3 noch nicht fertig. Wir haben noch x’en im Integral. Hinterer Teil ist schnell erledigt. Die Wurzel kann direkt wieder durch z ersetzt werden. Das x stellt allerdings ein Problem dar. Doch wissen wir:

\( z = \sqrt{x+1} \) Quadrieren

\( z^2 = x+1 \) Nach x auflösen

\( x = z^2-1 \)

Damit ergibt sich nun für oben:

\( \int (z^2-1)\cdot z^5 \cdot2\cdot z \; dz \)

4. Schritt: Integration durchführen (Die 2 ziehen wir vor das Integral)

\( \int(z^2-1)\cdot z^5\cdot 2 \cdot z \; dz = 2\int (z^8-z^6)\; dz \)

\( =2 \left( \int z^8 \; dz - \int z^6 \; dz\right) = \frac29z^9 - \frac27z^7 + c \)

5. Schritt: Resubstitution (Wieder \( z = \sqrt{x+1} \) einsetzen)

\( \frac29z^9 - \frac27z^7 + c = \frac{2}{9}\sqrt{x+1}^9 - \frac27\sqrt{x+1}^7 + c \)

So sind wir also dem Integral beigekommen, indem wir ein paar x-en zusätzlich durch z ersetzen mussten.

Hinweis: Man hätte dem Integral insgesamt leichter bekommen können, hätte man sich mit der Substitution u = x+1 begnügt. Der Aha-Effekt wäre aber nicht der gleiche gewesen. Für die Leute mit Ehrgeiz: Probierts mal selbst. Das Ergebnis ist dasselbe!

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