GEO02: Kreis

Was ist ein Kreis?

Bei dem Kreis handelt es sich um ein geometrisches Gebilde, bei dem alle Punkte den gleichen Abstand zum sogenannten Mittelpunkt haben. Dabei betrachten wir das Ganze in einer Ebene, also auf einem Blatt Papier. Würden wir die obige Definition auf eine weitere Dimension ausweiten, uns also im Raum befinden, würde man von einer Kugel sprechen, was uns an dieser Stelle jedoch nicht weiter interessieren soll.

Aufbau des Kreises

Um in der Trigonometrie arbeiten zu können, muss man sich mit dem Kreis und den vorliegenden Begrifflichkeiten vertraut machen. Diese werden im Folgenden mit den wichtigsten Formeln eingeführt.

Kreislinie

Spricht man von einem Kreis, meint man meist die Kreislinie. Diese ist insofern besonders, da jeder Punkt auf dieser Kreislinie vom Mittelpunkt gleich weit entfernt ist. Ist man an der Länge dieser Linie interessiert, so spricht man vom Umfang. Dieser berechnet sich zu u = 2·π·r, wobei r der Radius ist und π die Zahl Pi. Die Kreiszahl π entspricht etwa 3,1415926… und gibt das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser an (π = u/d). Die Zahl ist als Konstante auf jedem Taschenrechner zu finden.

Kreislinie

Radius

Jeder Punkt auf der Kreislinie hat einen gewissen Abstand zum Mittelpunkt. Dieser Abstand wird als Radius bezeichnet. In der Mathematik wird er meist mit einem „r“ versehen bzw. abgekürzt.

Anmerkung: Der Einheitskreis ist in der Trigonometrie der wichtigste Kreis, er spielt eine entscheidende Rolle, um die Werte für Sinus und Kosinus zu bestimmen und zu veranschaulichen. Die Besonderheit dabei ist, dass der Radius beim Einheitskreis die Länge 1 hat.

Kreisradius

Durchmesser

Verlängert man den Radius auf die gegenüberliegende Seite, so hat man den Durchmesser d eines Kreises. Sprich zwei sich gegenüberliegende Punkte (bzgl. Mittelpunkt) ergeben den Durchmesser, welcher damit die Länge d = 2·r besitzt.

Kreisdurchmesser

Kreisfläche

Die Fläche innerhalb der Kreislinie wird als Kreisfläche bezeichnet. Diese lässt sich wiederum über den Radius berechnen. Es gilt A = π·r2.

Kreisfläche

Sehne

Weiterhin interessant ist die sogenannte Sehne. Als Sehne wird die Strecke bezeichnet, die sich ergibt, wenn man zwei Radien abträgt und die Schnittpunkte mit der Kreislinie verbindet. Die Formel lautet s = 2·r·sin(α/2), wobei α der Winkel zwischen den Radien ist.

Sehne vom Kreis

Kreisbogen

Hat man zwei Radien gespannt, so kann man einen Kreisbogen erkennen. Das ist der Teil der Kreislinie, welcher zwischen den beiden Schnittpunkten der Radien mit der Kreislinie liegt. Die Formel für die Länge des Kreisbogens lautet: b = r·π·α/180°, auch hier ist α der Winkel zwischen den Radien.

Kreisbogen

Kreissektor/Kreisausschnitt

Der Kreissektor (oder auch Kreisausschnitt) ist die Fläche, die sich zwischen zwei Radien und dem Kreisbogen aufspannt. Man berechnet sie mit A = r2·π·α/360°

Kreissektor

Kreissegment/Kreisabschnitt

Das Kreissegment (oder auch Kreisabschnitt) ist wiederum eine Fläche. Diese allerdings ist nur der Teil zwischen Kreisbogen und Sehne.

Kreissegment

Alle Kreisformeln in Übersicht

Bezeichnung Formel Alternative Formel
mit Durchmesser
Umfang
Länge der Kreislinie
u = 2·π·r u = π·d
Kreisfläche A = π·r2 A = ¼·π·d2
Länge der Sehne
α ist der Winkel zwischen den Radien
s = 2·r·sin(α/2) s = d·sin(α/2)
Kreisbogen (Länge) b = r·π·α/180° b = (d/2)·π·α/180°
Kreissektor (Fläche) A = r2·π·α/360° A = (d/2)2·π·α/360°
Kreissegment (Fläche) A = r2/2 · (α - sin(α))
α ist im Bogenmaß anzugeben
A = d2/8 · (α - sin(α))
α ist im Bogenmaß anzugeben

Symmetrie des Kreises

Man sagt, dass der Kreis eine perfekte Symmetrie aufweist. Als Beispiel sei eine Grafik gegeben:

Kreissymmetrie

Hier erkennt ihr, dass die gebogenen Strecken a, b und c unterschiedliche Längen haben, jedoch ihr Anteil am jeweiligen Gesamtkreis stets gleich ist.

Auch ist zu erwähnen, dass wir den Winkel als Kreisbogen abtragen können und dieser sich dabei überall auf der Kreislinie befinden kann. Der Kreisbogen bleibt stets gleich lang. Nehmen wir im Gegensatz dazu ein Quadrat, so würden wir unterschiedliche Streckenlängen je nach gewählter Winkelposition und Einzeichnung als Teil des Umfangs erhalten:

Quadrat - Winkel nicht möglich

Die Strecke d ist kürzer als die Strecke e. Wir schreiben d ≠ e bzw. d < e.

Der Kreis eignet sich aufgrund seiner Symmetrie hervorragend für die Trigonometrie. Bemerkenswert ist in diesem Zusammehang auch, dass der Kreis unendlich viele Symmetrieachsen aufweist.

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