Umwandlung von Koordinatenform in Normalenform

Ein Weg ist, die Koordinatenform in die Parameterform zu bringen (siehe zuvor) und dort die Normalenform zu berechnen.

Ein anderer Weg:

Gegebene Ebenengleichung in Koordinatenform:

1·x - 1·y + 4·z = -4

Normalenvektor aus Koordinatenform ablesen:

Hierzu einfach die Koeffizienten vor x, y und z übernehmen (den konstanten Wert ignorieren):
N = (1 | -1 | 4)

Achtung, die Koordinatengleichung kann durch Äquivalenzumformungen auch eine andere Gestalt haben. Somit ergibt sich ein Normalenvektor mit äquivalenten Werten, zum Beispiel:

1·x - 1·y + 4·z = -4 | :4
0,25·x - 0,25·y + 1·z = -1 | Koeffizienten vor x, y und z übernehmen
N = (0,25 | -0,25 | 1)

Punkt auf Ebene bestimmen

Es muss ein Punkt sein, dessen x-, y- und z-Komponenten die Koordinatengleichung erfüllen. Legen wir zwei Werte für x und y fest und bestimmen den sich ergebenden Wert für z, alle 3 Komponenten ergeben dann die Koordinaten unseres Punktes A. Wählen wir der Einfachheit halber x=0 und y=0 (wir könnten auch andere Werte verwenden):

1·x - 1·y + 4·z = -4 | x=0 und y=0
1·0 - 1·0 + 4·z = -4
4·z = -4
z = -1
→ A(0|0|-1) liegt auf der Ebene

Normalenform aufstellen:

(X - A) · N = 0
(X - (0 | 0 | -1)) · (1 | -1 | 4) = 0
((x | y | z) - (0 | 0 | -1)) · (1 | -1 | 4) = 0

Oder mit dem oben ermittelten, äquivalenten Normalenvektor:
(X - A) · N = 0
(X - (0 | 0 | -1)) · (0,25 | -0,25 | 1) = 0
((x | y | z) - (0 | 0 | -1)) · (0,25 | -0,25 | 1) = 0

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