F05: Lineare Gleichungssysteme

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Video: Einführung Lineare Gleichungssysteme

Einführung LGS

Ziel beim Lösen von Linearen Gleichungssystemen (LGS) ist, eine der beiden Unbekannten zu beseitigen.

Hierzu können wir verschiedene Verfahren benutzen:

1. Gleichsetzungsverfahren

Beide Gleichungen sind so umzustellen, dass y jeweils auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht:

I. y = (...)
II. y = (...)

Anschließend darf man die y gleichsetzen und die beiden Terme (...) jeweils für y einsetzen:

y = y
(...) = (...)

Die entstehende Gleichung enthält dann nur noch die Unbekannten x und lässt sich, wie wir bereits gelernt haben, lösen.

2. Einsetzungsverfahren

Es ähnelt dem Gleichsetzungsverfahren, man stellt jedoch nur eine Gleichung nach y um (die zweite Gleichung lässt man unverändert):

I. y = (...)
II. y + (...) = (...)

Dann darf man den Term der Gleichung I, also y = (...) in die II. Gleichung einsetzen. Man ersetzt also y von Gleichung II mit y = (...) von Gleichung I.

II. y + (...) = (...)
II'. (...) + (...) = (...)

Schließlich enthält die neu entstehende Gleichung keine y mehr, sondern nur noch Unbekannte x und lässt sich lösen.

* Anstatt nach y kann man stets auch nach x umstellen. Das funktioniert entsprechend. Im letzten Schritt bleiben dann nur Terme mit y übrig.

3. Additionsverfahren

Das Additionsverfahren wird auch Subtraktionsverfahren genannt.

Hier addiert man beide Gleichungen miteinander und beseitigt dadurch eine der beiden Variablen x oder y. Wenn sich durch die Addition keine Variable zu Null wegaddieren sollte, so muss man die Gleichung vorher umformen (mit einer entsprechenden Multiplikation ihrer Elemente).

Wer sich fragt, weshalb man die Gleichungen untereinander zusammenaddieren darf, soll sich einmal das LGS ohne Unbekannte vorstellen, zum Beispiel:

LGS ohne Unbekannte

Mögliche Lösungen für Lineare Gleichungssysteme

A: Genau eine Lösung

Für x und für y erhalten wir jeweils einen konkreten Wert. Das Lineare Gleichungssystem hat ein eindeutiges Lösungspaar.

L = { (x|y) } Beispiel: L = { (15|25) }

Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.

B: Keine Lösung

Das Lineare Gleichungssystem hat keine Lösung. Für x und y erhalten wir beim rechnerischen Lösen keinen konkreten Wert, sondern eine falsche Aussage wie zum Beispiel: 3 = 4

L = { } keine Lösung → leere Menge

Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen sind parallel zueinander und haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

C: Unendlich viele Lösungen

Das Lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ihr setzt also bei beiden Gleichungen einen beliebigen Wert für x ein und erhaltet dann stets bei beiden Gleichungen den selben Wert für y. Beim rechnerischen Lösen der Gleichungen werdet ihr auf eine sogenannte Identität stoßen, zum Beispiel: 2 = 2

Für die Lösungsmenge (die Menge aller möglichen Lösungen) schreibt man dann: L = { (x|y) | Gleichung }

Beispiel: L = { (x|y) | y=x+10 }

Der Mathematiker würde sagen: Zur Lösungsmenge gehören alle x und y, die "die Gleichung y=x+10 erfüllen". Das heißt, alle x und y gehören zur Lösung, wenn man sie in die Gleichung y=x+10 einsetzen kann... na klar, das klappt mit allen Zahlen.

Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen liegen aufeinander und haben dadurch unendlich viele gemeinsame Schnittpunkte.

Und richtig, die Zusammenhänge mit den Funktionen/Schnittpunkten hatten wir schon in der Lektion F04: Schnittpunkt von zwei linearen Graphen behandelt. Die linearen Gleichungssysteme sind eine entsprechende Anwendung dieses Wissens.

Hinweis:
LGS lassen sich auch über andere Wege lösen, so zum Beispiel mithilfe der Cramerschen Regel oder dem Gauß-Verfahren. Für die Einführung ins Thema sind diese Verfahren jedoch nicht so gut geeignet und werden daher erst später vorgestellt.

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