Wissen: Kosinussatz

Der Kosinussatz

Der Sinussatz reicht nicht immer aus, um ein Dreieck lösen zu können. Für a / sin(α) = b / sin(β) → Variante A: Wir brauchen entweder 1 Seite (a) und 2 Winkel (α und β), um die andere Seite (b) zu bestimmen. Variante B: Wir brauchen 2 Seiten (a, b) und 1 Winkel (α), um den anderen Winkel (β) zu bestimmen.

Was ist jedoch, wenn wir die dritte Seite c und nur 1 Seite (a) gegeben haben. Der Sinussatz sieht dann so aus (gegebene Werte sind blau gefärbt): a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)

Können wir eine Formel aufstellen, die a, b und c und nur 1 Winkel enthält? Denn dann ließen sich die anderen Winkel bestimmen.

Die Antwort ist ja, schauen wir uns an, wie sich diese Formel, der sogenannte Kosinussatz ergibt.

Herleitung vom Kosinussatz

Es sei uns ein allgemeines Dreieck gegeben, in dem wir die Höhe hc einzeichnen. Gesucht sei der Zusammenhang zwischen a, b und c. Wir suchen einen Ausdruck für b2, der nur von a, b und den 3 Winkeln α, β, γ abhängt.

Drücken wir zuerst Seite b über den Pythagoras aus:

b2 = h2 + d2

Drücken wir a über den Pythagoras aus:

a2 = h2 + e2

Nun stellen wir die Formel von a2 nach h2 um:

h2 = a2 - e2

Jetzt können wir dieses h2 in die Formel von b2 einsetzen:

b2 = h2 + d2   | h2 = a2 - e2

b2 = (a2 - e2) + d2

Das d stört noch, schauen wir auf das Dreieck, wir erkennen, dass sich d als Teilstrecke von c ergibt. Die Strecke d ergibt sich mit: d = c - e. Setzen wir diese für d ein:

b2 = (a2 - e2) + d2   | d = c - e

b2 = (a2 - e2) + (c - e)2

b2 = a2 - e2 + c2 - 2ce + e2

b2 = a2 - e2 + e2 + c2 - 2ce

b2 = a2 + c2 - 2ce

Als nächstes gilt es noch das e zu ersetzen. Erinnern wir uns, wir wollen eine Formel, die nur 3 Seiten und einen Winkel benötigt. e können wir über den Kosinus von β ausdrücken:

cos(β) = AK / HY = e / a

Dies nach e umgestellt: e = cos(β) · a

Setzen wir dies in unsere aktuelle Formel ein:

b2 = a2 + c2 - 2·c·e   | e = cos(β) · a

b2 = a2 + c2 - 2·c·(cos(β) · a)

b2 = a2 + c2 - 2·a·c·cos(β)

Und dies ist auch schon der Kosinussatz. Wir haben alle 3 Seiten des Dreiecks (a, b, c) und nur 1 Winkel in der Formel. So lässt sich nun, wenn wir 2 Seiten gegeben haben und den einschließenden Winkel die 3. Seite berechnen. Oder wenn wir alle 3 Seiten gegeben haben, können wir einen fehlenden Winkel berechnen (und dann alle anderen).

Kosinussatz (3 Formeln)

Der Kosinussatz besteht aus drei Formeln, die man sich merken sollte:

a2 = b2 + c2 - 2·b·c·cos(α)

b2 = a2 + c2 - 2·a·c·cos(β)

c2 = a2 + b2 - 2·a·b·cos(γ)

Hier als Grafik zum Kopieren oder Drucken:

Kosinussatz

Wer den Kosinussatz in Worte fassen möchte, kann dies so tun: "ln jedem Dreieck ist das Quadrat einer Seitenlänge gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seitenlängen, vermindert um das doppelte Produkt der Längen dieser Seiten und dem Kosinuswert des von ihnen eingeschlossenen Winkels."

Kosinussatz als Satz des Pythagoras

Man sollte wissen, dass der Kosinussatz mit cos(90°) = 0 dem Satz des Pythagoras entspricht. Einfach den Winkel von 90° einsetzen und es ergibt sich:

c2 = a2 + b2 - 2·a·b·cos(γ) | γ = 90°

c2 = a2 + b2 - 2·a·b·cos(90°)

c2 = a2 + b2 - 2·a·b·0

c2 = a2 + b2

Dreieckswinkel mit Kosinussatz berechnen

Gegeben sind 3 Seiten a, b und c, gesucht ist Winkel γ

Lösung:

Kosinussatz aufstellen:
c2 = a2 + b2 - 2ab·cos(γ)

Umstellen nach cos(γ):

c2 = a2 + b2 - 2ab·cos(γ)   | -c2

0 = -c2 + a2 + b2 - 2ab·cos(γ)   | +2ab·cos(γ)

2ab·cos(γ) = -c2 + a2 + b2   | :2ab

cos(γ) = (-c2 + a2 + b2) / (2ab)

// Arkuskosinus verwenden
γ = cos-1( (c2 - a2 - b2) / (2ab) )

$$ γ = cos^{-1}\left( \frac{-c^2 + a^2 + b^2}{2ab}\right) $$

Falls cos(γ) negativ sein sollte, so ist γ zwischen 90° und 180° groß.

Alle Winkelformeln ausgehend vom Kosinussatz:

α = cos-1( (-a2 + b2 + c2) / (2bc) )

β = cos-1( (-b2 + a2 + c2) / (2ac) )

γ = cos-1( (-c2 + a2 + b2) / (2ab) )

Als TeX-Format:

$$ α = cos^{-1}\left( \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2bc}\right) \\ β = cos^{-1}\left( \frac{-b^2 + a^2 + c^2}{2ac}\right)\\ γ = cos^{-1}\left( \frac{-c^2 + a^2 + b^2}{2ab}\right) $$

Sinussatz oder Kosinussatz anwenden?

Je nach den gegebenen Werten in der Aufgabe muss man entscheiden, welchen Satz man anwendet. Hierzu eine kleine Tabelle:

Gegeben Direkt zu berechnen Lösungsweg
3 Seiten (SSS) 1 Winkel Kosinussatz
2 Seiten und eingeschlossener Winkel (SWS) 1 Seite Kosinussatz
2 Seiten und gegenüberliegender Winkel (SSWg) 1 Winkel (gegenüber der kleineren Seite) Sinussatz
1 Seite und 2 Winkel (SWW) 1 Seite Sinussatz
3 Winkel (WWW) nicht lösbar, unendlich viele Möglichkeiten -

Die nächste Übersicht zeigt konkret auf, welche gegebenenen Werte wir haben und wie wir zu der fehlenden Seite bzw. Winkel gelangen:

Alle Seiten und Winkel am Dreieck: a, b, c, α, β, γ

Fall 1: Gegeben 3 Seiten

a b c
α    
a b c
  β  
a b c
    γ

Lösung: Kosinussatz

Fall 2: Gegeben 2 Seiten und eingeschlossener Winkel

a b c
γ
a b c
β
a b c
α

Lösung: Kosinussatz

Fall 3: Gegeben 2 Seiten und 1 gegenüberliegender Winkel

a b
α β
a b
α β
b c
β γ
b c
β γ

Lösung: Sinussatz

Fall 4: Gegeben 2 Winkel und gegenüberliegende Seite

a b
α β
a b
α β
b c
β γ
b c
β γ

Lösung: Sinussatz

Fall 5: Gegeben 3 Winkel und keine Seite

a b c
     

Lösung: nicht lösbar, unendlich viele Möglichkeiten für a, b, c

Eindeutigkeit

Der Vorteil des Kosinussatzes ist, dass die Werte immer eindeutig sind. Man erhält für die Winkelberechnung einen Wert von 0° bis 180°. Beim Sinussatz hingegen erhält man stets einen Winkel von 0° bis 90° und muss das Ergebnis rechnerisch bzw. mit der gegebenen Zeichnung überprüfen. Sofern es sich um ein stumpfwinkliges Dreieck handelt, ist der Winkel ggf. per Identität umzuwandeln. Also zum Beispiel statt 45°, dann 180° - 45° = 135°.

Notwendige Angaben zur Dreiecksberechnung

Halten wir kurz fest, dass man für rechtwinklige Dreiecke stets nur 2 Angaben braucht (ausgeschlossen ist der 90° Winkel). Bei allgemeinen Dreiecken benötigen wir hingegeben 3 Angaben, um sie vollständig berechnen zu können.

Sinus und Kosinus für Winkel über 180°

Sinus und Kosinus lassen sich auch für Winkel über 180° bestimmen, hierzu verwendet man den Einheitskreis. Damit lassen sich (Ko)Sinuswerte für alle möglichen Winkel festlegen. Du kannst testweise deinen Taschenrechner benutzen, um sin(450°) zu berechnen, der Wert wird 1 sein. Oder tippe ein: sin(-90°), es ergibt sich -1. Achte darauf, dass der Taschenrechner-Modus DRG (degree = Gradmaß) anzeigt und nicht RAD (radiant = Bogenmaß).

Übersicht: Sinussatz und Kosinussatz

Im Folgenden der Sinussatz und der Kosinussatz (der aus 3 Formeln besteht):

Sinussatz
Kosinussatz

Kosinustabelle bis 180°

Winkel Kosinuswert Kosinuswert gerundet
1,0001,000
10°0,9848077530122080,985
20°0,9396926207859080,940
30°0,8660254037844390,866
40°0,7660444431189780,766
50°0,6427876096865390,643
60°0,5000,500
70°0,3420201433256690,342
80°0,173648177666930,174
90°0,0000,000
100°-0,17364817766693-0,174
110°-0,342020143325669-0,342
120°-0,500-0,500
130°-0,642787609686539-0,643
140°-0,766044443118978-0,766
150°-0,866025403784439-0,866
160°-0,939692620785908-0,940
170°-0,984807753012208-0,985
180°-1,000-1,000

Hier ist die Sinustabelle bis 180° zu finden.

Verhältnis Seite zu Sinuswert ist zweifacher Umkreisradius

Gegeben sei das Dreieck ABC mit Umkreis, Radius r und Mittelpunkt M:

Umkreisradius und Verhältnis Seite zu Sinuswert

Die Dreiecksseite a ist eine Sehne des Umkreises, der Winkel α ist Umfangswinkel zur Sehne a. Alle Umfangswinkel zur Sehne a sind nach dem Umfangswinkelsatz gleich (auf der selben Seite des Kreises), also auch der rechte Winkel bei Punkt B. In diesem Fall verläuft die Strecke A'C durch den Mittelpunkt M des Umkreises (Satz des Thales) und es ist Strecke |A'C| = 2·r.

Im rechtwinkligen Dreieck A'BC gilt dann: sin(α) = a/(2·r) und das kann man umstellen zu: a/sin(α) = 2·r

Weitere Artikel:

  Schreib uns deine Hinweise

Made with ❤ by Matheretter.de