Wissen: Irrationale Zahlen, Reelle Zahlen

Was sind Rationale Zahlen?

Erinnern wir uns, was die Merkmale rationaler Zahlen sind:

1. sind als Bruch darstellbar (z. B. 1 = \( \frac{1}{1} \) oder 0,5 = \( \frac{1}{2} \) oder 3,25 = \( \frac{13}{4} \))
2. haben keine Nachkommastellen (Beispiel: 2 = \( \frac{2}{1} \)), endlich viele Nachkommastellen (Beispiel: 1,5 = \( \frac{3}{2} \)) oder unendlich viele Nachkommastellen (Beispiel \( \frac{1}{3} \) = 0,3333… = 0,3)
3. Wenn die Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat, sind die Nachkommastellen periodisch.

Merke: Eine rationale Zahl ist entweder abbrechend oder periodisch. Weitere Informationen hier: Brüche / Rationale Zahlen.

Stellen wir den rationalen Zahlen nun die irrationalen Zahlen gegenüber:

Was sind Irrationale Zahlen?

Gehen wir über zu den Irrationalen Zahlen, diese:

1. sind nicht als Bruch darstellbar
2. haben unendlich viele Nachkommastellen
3. haben Nachkommastellen, die nicht periodisch sind.

Man stößt auf die Irrationalen Zahlen insbesondere beim Wurzelziehen. Viele Wurzelwerte sind nicht ganzzahlig, zum Beispiel:

√1 = 1
√2 = 1,41421356237309505…
√3 = 1,73205080756887729…
√4 = 2
√5 = 2,2360679774997897…
√6 = 2,4494897427831781…
√7 = 2,64575131106459059…

Beispiele für Irrationale Zahlen

- √2 mit 1,41421356…
- Kreiszahl π (Pi) mit 3,14159265…
- Eulersche Zahl e mit 2,71828182…

Herleitung der Irrationale Zahlen (Nachweis)

Wie stoßen wir auf die irrationalen Zahlen? Sie sind offensichtlich Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können. So macht es also Sinn nachzuweisen, dass bestimmte Zahlen nicht als Bruch schreibbar sind. Nehmen wir ein Beispiel:

Ist die Wurzel aus 2 eine rationale Zahl?

Prüfen wir, ob \( \sqrt{2} = \frac{a}{b} \) gilt.

1. Wir legen fest, dass \( \frac{a}{b} \) ein vollständig gekürzter Bruch ist sowie a und b ganze Zahlen.

2. Damit gilt, dass a und b teilerfremd sind. Sie haben keine gemeinsamen Teiler (z. B. \( \frac{2}{5} \) hat keine gemeinsamen Teiler, hingegen \( \frac{8}{10} \) hat den gemeinsamen Teiler 2).

3. Die Gleichung \( \sqrt{2} = \frac{a}{b} \) können wir quadrieren und umstellen:

\( \sqrt{2} = \frac{a}{b} \quad | ()^2 \\ 2 = \frac{a^2}{b^2} \quad | ·b^2 \\ 2·b^2 = a^2 \)

4. Schlussfolgerung: \( a^2 = 2·b^2 \) besagt, dass a² den Teiler 2 hat.

5. Wenn a² gerade ist (also :2 teilbar), dann ist auch a gerade (siehe unten warum). Wir können festhalten: a = 2·k.

6. Setzen wir a = 2·k ein:

\( 2·b^2 = a^2 \quad | a = 2·k \\ 2·b^2 = (2·k)^2 \\ 2·b^2 = 4·k^2 \\ b^2 = 2·k^2 \)

7. Schlussfolgerung: \( b^2 = 2·k^2 \) besagt, dass b² den Teiler 2 hat.

8. Wenn b² gerade ist (also :2 teilbar), dann ist auch b gerade. Wir können festhalten: b = 2·n.

9. Unsere Annahme bei (2.) besagte, dass "a und b teilerfremd sind". Aus a = 2·k und b = 2·n zeigt sich, dass a und b den Teiler 2 haben. → Hier ergibt sich ein Widerspruch!

9. Schlussfolgerung: \( \sqrt{2} \neq \frac{a}{b} \). In Worten: √2 kann nicht als Bruch dargestellt werden. √2 ist keine rationale Zahl.

Was sind Reelle Zahlen?

In der Schule schreibt ihr häufig, wenn ihr eine Lösung für eine Aufgabe mit einer Unbekannten x gefunden habt:

x ∈ ℝ

Damit gebt ihr an, dass sich die Lösung in der Menge aller Reeller Zahlen befindet (x ist Element aus ℝ).

Das ℝ ist das Zeichen für die Reellen Zahlen. Sie ergeben sich aus den Rationalen Zahlen und den Irrationalen Zahlen. In der Mengenlehre schreibt man (anstatt Plus ein gebogenes Zeichen):

ℝ = ℚ ∪ I

Reelle Zahlen = Rationale Zahlen + Irrationale Zahlen

Die Reellen Zahlen umfassen alle Zahlen, die ihr auf einem Zahlenstrahl finden bzw. eintragen könnt.

Übersicht der Zahlenmengen

Nun sollten die Zahlenmengen kein Problem mehr für euch sein, hier die Übersicht:

ℕ - Natürliche Zahlen
ℤ - Ganze Zahlen
ℚ - Rationale Zahlen (Bruchzahlen)
I - Irrationale Zahlen
ℝ - Reelle Zahlen

Grafik zu den Zahlenmengen

Zahlenmengen Übersicht

Der Nachweis der Irrationalen Zahlen ist übrigens ein zahlentheoretischer Beweis, der indirekt durch Widerspruch geführt wird. Er wurde von dem griechischen Mathematiker Euklid überliefert. Indirekte Beweisführung meint hierbei, dass die Annahme des Gegenteils (dass die Wurzel aus 2 als Bruch a/b darstellbar sei) zu einem Widerspruch führt.

Beweis: Wenn a gerade ist, ist auch a² gerade

Wir zeigen im Video (ca. 6. Minute), dass wenn eine gerade Zahl z quadriert wird, die entstehende Quadratzahl z² wieder gerade ist. Danach sagen wir, dass man aus einer geraden Quadratzahl z² schlussfolgern kann, dass z gerade ist. Diese Umkehrung der Aussage ist für diesen Fall stimmig, aber kein Beweis. Wer einen Beweis aufstellen möchte, der muss hier zusätzlich nachweisen, dass ein ungerades z ins Quadrat nur ungerade sein kann. Der vollständige Beweis sieht wie folgt aus:

Zuerst stellen wir die Annahme auf: Wenn a² gerade ist, ist auch a gerade. Dann erfolgt der Nachweis in drei Schritten:

I. Jede gerade Zahl kann dargestellt werden mit einer anderen Zahl als 2·k

WENN a gerade ist (a = 2·k) und man a quadriert gilt:
a² = (2·k)²
a² = 2·2·k·k
a² = (2k²)

a² ist also auch gerade.

Fazit: Eine gerade Zahl ins Quadrat ergibt eine gerade Zahl.

II. Jede ungerade Zahl kann dargestellt werden mit 2·k+1

WENN a ungerade ist (a = 2·k+1) und man a quadriert gilt:
a² = (2k+1)²
a² = 4k²+4k+1
a² = 2·(2k²+2k)+1

Das heißt der Term 2·(2k²+2k) ist zwar gerade, da er durch 2 teilbar ist, doch durch die +1 wird er ungerade. Siehe auch Teilbarkeit.

Fazit: Eine ungerade Zahl ins Quadrat ergibt eine ungerade Zahl.

III. Nun folgt eine Schlussfolgerung, eine sogenannte "äquivalente Implikation" mit: "Wenn Aussage A, dann Aussage B." und "Wenn Aussage B, dann auch Aussage A.":

(A ⇒ B) ^ (B ⇒ A) bzw. A ⇔ B

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