Wissen: Kommutativgesetz + Assoziativgesetz

Kommutativgesetz

Kommutativ meint das Vertauschen der einzelnen Zahlen. Das Rechengesetz gilt für Addition und Multiplikation, jedoch nicht für Subtraktion und Division.

Wir nutzen im Folgenden Variablen zur Darstellung der Gesetze. Variablen sind Buchstaben, die anstelle von Zahlen stehen. Wenn wir 3 + 5 = 8 haben, können wir dies mit Variablen schreiben als: a + b = c. Wir wissen dann, dass a=3 und b=5 und c=8.

Bei a + b = c können wir beliebige Zahlen einsetzen, zum Beispiel a=2 und b=4 und damit ergibt sich c=6, also 2 + 4 = 6.

Man nutzt Variablen also, um einen Sachverhalt allgemein darzustellen. Genau dies machen wir hier (ihr könnt euch für a und b jeweils zwei Zahlen wählen und das Rechengesetz so testen):

Für die Addition: a + b = b + a

Für die Multiplikation: a · b = b · a

Grafische Darstellung vom Kommutativgesetz

Kommutativgesetz der Addition grafisch
Kommutativgesetz der Multiplikation grafisch

Kommutativgesetz in der Sprache

Das Kommutativgesetz findet man übrigens auch in den Sprachen wieder. Auf Deutsch sprechen wir zum Beispiel die Zahl 49 als "neun und vierzig". Mathematisch geschrieben ist das: 9 und 40, also 9 + 40. Auf Englisch spricht man hingegen die Zahl 49 als "forty-nine", also 40 + 9. Wie wir sehen, wurde hier das Kommutativgesetz "angewendet".

Kommutativgesetz für Multiplikation (via Addition)

Ein anschauliches Beispiel, das zeigt, dass das Kommutativgesetz auch für die Multiplikation gilt, also a·b = b·a. Wir zerlegen hierzu die Zahlen in kleinere Zahlen und verwenden das Kommutativgesetz der Addition:

= 3 · 4
= 4 + 4 + 4
= (3+1) + (3+1) + (3+1)
= 3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1
= 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1
= 3 + 3 + 3 + 3
= 4 · 3

Kommutativgesetz mit drei Variablen

Addition:
a + b + c =
a + c + b =
b + a + c =
b + c + a =
c + a + b =
c + b + a

Multiplikation:
a · b · c =
a · c · b =
b · a · c =
b · c · a =
c · a · b =
c · b · a

Assoziativgesetz

Assoziativ meint das beliebige Verknüpfen (Zusammenrechnen) von Zahlen. Das Rechengesetz gilt für Addition und Multiplikation, jedoch nicht für Subtraktion und Division.

Für die Addition: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

Für die Multiplikation: a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)

Grafische Darstellung vom Assoziativgesetz

Assoziativgesetz grafisch

Assoziativgesetz bei Mehrfachdivision

a:b:c:d ← nicht assoziativ, nicht kommutativ, einzeln von links nach rechts rechnen! Also damit ((a:b):c):d

Oder die Multiplikation mit Brüchen schaffen: a:b:c:d = \( a · \frac{1}{b} · \frac{1}{c} · \frac{1}{d} \)

Interessant ist dabei auch, dass a:b:c = a:(b·c) bzw. a:b:c:d = a:(b·c·d)

Klammern entfernen

Sofern wir nur Additionen oder nur Multiplikationen in einer Aufgabe haben, dürfen wir vorhandene Klammern entfernen. Ein Beispiel:

3 + (5 + 1 + 9) + 2 = 3 + 5 + 1 + 9 + 2

Es ist hierbei gleichgültig, welche Zahlen wir als erstes zusammenaddieren. An dieser Stelle greift das Assoziativgesetz, bei dem wir beliebig verknüpfen dürfen.

Ein Beispiel für die Multiplikation, bei dem auch einfach die Klammern weggelassen werden können:

5 · (2 · 3 · 6) · 3 = 5 · 2 · 3 · 6 · 3

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