Wissen: Determinanten

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Einführung Determinanten

In Anlehnung an die Lösungsgleichungen für sich schneidende Geraden werden Gleichungssysteme durch Umformung gelöst.

Zur Erinnerung sei die Gl. 61 nochmals notiert: \( \begin{array}{l} I. & {a_{11} }·x + {a_{12} }·y = {c_1} \\ II. & {a_{21} }·x + {a_{22} }·y = {c_2} \end{array} \)

Gesucht sind wie im obigen Beispiel die Werte für x und y, bei denen sich beide Geraden schneiden. Beim Vergleich der Lösungen für x und y (vergleiche Gleichungen 62 und 63) fallen gewisse Gemeinsamkeiten auf:

• Die Nenner beider Bestimmungsgleichungen sind identisch,

• Die Zähler sind prinzipiell gleich.

Daher werden Möglichkeiten zur Formalisierung der Lösungsprozedur gesucht.

Zweireihige Determinanten

Definitionen

Determinanten sind schematisierte lineare Gleichungssysteme. Ziel dabei ist, mittels formalisierter Rechenschritte zu schnelleren Lösungen zu kommen.

Folgende Vereinbarungen gelten (siehe Abbildung):

LGS mit Gleichungen und Koeffizienten Abbildung 12

• Die Koeffizienten werden nach ihrer Stellung im Gleichungssystem benannt. Der Zeilenindex i steht vor dem Spaltenindex k.

• Die absoluten Glieder ci des Gleichungssystems werden auch als Störung oder Inhomogenität bezeichnet. Verschwinden die absoluten Glieder insgesamt, liegt ein homogenes andernfalls ein inhomogenes Gleichungssystem vor.

LGS Hauptdiagonale und Nebendiagonale

Die linke Seite des Gleichungssystems wird schematisch als sogenannte Determinante angeordnet, indem nur die Koeffizienten des Gleichungssystems vorzeichenbehaftet in ein quadratisches Schema angeordnet werden (siehe Gl. 64).

Für die Bestimmung des Wertes einer zweireihigen Determinante gilt als Rechenvorschrift:

Der Wert einer zweireihigen Determinante D ergibt sich aus dem Produkt der Koeffizienten der Hauptdiagonalen vermindert um das Produkt der Koeffizienten der Nebendiagonalen.

\( \left| { \begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } } & { {a_{12} } } \\ { {a_{21} } } & { {a_{22} } } \end{array} } \right| = {a_{11} }·{a_{22} } - {a_{21} }·{a_{12} } = D \) Gl. 64

Ein Vergleich mit den Lösungsgleichungen 62 und 63 zeigt, dass der Wert der Determinante genau den Nennern der beiden Gleichungen entspricht. Da diese Determinante aus allen Koeffizienten des Gleichungssystems gebildet wird, heißt sie auch Koeffizientendeterminante.

Wird nun das Schema der Koeffizientendeterminante auf die Zähler der Lösungsgleichungen übertragen, so findet man mit:

\( \left| { \begin{array}{ *{20}{c} }{ \color{#F00}{c_1} } & { {a_{12} } } \\ { \color{#F00}{c_2} } & { {a_{22} } } \end{array} } \right | = {c_1}·{a_{22} } - {c_2}·{a_{12} } = {D_x} \) Gl. 65

den Zähler der Lösungsgleichung für die Unbekannte x und mit

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} } { {a_{11} } } & { \color{#00F}{c_1} } \\ { {a_{21} } } & { \color{#00F}{c_2} } \end{array} } \right| = {c_2}·{a_{11} } - {c_1}·{a_{21} } = {D_y} \) Gl. 66

den Zähler der Lösungsgleichung für die Unbekannte y.

Um eine Zählerdeterminante zur Bestimmung einer Variablen zu erhalten, werden in der Koeffizientendeterminante die Koeffizienten genau dieser Variablen durch die entsprechenden Störglieder ersetzt. Der Wert einer Zählerdeterminante wird nach der gleichen Regel wie der Wert einer Koeffizientendeterminante bestimmt.

Sind aber c1 = c2 = 0 liegt ein homogenes Gleichungssystem vor. Die Lösungen für x und y sind = 0.

Geometrische Interpretation:

Die Konstanten c1 bzw. c2 bewirken die Nullpunktverschiebung (Störung) der Geraden I bzw. II. Verschwinden diese Konstanten, gehen beide Geraden durch den Ursprung des Koordinatensystems und schneiden sich dort. Folglich werden die Werte der Zählerdeterminanten gleich 0 sein und die Lösungen des Gleichungssystems verschwinden.

Cramersche Regel

Die gesuchten Lösungen des inhomogenen Gleichungssystems sind nun leicht zu finden (vergleiche auch Gleichungen 62 und 63):

\( x = \frac{ { {D_x} } }{D} = \frac{ {\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {c_1} } & { {a_{12} } }\\{ {c_2} } & { {a_{22} } }\end{array} } \right|} }{ {\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } } & { {a_{12} } }\\{ {a_{21} } } & { {a_{22} } }\end{array} } \right|} } \qquad y = \frac{ { {D_y} } }{D} = \frac{ {\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } } & { {c_1} }\\{ {a_{21} } } & { {c_2} }\end{array} } \right|} }{ {\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } } & { {a_{12} } }\\{ {a_{21} } } & { {a_{22} } }\end{array} } \right|} } \) Gl. 67

sofern die Koeffizientendeterminante nicht verschwindet (D ≠ 0)!

Die Lösungsvorschrift für Determinanten ist nach dem Schweizer Mathematiker CRAMER Gabriel (1704 - 1752) benannt.

Beispiel:

Gesucht ist der Punkt in dem sich die Geraden I. y = 3x + 1 und II. y = x + 3 schneiden.

Aufgabe Geraden Schnittpunkt

Zunächst muss das Gleichungssystem aufgestellt werden:

\(\begin{array}{l} & I. & 3x - y = - 1\\ & II. & x\,\,\, - y = - 3\end{array}\)

Die Koeffizientendeterminante D hat den Wert

\( D = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }3 & { - 1} \\ 1 & { - 1} \end{array} } \right| = - 1 \cdot 3 - ( - 1) · 1 = - 2 \)

und die Zählerdeterminanten Dx und Dy

\( {D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ - 1} & { - 1}\\{ - 3} & { - 1}\end{array} } \right| = ( - 1)( - 1) - ( - 1)( - 3) = - 2 \)

\( {D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }3 & { - 1} \\ 1 & { - 3}\end{array} } \right| = 3 \cdot ( - 3) - 1 · ( - 1) = - 8 \)

nunmehr ergeben sich die Koordinaten des Schnittpunktes zu

\( x = \frac{ { {D_x} } }{D} = \frac{ { - 2} }{ { - 2} } = 1 \qquad y = \frac{ { {D_y} } }{D} = \frac{ { - 8} }{ { - 2} } = 4 \)

Probe:

Einsetzen der Lösung in obige Gleichungen zeigt,

\(\begin{array}{l} & I. & 3 \cdot 1 - 4 = - 1\\ & II. & 1\,\,\, - 4 = - 3\end{array}\)

dass die Lösung das Gleichungssystem erfüllt.

Deutigkeit von Lösungen zweireihiger Determinanten

Determinanten geben auch Aufschluss über die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme. Es sind drei Fälle zu unterscheiden:

a) \( D ≠ 0 ∧ D_x, D_y ∈ \mathbb{R} \) Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar.

b) \( D = 0 ∧ ∀D_x, D_y = 0 \) Das Gleichungssystem liefert unendlich viele Lösungen. Die Gleichungen sind nicht unabhängig.

c) \( D = 0 ∧ ∃D_x, D_y ≠ 0 \) Hier liegt ein Widerspruch vor. Lösungsmenge = Æ!

Eine geometrische Deutung soll die Interpretation der drei Fälle ermöglichen. Dazu sei daran erinnert, dass die Lösung des Gleichungssystems auf die Bestimmung des Schnittpunktes von Geraden abzielt. Die Betrachtung der Fälle zeigt, dass

Fall b) Gl. II in Gl. 61 einschließlich der Inhomogenität c ein Vielfaches von Gleichung I (oder umgekehrt) ist:

\( \begin{array}{l} I. & \,\,\,{a_1}x + \,\,\,\,{a_2}y = \,\,\,\,c \\ II. & \lambda {a_1}x + \lambda {a_2}y = \lambda c\end{array} \) Gl. 68

Dies führt auf folgende Lösungen:

\( x = \frac{ { {D_x} } }{D} = \frac{ {\lambda \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c} }c&{ {a_2} } \\ c & { {a_2} }\end{array} } \right|} }{ {\lambda \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_1} } & { {a_2} }\\{ {a_1} } & { {a_2} }\end{array} } \right|} } = \frac{0}{0} \qquad y = \frac{ { {D_y} } }{D} = \frac{ {\lambda · \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_1} } & c \\ { {a_1} } & c\end{array} } \right|} } { {\lambda \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_1} } & { {a_2} }\\{ {a_1} } & { {a_2} }\end{array} } \right|} } = \frac{0}{0} \) Gl. 69

Die nächste Abbildung zeigt, dass linear abhängige Gleichungen zu identischen Geraden führen. Identische Gerade berühren sich an allen Stellen, d.h. es gibt unendlich viele solcher „Schnitt“punkte. Das Gleichungssystem besteht aus zwei prinzipiell identischen Gleichungen (der Faktor λ kann auf beiden Seiten gekürzt werden, dadurch entstehen zwei identische Gleichungen). Es gibt also mehr Variable als Bestimmungsgleichungen. Folglich kann eine der Variablen frei gewählt werden, um die andere zu bestimmen.

Identische Geraden Abbildung 13

Fall c) Gl. II in Gl. 61 mit Ausnahme der Inhomogenität c ein Vielfaches von Gleichung I (oder umgekehrt) ist:

\( \begin{array}{l}I. & \,\,\,{a_1}x + \,\,\,\,{a_2}y = \,{c_1}\\II. & \lambda {a_1}x + \lambda {a_2}y = {c_2}; & {c_2} \ne \lambda {c_1}\,!\end{array} \) Gl. 70

Dies führt auf folgende Lösungen:

\( x = \frac{ { {D_x} } }{D} = \frac{ {\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {c_1} } & { {a_2} } \\ { {c_2} } & {\lambda {a_2} }\end{array} } \right|} }{ {\lambda \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_1} }&{ {a_2} }\\{ {a_1} }&{ {a_2} }\end{array} } \right|} } = \frac{ {\left( {\lambda {c_1} - {c_2} } \right){a_2} } }{0} \) \( y = \frac{ { {D_y} } }{D} = \frac{ {\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{\lambda {a_1} } & { {c_1} }\\{ {a_1} } & { {c_2} }\end{array} } \right|} }{ {\lambda · \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_1} } & { {a_2} }\\{ {a_1} } & { {a_2} }\end{array} } \right|} } = \frac{ {\left( { {c_1} - \lambda {c_2} } \right){a_1} } }{0} \) Gl. 71

Die folgende Abbildung zeigt, dass solcher Art abhängige Gleichungen zu parallelen Geraden führen. Parallele Geraden haben keinen endlichen Schnittpunkt! Es liegt folglich ein Widerspruch vor. Der Vergleich von Gl. 70 (I.) mit Gl. 70 (II.) zeigt, dass an sich gleiche Vorraussetzungen zu unterschiedlichen Ergebnissen c1 und c2 (c1¹lc2) führen.

Parallele Geraden Abbildung 14

Eigenschaften zweireihiger Determinaten

a) Das Vertauschen von Zeilen mit Spalten (Spiegeln an der Hauptdiagonalen) ändert den Wert der Determinante nicht.

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } } & { {a_{12} } }\\{ {a_{21} } } & { {a_{22} } }\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } } & { {a_{21} } }\\{ {a_{12} } } & { {a_{22} } }\end{array} } \right| = {a_{11} }{a_{22} } - {a_{21} }{a_{12} } \) Gl. 72

b) Das Vertauschen von Zeilen (oder Spalten) untereinander verändert das Vorzeichen, nicht aber den Betrag der Determinante (die Hauptdiagonale wird zur Nebendiagonale und umgekehrt).

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = - \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\\{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\end{array} } \right| = - \left( { {a_{21} }{a_{12} } - {a_{11} }{a_{22} } } \right) \) Gl. 73

c) Eine Determinante wird mit einem Faktor multipliziert, indem die Elemente einer Zeile (oder Spalte) mit diesem Faktor multipliziert werden.

\(\lambda \left| { \begin{array}{*{20}{c} } { {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } } \end{array} } \right| = \left| { \begin{array}{*{20}{c} }{\lambda {a_{11} } }&{\lambda {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } } \end{array} } \right| = \lambda \left( { {a_{21} }{a_{12} } - {a_{11} }{a_{22} } } \right) \) Gl. 74

d) Besteht eine Zeile (oder Spalte) aus Summanden, kann sie in mehrere Determinanten entwickelt werden.

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } + {b_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } + {b_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {b_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {b_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| \) Gl. 75

\(\left( {\left( { {a_{11} } + {b_{11} } } \right){a_{22} } - \left( { {a_{21} } + {b_{21} } } \right){a_{12} } } \right) = \left( { {a_{11} }{a_{22} } - {a_{12} }{a_{21} } } \right) + \left( { {b_{11} }{a_{22} } - {a_{12} }{b_{21} } } \right) \)

e) Eine Determinante mit zwei gleichen Zeilen (oder Spalten) hat den Wert 0.

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_1} }&{ {a_2} }\\{ {a_1} }&{ {a_2} }\end{array} } \right| = \left( { {a_1}{a_2} - {a_1}{a_2} } \right) = 0 \) Gl. 76

f) Sind alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) gleich 0, so hat die Determinante ebenfalls den Wert = 0.

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} }0&{ {a_{12} } }\\0&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = \left( {0 \cdot {a_{22} } - 0 \cdot {a_{12} } } \right) = 0 \) Gl. 77

g) Sind Zeilen (oder Spalten) zueinander proportional, hat die Determinante ebenfalls den Wert = 0 (Gl. 74, Gl. 76).

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{\lambda {a_1} }&{\lambda {a_2} }\\{ {a_1} }&{ {a_2} }\end{array} } \right| = \lambda \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_1} }&{ {a_2} }\\{ {a_1} }&{ {a_2} }\end{array} } \right| = \lambda \left( { {a_1}{a_2} - {a_1}{a_2} } \right) = 0 \) Gl. 78

h) Wird zu einer Zeile (oder Spalte) das Vielfache einer anderen Zeile (oder Spalte) hinzugezählt, ändert sich der Wert der Determinante nicht Gl. 74 und Gl. 75).

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } + \lambda {a_{11} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } + \lambda {a_{21} } }\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{\lambda {a_{11} } }\\{ {a_{21} } }&{\lambda {a_{21} } }\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| \) Gl. 79

= 0!

Gleichungssysteme, die sich auf lineare Gleichungssysteme zurückführen lassen

Gewisse Gleichungssysteme, die dem Anschein nach nichtlinear sind, können durch geeignete Umformung bzw. Substitution auf lineare Gleichungssysteme zurückgeführt werden. Voraussetzung dafür ist aber, dass die Unbekannten in beiden Gleichungssystemen von gleicher Gestalt sind. Gl. 80 vermittelt ein allgemeines Gleichungssystem, in denen die Variablen in Funktionen eingebunden sind.

\(\begin{array}{l}I. & {a_{11} } \cdot f\left( x \right) + {a_{12} } \cdot g\left( y \right) = {c_1}\\II. & {a_{21} } \cdot f\left( x \right) + {a_{22} } \cdot g\left( y \right) = {c_2} & \end{array}\) Gl. 80

Worin f und g beliebige Funktionen von x bzw. y sind. Durch Substitution von

\( \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\v = g\left( y \right) & \end{array}\) Gl. 81

Werden neue Variable eingeführt und das Gleichungssystem erscheint jetzt in der gewohnten linearen Form:

\( \begin{array}{l}I. & {a_{11} } \cdot u + {a_{12} } \cdot v = {c_1}\\II. & {a_{21} } \cdot u + {a_{22} } \cdot v = {c_2} & \end{array} \) Gl. 82

Nunmehr können u und v durch das Determinantenkalkül berechnet werden.

\( u = \frac{ { {D_u} } }{D}; \qquad v = \frac{ { {D_v} } }{D} \) Gl. 83

Durch Rücksubstitution und Anwendung der Umkehrfunktionen der Funktionen f und g

können die gesuchten Variablen x und y schließlich gefunden werden:

\( x = {f^{ - 1} }\left( {\frac{ { {D_u} } }{D} } \right); \qquad v = {g^{- 1} }\left( {\frac{ { {D_v} } }{D} } \right) \) Gl. 84

Beispiel:

Gegeben sei das Gleichungssystem: \( \begin{array}{l}I. & x \cdot y = 3,6\\II. & \frac{x}{y} = 0,1 & \end{array} \)

Gesucht sind x und y, die dieses Gleichungssystem erfüllen.

Durch Logarithmieren wird das Gleichungssystem in die Form nach Gl. 80 gebracht:

\(\begin{array}{l}I. & \log \left( x \right) + \log \left( y \right) = \log \left( {3,6} \right)\\II. & \log \left( x \right) - \log \left( y \right) = \log \left( {0,1} \right) & \end{array}\) mit \(u = \log (x); \quad v = \log \left( y \right) \)

folgt

\(\begin{array}{l}I. & 1 \cdot u + 1 \cdot v = \log \left( {3,6} \right)\\II. & 1 \cdot u - 1 \cdot v = \log \left( {0,1} \right) & \end{array}\)

daraus folgt

\(\begin{array}{l}D = - 2;\,\,\\{D_u} = - \left( {\log \left( {3,6} \right) + \log \left( {0,1} \right)} \right)\\{D_v} = - \left( {\log \left( {3,6} \right) - \log \left( {0,1} \right)} \right) & \end{array}\)

also

\( \begin{array}{l}u = \frac{1}{2}\left( {\log \left( {3,6} \right) + \log \left( {0,1} \right)} \right) = \log \left( {\sqrt[2]{ {3,6 \cdot 0,1} } } \right) = \log \left( {0,6} \right)\\v = \frac{1}{2}\left( {\log \left( {3,6} \right) - \log \left( {0,1} \right)} \right) = \log \left( {\sqrt[2]{ {\frac{ {3,6} }{ {0,1} } } } } \right) = \log \left( 6 \right) & \end{array} \)

die Rücksubstitution ergibt

\(\begin{array}{l}\log \left( x \right) = \log \left( {0,6} \right) \Rightarrow x = 0,6\\\log \left( y \right) = \log \left( 6 \right) \Rightarrow y = 6 & \end{array}\)

Drei- und mehrreihige Determinanten

Eine dreireihige Determinante dient der Lösung eines Gleichungssystems mit drei Variablen:

\( \begin{array}{l} I. & {a_{11} }x + {a_{12} }y + {a_{13} }z = {c_1} \\ II. & {a_{21} }x + {a_{22} }y + {a_{23} }z = {c_2} \\ III. & {a_{31} }x + {a_{32} }y + {a_{33} }z = {c_3} \end{array} \) Gl. 85

Um im Bild der sich schneidenden Geraden zu bleiben: Gl. 85 beschreibt drei Flächen im dreidimensionalen Raum, deren Schnittpunkt gesucht wird, in dem sich alle Schnittlinien der drei Flächen treffen (Abbildung 15).

Schnittlinien der drei Flächen Abbildung 15

Die daraus abzuleitende Koeffizientendeterminante hat die Gestalt:

\( D = \left| {\begin{array}{*{20}{c} } { {a_{11} } } &{ {a_{12} } } &{ {a_{13} } } \\ { {a_{21} } } &{ {a_{22} } } &{ {a_{23} } } \\ { {a_{31} } } & { {a_{32} } } & { {a_{33} } } \end{array} } \right|\) Gl. 86

Entsprechend sind die Zählerdeterminanten aufgebaut:

\( {D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c} } { {c_1} }&{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } } \\ { {c_2} }&{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } } \\ { {c_3} }&{ {a_{32} } }&{ {a_{33} } } \end{array} } \right|;\,\,\,\,\,\,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {c_1} }&{ {a_{13} } } \\ { {a_{21} } }&{ {c_2} }&{ {a_{23} } } \\ { {a_{31} } }&{ {c_3} }&{ {a_{33} } } \end{array} } \right|;\,\,\,\,\,\,\,\,{D_z} = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{ {c_1} } \\ { {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{ {c_2} } \\ { {a_{31} } }&{ {a_{32} } }&{ {c_3} } \end{array} } \right| \) Gl. 87

Regel von Sarrus

Die Regel von SARRUS stellt ein vereinfachtes Lösungsverfahren für dreireihige Determinanten dar.

Das Lösungsschema nach Sarrus sieht vor, dass die ersten beiden Spalten der Determinante rechts neben die Determinante kopiert werden. Dadurch ergibt sich ein Schema nach Abbildung 16.

Nunmehr können die Produkte der Elemente, die sich auf den drei Hauptdiagonalen befinden, summiert werden. Davon abzuziehen sind die Produkte der Elemente auf den drei Nebendiagonalen.

Schnittlinien der drei Flächen Abbildung 16

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } } \\ { {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } } \\ { {a_{31} } }&{ {a_{32} } }&{ {a_{33} } } \end{array} } \right|\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } } \\ { {a_{21} } }&{ {a_{22} } } \\ { {a_{31} } }&{ {a_{32} } } \end{array} = {a_{11} }{a_{22} }{a_{33} } + {a_{12} }{a_{23} }{a_{31} } + {a_{13} }{a_{21} }{a_{32} } - {a_{13} }{a_{22} }{a_{31} } - {a_{11} }{a_{23} }{a_{32} } - {a_{12} }{a_{21} }{a_{33} } \) Gl. 88

Entwickeln einer Determinante nach ihren Unterdeterminanten (Adjunkte)

Determinanten mit einem Rang > 3 können nach der Regel von SARRUS nicht gelöst werden. Hierfür steht ein allgemein gültiges Verfahren zur Verfügung, das von LAPLACE, (Pierre Simon, 1749-1827) und SARRUS (Pierre, 1798-1861) angegeben wurde. Danach erfolgt die Lösung mehrreihiger (auch größer als 3 Reihen) Determinanten durch Entwicklung der Ausgangsdeterminante in rangniedere Unterdeterminanten.

Die Entwicklung in Unterdeterminanten geht von folgender Überlegung aus: Werden die Summanden der Determinante nach Gl. 88 geeignet zusammengefasst, ergibt sich

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }\\{ {a_{31} } }&{ {a_{32} } }&{ {a_{33} } }\end{array} } \right|\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\\{ {a_{31} } }&{ {a_{32} } }\end{array} = {a_{11} }\left( { {a_{22} }{a_{33} } - {a_{23} }{a_{32} } } \right) - {a_{12} }\left( { {a_{21} }{a_{33} } - {a_{23} }{a_{31} } } \right) + {a_{13} }\left( { {a_{21} }{a_{32} } - {a_{22} }{a_{31} } } \right) \) Gl. 89

Dabei fällt auf, dass die eingeklammerten Terme auch als zweireihige Determinanten geschrieben werden können:

\( \begin{array}{l}\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }\\{ {a_{31} } }&{ {a_{32} } }&{ {a_{33} } }\end{array} } \right| = {a_{11} }\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }\\{ {a_{32} } }&{ {a_{33} } }\end{array} } \right| - {a_{12} }\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{21} } }&{ {a_{23} } }\\{ {a_{31} } }&{ {a_{33} } }\end{array} } \right| + {a_{13} }\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\\{ {a_{31} } }&{ {a_{32} } }\end{array} } \right|\\\\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a_{11} }{A_{11} }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a_{12} }{A_{12} }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a_{13} }{A_{13} }\end{array} \) Gl. 90

In diesem Fall handelt es sich um eine Entwicklung der Determinante nach den Elementen der ersten Zeile. Die vorzeichenbehafteten Unterdeterminanten werden auch Adjunkte genannt. Gleichwertig dazu ist aber auch eine Entwicklung nach Spalten möglich:

\( \begin{array}{l}\left| { \begin{array}{*{20}{c} } { {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } } \\ { {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } } \\ { {a_{31} } }&{ {a_{32} } }&{ {a_{33} } } \end{array} } \right| = {a_{11} }\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }\\{ {a_{32} } }&{ {a_{33} } }\end{array} } \right| - {a_{21} }\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } }\\{ {a_{32} } }&{ {a_{33} } }\end{array} } \right| + {a_{31} }\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } }\\{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }\end{array} } \right| \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a_{11} }{A_{11} }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a_{21} }{A_{21} } & \,\,\,\,\,\,\, + {a_{31} }{A_{31} }\end{array} \) Gl. 91

In Gl. 91 wurde die Entwicklung der Determinante nach den Elementen der ersten Spalte vorgenommen. Grundsätzlich kann aber eine Entwicklung in Unterdeterminanten nach jeder beliebigen Zeile oder Spalte vorgenommen werden.

Wichtig ist jedoch, dass eine Entwicklung erst dann vollständig ist, wenn jedes Element der ausgewählten Zeile (Spalte) berücksichtigt wurde!

Unter Beachtung der unten folgenden Regeln kann die Entwicklung nach jeder beliebigen Zeile oder Spalte erfolgen.

Adjunkte werden wie folgt ermittelt:

Von der Ausgangsdeterminante wird das Element aik für die Entwicklung ausgewählt. Aus der Ausgangsdeterminante werden alle Elemente der i-ten Zeile und der k-ten Spalte entfernt. Dadurch entsteht eine neue Determinante, die im Rang um eins erniedrigt wurde. Einschließlich des Vorzeichens, das nach der Regel

i+k gerade: Vorzeichen positiv

i+k ungerade: Vorzeichen negativ

gebildet wird, bildet diese Unterdeterminante den Adjunkt Aik (siehe folgende Gleichung).

Unterdeterminante bildet Adjunkt Gl. 92

Entwicklung der Determinante:

Zur Entwicklung der Determinante werden die ermittelten Adjunkte mit dem Element der Ausgangsdeterminante multipliziert, nach dem die Entwicklung vorgenommen wird. Dazu sind alle zu der Zeile (oder Spalte) gehörenden Elemente und Adjunkte vorzeichenrichtig zu summieren.

Gl. 93 zeigt die Entwicklung einer dreireihigen Determinante nach den Elementen der ersten Spalte:

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} } { \color{#00F}{a_{11} } } & { {a_{12} } } & { {a_{13} } } \\ { \color{#00F}{a_{21} } } & { {a_{22} } } & { {a_{23} } } \\ { \color{#00F}{a_{31} } } & { {a_{32} } } & { {a_{33} } } \end{array} } \right|\,\, = {a_{11} }{A_{11} }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a_{21} }{A_{21} } \,\,\,\,\,\,\, + {a_{31} }{A_{31} } \) Gl. 93

alternativ kann die Entwicklung aber z.B. auch nach der zweiten Zeile vorgenommen werden:

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} } { {a_{11} } } & { {a_{12} } } & { {a_{13} } } \\ { \color{#00F}{a_{21} } } & { \color{#00F}{a_{22} } } & { \color{#00F}{a_{23} } } \\ { {a_{31} } } & { {a_{32} } } & { {a_{33} } } \end{array} } \right|\,\, = {a_{21} }{A_{21} }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a_{22} }{A_{22} } \,\,\,\,\,\,\, + {a_{23} }{A_{23} } \) Gl. 94

Eine Determinante ist erst dann vollständig in rangniedere Determinanten entwickelt, wenn alle Elemente der ausgewählten Zeile (oder Spalte) berücksichtigt worden sind.

Beachte: Die Entwicklung von Determinanten nach ihren Adjunkten ist für jeden Rang möglich!

Rang einer Determinante

Der Rang einer Determinante wird durch die Anzahl der voneinander unabhängigen Gleichungssysteme, die zu der Determinante geführt haben, bestimmt.

Mit anderen Worten: Verschwindet der Wert einer Determinante, ohne dass auch alle Adjunkte dieser Determinante verschwinden, liegt eine Rangerniedrigung um 1 vor. Verschwinden auch alle Adjunkte, aber nicht deren Unterdeterminanten, dann liegt eine weitere Rangerniedrigung vor.

Beispiel 1: Der Wert der Determinate

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&2&3\\2&4&6\\1&1&{ - 1}\end{array} } \right|\,\, = {a_{11} }{A_{11} } + {a_{21} }{A_{21} } + {a_{31} }{A_{31} } = 1 \cdot \left( { - 4 - 6} \right) - 2 \cdot \left( { - 2 - 3} \right) + 1 \cdot \left( {12 - 12} \right) = - 10 + 10 + 0 = 0\)

ist verschwindend, aber die Adjunkte A11 und A21 sind ungleich Null. Folglich hat die Determinante den Rang = 2 (und nicht 3, wie der erste Anschein vermuten lässt).

Beispiel 2: Der Wert der Determinate

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&2&2\\2&4&4\\1&1&1\end{array} } \right|\,\, = {a_{11} }{A_{11} } + {a_{21} }{A_{21} } + {a_{31} }{A_{31} } = 1 \cdot \left( {4 - 4} \right) - 2 \cdot \left( {2 - 2} \right) + 1 \cdot \left( {8 - 8} \right) = 0 + 0 + 0 = 0\)

ist ebenfalls gleich Null, zudem sind auch die Adjunkte A11, A21 und A31 gleich Null. Aber andere Adjunkte wie z.B. A13, A22 oder A23 sind ungleich Null. Daher hat auch diese Determinante den Rang = 2.

Beispiel 3: Der Wert der Determinate

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&2&2\\2&4&4\\1&2&2\end{array} } \right|\,\, = 0\)

ist ebenfalls gleich Null, zudem sind auch alle Adjunkte gleich Null. Erst deren Adjunkte verschwinden nicht. Daher hat diese Determinante den Rang = 1.

Eigenschaften drei- und mehrreihiger Determinanten

Grundsätzlich haben drei- und mehrreihige Determinanten die selben Eigenschaften wie zweireihige Determinanten (siehe Eigenschaften zweireihiger Determinaten).

Ergänzungen

a) Eigenschaft b) gilt auch, wenn nicht aufeinanderfolgende Zeilen (oder Spalten) vertauscht werden.

Allgemein gilt:
- eine ungerade Anzahl von Vertauschungen von Zeilen (oder Spalten) führt zu einem Vorzeichenwechsel,
- eine gerade Anzahl von Vertauschungen von Zeilen (oder Spalten) bleibt ohne Vorzeichenwechsel.

b) Determinanten lassen sich in Unterdeterminanten (Adjunkte) entwickeln, wobei der Rang der Ausgangsdeterminante um den Wert 1 vermindert wird. So können große Determinanten schrittweise im Rang reduziert und somit letztendlich lösbar gemacht werden.

c) Hat eine mehrreihige Determinante den Wert = 0 und sind dabei nicht alle Adjunkte = 0, dann besteht mindesten zwischen zwei Zeilen (oder Spalten) Proportionalität.

d) Die Summe der Produkte der Adjunkte einer Zeile (oder Spalte) multipliziert mit den Elementen einer anderen Zeile (oder Spalte) ergibt den Wert = 0.

Rändern von Determinanten

In Umkehrung der Entwicklung einer Determinante nach ihren Unterdeterminanten kann eine Determinante auch erweitert werden.

Die Determinante in Gl. 95 wird sinnvoller Weise nach der letzten Spalte entwickelt, weil nur ein Koeffizient (a33) von Null verschieden ist:

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&0\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&0\\{ {a_{31} } }&{ {a_{32} } }&1\end{array} } \right| = 0 \cdot {A_{13} } + 0 \cdot {A_{23} } + 1 \cdot {A_{33} } \) Gl. 95

Diese Vorgehensweise kann umgekehrt werden. Im Beispiel (Gl. 96) wird die zweireihige Ausgangsdeterminante als eine nach ihren Adjunkten entwickelte dreireihige Determinante verstanden:

\( D = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = 1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&0\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&0\\a&b&1\end{array} } \right| \) Gl. 96

(Das neue Element a33, nach dem die Determinante entwickelt werden müsste, um wieder auf die Ausgangsform zu kommen, weist darauf hin, dass das Vorzeichen positiv ist.)

Diese Operation wird Rändern einer Determinante genannt. Der Rang der Determinante ändert sich dabei nicht!

Die Größen a und b dürfen frei gewählt werden. Denn alle Produkte, in denen a oder b vorkommen, verschwinden wegen a13 = a23 = 0.

Die Operation des Ränderns wird ausgeführt, um Determinanten unter bestimmten Umständen eine einfachere Gestalt zu geben (siehe auch Berechnung der Fläche beliebiger Dreiecke).

Alternative Lösungsmethoden

Die Lösung von Determinanten mit mehr als 3 Zeilen und Spalten ist sehr mühevoll. Darum werden vereinfachte Lösungswege gesucht:

Erzeugen von nullwertigen Elementen

Die Entwicklung einer Determinante in ihre Unterdeterminanten ist besonders dann leicht, wenn in einer Zeile (Spalte) Nullen auftreten. Dann sind die Koeffizienten, nach denen die Entwicklung stattfinden soll, gleich Null, damit verschwindet auch das Produkt mit dem entsprechenden Adjunkten, der dann erst gar nicht berechnet werden muss. Sind solche Zeilen (Spalten) mit Nullen nicht vorhanden, kann dies durch Ausnutzung von Eigenschaften (Eigenschaften zweireihiger Determinaten h) von Determinanten erzwungen werden.

Beispiel:

Es ist der Wert der Determinante D zu bestimmen.

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }4&3&{ - 2}\\2&{ - 1}&1\\1&4&3\end{array} } \right|\,\,\) Diese Determinante weist keine Nullelemente auf.

Darum werden die Elemente der zweiten Zeile mit 2 multipliziert und von den Elementen der ersten Zeile subtrahiert:

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }0&5&{ - 4}\\2&{ - 1}&1\\1&4&3\end{array} } \right|\,\,\) Auf diese Weise wurde schon ein Nullelement erzeugt.

Nun wird auch die dritte Zeile mit 2 multipliziert und von der zweiten Zeile subtrahiert:

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }0&5&{ - 4}\\0&{ - 9}&{ - 5}\\1&4&3\end{array} } \right|\,\,\) Jetzt genügt es, die Determinante nach dem Element a31 zu

entwickeln, alle anderen Summanden verschwinden:

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }0&5&{ - 4}\\0&{ - 9}&{ - 5}\\1&4&3\end{array} } \right| = 1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c} }5&{ - 4}\\{ - 9}&{ - 5}\end{array} } \right|\, = - 25 - 36 = - 61\,\)

Dreiecksdeterminanten

Eine sog. Dreiecksdeterminante ist ein Sonderfall einer Determinante mit Null-Elementen. Die Dreiecksdeterminante weist sowohl Spalten als auch Zeilen mit Nullelementen aus. Unterhalb (oder oberhalb) der Hauptdiagonalen sind alle Elemente = 0. Sie hat einen Wert, der nur aus dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen besteht. Diese Aussage gilt unabhängig vom Rang der Determinante:

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} } { {a_{11} } } & { {a_{12} } } & { {a_{13} } } \\ 0 & { {a_{22} } } & { {a_{23} } } \\ 0 & 0 & { {a_{33} } } \end{array} } \right|\,\, = {a_{11} }{A_{21} } \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 0 · {A_{12} } \,\,\,\,\,\,\, + 0 · {A_{13} } = {a_{11} }{a_{22} }{a_{33} } \) Gl. 97

Der Gauss’sche Algorithmus

Auch wenn die Einführung der Determinanten in die Lösung linearer Gleichungssysteme deutlich zur Lösungsrationalisierung beigetragen hat, ist das Lösen von Determinanten mit einem Rang > 3 mit Hilfe der Entwicklung in Adjunkte sehr mühevoll. Deshalb wird nach Algorithmen gesucht, die insbesondere in der numerischen Mathematik erfolgversprechende Ansätze liefern können. Dazu ist der Gauss’sche Algorithmus zu zählen. Dazu zeigt Gl. 97 bereits einen Ansatz für den nach Gauss benannten Algorithmus.

Die Übertragung weiterer Eigenschaften von Determinanten auf die Lösung von LGS kann diese sehr stark vereinfacht werden.

Durch Anwendung von Gl. 79 weist den Weg zu einer Schritt weisen Wandlung zu einem LGS ähnlich einer Dreiecksdeterminante. Beispielhaft wird der Lösungsalgorithmus an einem linearen Gleichungssystem mit drei Variablen abgeleitet. Gl. 98 zeigt die Ausgangsgleichungen:

\( \begin{array}{l}I. & {a_{11} }x + {a_{12} }y + {a_{13} }z = {c_1}\\II. & {a_{21} }x + {a_{22} }y + {a_{23} }z = {c_2}\\III. & {a_{31} }x + {a_{32} }y + {a_{33} }z = {c_3}\end{array} \) Gl. 98

Zunächst werden die Koeffizienten der Gln. II und III so modifiziert, dass ein Subtraktion der Gl. I von den Gln. II und III dazu führt, dass die x-Terme dieser Gleichungen verschwinden:

\(\begin{array}{l}I. & {a_{11} }x + {a_{12} }y + {a_{13} }z = {c_1}\\II. & {a_{21} }x + {a_{22} }y + {a_{23} }z = {c_2} & & & | \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{21} } } }\\III. & {a_{31} }x + {a_{32} }y + {a_{33} }z = {c_3} & & & | \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{31} } } }\end{array}\) Gl. 99

\(\begin{array}{l}I. & {a_{11} }x + {a_{12} }y + {a_{13} }z = {c_1}\\II. & {a_{11} }x + {a_{22} } \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{21} } } }y + {a_{23} } \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{21} } } }z = {c_2} \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{21} } } } & & |II - I\\III. & {a_{11} }x + {a_{32} } \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{31} } } }y + {a_{33} } \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{31} } } }z = {c_3} \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{31} } } } & & |III - I\end{array}\) Gl. 100

\(\begin{array}{l}I. & {a_{11} }x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a_{12} }y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a_{13} }z = {c_1}\\II. & 0 + \left( { {a_{22} } \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{21} } } } - {a_{12} } } \right)y + \left( { {a_{23} } \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{21} } } } - {a_{13} } } \right)z = {c_2} \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{21} } } } - {c_1} & \\III. & 0 + \left( { {a_{32} } \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{31} } } } - {a_{12} } } \right)y + \left( { {a_{33} } \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{31} } } } - {a_{13} } } \right)z = {c_3} \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{31} } } } - {c_1} & \end{array}\) Gl. 101

Zur besseren Übersicht werden die Klammerausdrücke durch alternative Koeffizienten ersetzt:

\(\begin{array}{l}I. & {a_{11} }x\,\, + {a_{12} }y\,\, + {a_{13} }z = {c_1}\\II. & 0\,\,\,\,\,\,\,\, + a_{_{11} }^1y + a_{_{12} }^1z = c_{_1}^1 & \\III. & 0\,\,\,\,\,\,\,\, + a_{_{21} }^1y + a_{22}^1z = c_{_2}^1 & \end{array}\) mit \(\begin{array}{l}c_{_1}^1 = {c_2}\frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{21} } } } - {c_1} & \\c_{_2}^1 = {c_3}\frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{31} } } } - {c_1} & \end{array}\)*) Gl. 102

*) Die hochgestellten Indize in den \(a_{ik}^1;\,\,\,c_i^1\) bedeuten, dass \(a_{ik}^1;\,\,\,c_i^1\) Ergebnis des ersten Rekursionsschrittes sind.

Im folgenden Schritt ist die y-Position der Gl. III zu räumen. Dazu wird Gl. III mit dem Faktor \(\frac{ {a_{_{11} }^1} }{ {a_{_{21} }^1} }\) beidseitig erweitert und um Gl. II vermindert:

\(\begin{array}{l}II. & a_{_{11} }^1y\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{_{12} }^1z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = c_{_1}^1 & \\III. & \,0\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \left[ {a_{_{22} }^1\frac{ {a_{_{11} }^1} }{ {a_{_{21} }^1} } - a_{_{12} }^1} \right]z = c_{_2}^1\frac{ {a_{_{11} }^1} }{ {a_{_{21} }^1} } - c_{_1}^1 & \end{array}\) Gl. 103

Wieder werden die verbleibenden Koeffizienten durch neue Bezeichner ersetzt:

\(\begin{array}{l}II. & a_{11}^1y\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{12}^1z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = c_1^1 & \\III. & \,0\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_1^2z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = c_1^2 & \end{array}\) mit \(c_1^2 = c_2^1\frac{ {a_{11}^1} }{ {a_{21}^1} } - c_1^1 \) Gl. 104

Die hochgestellten Indize signalisieren, dass es sich nunmehr um Ergebnisse des zweiten Rekursionschrittes handelt.

Ausmultiplizieren ergibt das gesuchte Gleichungssystem in der Dreiecksgestalt:

\(\begin{array}{l}I. & {a_{11} }x\,\,\,\, + \,\,\,\,{a_{12} }y\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\,\,{a_{13} }z = {c_1}\\II. & 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,a_{_{11} }^1y\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\,a_{_{12} }^1z = c_1^1 & \\III. & 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\,a_{11}^2z = c_1^2 & \end{array}\) Gl. 105

Lösung

a) Es ist offenbar, dass zur Lösung des Gleichungssystems zunächst aus Gl. III die Lösung für z, dann durch Einsetzen von z in Gl. II y und zuletzt durch Einsetzen von z und y in Gl. I x gefunden wird.

b) Für den Fall, dass nur der Wert der Koeffizientendeterminante gesucht ist, gilt das für Gl. 97 Gesagte:

\(D = {a_{11} } \cdot a_{11}^1 \cdot a_{11}^2 \cdot ....\) Gl. 106

All die hierfür erforderlichen Schritte sind leicht formalisierbar, so dass selbst große Determinanten rekursiv gelöst werden können.

Achtung: Das Gausssche Verfahren beinhaltet Quotienten, wie z.B. \(\frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{21} } } };\,\,\frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{31} } } }\). Damit besteht die Gefahr einer Division durch 0! Dem kann dadurch begegnet werden, dass durch geeignetes Vertauschen (Pivotisierung) von Zeilen oder Spalten nur durch Elemente ungleich 0 dividiert wird.

Beispiel:

Gegeben sei das Gleichungssystem

\( \begin{array}{l} I. & x + y + z = 3 \\ II. & y - z = 1 \\ III. & x - y + z = - 1 \end{array} \)

Gesucht sind der Wert der Koeffizientendeterminante und die Lösungen des Gleichungssystems.

Rekursion/1. Schritt

Untersuchung auf Divisionen durch 0:

Element a21=0 d.h. Pivotisierung ist erforderlich. Es werden die erste und dritte Spalte gegeneinander vertauscht:

\( \begin{array}{l} I. & z + y + x & = 3 \\ II. & - z + y & = 1 \\ III. & z - y + x & = -1 \end{array} \)

(Diese Vertauschung bleibt ohne jegliche Konsequenz, da für die Addition das Kommutativgesetz gilt.)

Daraus folgen:

\(\begin{array}{l}a_{11}^1 = \left( { {a_{22} } \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{21} } } } - {a_{12} } } \right) = 1\frac{1}{ { - 1} } - 1 = - 2; & a_{12}^1 = \left( { {a_{23} } \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{21} } } } - {a_{13} } } \right) = 0\frac{1}{ { - 1} } - 1 = - 1; & \\c_1^1 = {c_2} \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{21} } } } - {c_1} = 1\frac{1}{ { - 1} } - 3 = - 4 & \\a_{21}^1 = \left( { {a_{32} } \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{31} } } } - {a_{12} } } \right) = 1\frac{1}{ { - 1} } - 1 = - 2; & a_{22}^1 = \left( { {a_{33} } \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{31} } } } - {a_{13} } } \right) = 1\frac{1}{1} - 1 = 0; & \\c_2^1 = {c_3} \cdot \frac{ { {a_{11} } } }{ { {a_{31} } } } - {c_1} = - 1\frac{1}{1} - 3 = - 4; & & \end{array}\)

2.Schritt:

Untersuchung auf Divisionen durch 0 :

Außer a112=0 kein relevantes Element =0, d.h. Pivotisierung nicht erforderlich.

\( a_{11}^2 = \left( {a_{_{22} }^1\frac{ {a_{_{11} }^1} }{ {a_{_{21} }^1} } - a_{_{12} }^1} \right) = 0\frac{ { - 2} }{ { - 2} } - ( - 1) = 1 \\ c_1^2 = c_{_2}^1\frac{ {a_{_{11} }^1} }{ {a_{_{21} }^1} } - c_{_1}^1 = - 4\frac{ { - 2} }{ { - 2} } - ( - 4) = 0 \)

Lösung:

a) \(D = {a_{11} } \cdot a_{11}^1 \cdot a_{11}^2 = 1 \cdot \left( { - 2} \right) \cdot 1 = - 2\)

b) \( x = \frac{ {c_1^2} }{ {a_{11}^2} } = \frac{0}{1} = 0 \\ y = \frac{ {c_1^1 - a_{12}^1x} }{ {a_{11}^1} } = \frac{ { - 4 - \left( { - 1} \right) \cdot 0} }{ { - 2} } = 2 \\ z = \frac{ { {c_1} - {a_{12} }y - {a_{13} }x} }{ { {a_{11} } } } = \frac{ {3 - 1 \cdot 2 - 1 \cdot 0} }{1} = 1 \)

Gauss-Jordan-Algorithmus

Mit dem Gauss-Jordan-Algorithmus ist ein Schema zur Lösung linearer Gleichungssysteme gegeben, das sehr übersichtlich in der Anwendung ist. Das Lösungsprinzip setzt den Gedanken der Umformung des LGS in eine Dreiecksform konsequent fort. Das Ziel besteht jetzt in der Umformung in eine Diagonaldeterminate, in der nur die Diagonalelemente mit 1, alle übrigen mit 0 besetzt sind:

\(\begin{array}{l}I. & 1 \cdot x\,\,\,\, + \,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\,0 = c_1^*\\II. & 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,1 \cdot y\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\,0 = c_2^* & \\III. & 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,1 \cdot z = c_3^* & \end{array}\) Gl. 107

Der Nutzen liegt auf der Hand: in jeder Gleichung kommt nur noch eine Unbekannte vor, die zudem noch mit dem Faktor 1 multipliziert vorliegt. Es gilt also:

\(\begin{array}{l} I. & x\, = c_1^* \\ II. & y = c_2^* & \\ III. & z = c_3^* & \end{array}\) Gl. 108

womit die gesuchte Lösung bereits vorliegt.

Zur Anwendung des Gauss-Jordan-Algorithmus wird das Gleichungssystem in ein Schema nach Gl. 109 überführt:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{...}&{ {a_{1K} } } \\ { {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{...}&{ {a_{2K} } } \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ { {a_{I1} } }&{ {a_{I2} } }&{...}&{ {a_{IK} } } \end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} } {\,\,\,\,{c_1} } \\ {\,\,\,{c_2} }\\{...} \\ {\,\,\,\,{c_I} } \end{array} } \right| \) Gl. 109

Nun wird durch geeignetes Multiplizieren von Zeilen und Addieren zu anderen Zeilen das Schema einer Diagonaldeterminante erreicht. Da bei dieser Operation auch die Störungsglieder cik betroffen sind, gelten die Einschränkungen, die für Manipulationen an Determinanten gelten, nicht. Es dürfen also alle Zeilen mit beliebigen Faktoren multipliziert oder durch Dividenten dividiert werden, ohne dass sich der Wert des Gleichungssystems verändern würde! Im Ergebnis wird

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{a_{11}^*}&0&{...}&0\\0&{a_{22}^*}&{...}&0\\{...}&{...}&{...}&{...}\\0&0&{...}&{a_{IK}^*}\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }{\,\,\,\,c_1^*}\\{\,\,\,c_2^*}\\{...}\\{\,\,\,\,c_I^*}\end{array} } \right| \) Gl. 110

erhalten. Nunmehr werden alle Zeilen auf die aik* normiert, wodurch die endgültige Gestalt nach Gl. 107 erreicht wird.

Beispiel

Gesucht ist die Lösung des LGS

\(\begin{array}{l}x + y + 2z = 3\\\,\,\,\,\,2y - \,\,\,z = 1\\x - y + \,\,\,z = - 1\end{array}\)

Erstellen des GJ-Schemas

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&1&2\\0&2&{ - 1}\\1&{ - 1}&1\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }{\,3}\\{\,1}\\{ - 1}\end{array} } \right|\)

Eliminierungsschritte:

Z3=Z3-Z1: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&1&2\\0&2&{ - 1}\\0&{ - 2}&{ - 1}\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }{\,3}\\{\,1}\\{ - 4}\end{array} } \right|\)

Z3=Z3+Z2: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&1&2\\0&2&{ - 1}\\0&0&{ - 2}\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }{\,3}\\{\,1}\\{ - 3}\end{array} } \right|\)

Z1=2*Z1-Z2: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }2&0&5\\0&2&{ - 1}\\0&0&{ - 2}\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }{\,5}\\{\,1}\\{ - 3}\end{array} } \right|\)

Z2=2*Z2-Z3: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }2&0&5\\0&4&0\\0&0&{ - 2}\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }{\,5}\\{\,5}\\{ - 3}\end{array} } \right|\)

Z1=2*Z1+5*Z3: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }4&0&0\\0&4&0\\0&0&{ - 2}\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }{\, - 5}\\{\,5}\\{ - 3}\end{array} } \right|\)

Normierung:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }{\, - 1,25}\\{\,1,25}\\{1,5}\end{array} } \right| \Rightarrow \) \(\begin{array}{l}x = - 1,25\\y = 1,25\\z = 1,5\end{array}\)

Anwendungen

Approximation von Funktionen

Irrationale Funktionen können in Potenzreihen entwickelt werden. Dieser Ansatz kann auch zur Approximation von Messwerten angewendet werden, um so einen funktionellen Zusammenhang zwischen den Werten herstellen zu können. Damit kann erreicht werden, dass das Verhalten des Messobjektes an Stellen, die noch nicht vermessen wurden, in bestimmten Grenzen vorhergesagt werden kann. Mit dem Ansatz

\(f(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + ..... \) Gl. 111

und einem gegebenen Set von Paaren von Messwerten (xn;y n) wird die Approximation in ein Polynom N-ten Grades vorgenommen. Dazu sind die Koeffizienten in Gl. 111 zu bestimmen. Es ist leicht zu sehen, dass diese Aufgabe in die Lösung eines linearen Gleichungssystems bestehend aus N Gleichungen mit N Unbekannten – nämlich den N Koeffizienten – überführt werden kann. Dazu werden alle N Paare von Messwerten nacheinander in Gl. 111 eingesetzt:

\( \begin{array}{l}{y_1} = {a_0} + {a_1}{x_1} + {a_2}{x_1}^2 + {a_3}{x_1}^3 + ..... + {a_N}{x_1}^N\\{y_2} = {a_0} + {a_1}{x_2} + {a_2}{x_2}^2 + {a_3}{x_2}^3 + ..... + {a_N}{x_2}^N\\{y_3} = {a_0} + {a_1}{x_3} + {a_2}{x_3}^2 + {a_3}{x_3}^3 + ..... + {a_N}{x_3}^N\\\\{y_n} = {a_0} + {a_1}{x_n} + {a_2}{x_n}^2 + {a_3}{x_n}^3 + ..... + {a_N}{x_n}^N & u.s.w. & \end{array} \) Gl. 112

Beachte: nicht die xn sind die unbekannten Größen, sondern die Koeffizienten an!

In Determinantenschreibweise lautet die Lösung z.B. für den Koeffizienten a0:

\( D = \left|{ \begin{array}{*{20}{c} } 1&{ {x_1} }&{x_1^2}&{...}&{x_1^N}\\1&{ {x_2} }&{x_2^2}&{...}&{x_2^N}\\1&{ {x_3} }&{x_3^2}&{...}&{x_3^N}\\{...}&{...}&{...}&{x_{_n}^n}&{...}\\1&{ {x_N} }&{x_N^2}&{...}&{x_{_N}^N}\end{array} }\right| \qquad {D_{ {a_0} } } = \left|{ \begin{array}{*{20}{c} }{ {y_1} }&{ {x_1} }&{x_1^2}&{...}&{x_1^N}\\{ {y_2} }&{ {x_2} }&{x_2^2}&{...}&{x_2^N}\\{ {y_3} }&{ {x_3} }&{x_3^2}&{...}&{x_3^N}\\{...}&{...}&{...}&{x_{_n}^n}&{...}\\{ {y_N} }&{ {x_N} }&{x_N^2}&{...}&{x_{_N}^N}\end{array} }\right| \) Gl. 113

nach der Cramerschen Regel ergibt sich der Wert für den Koeffizienten a0 zu:

\({a_0} = \frac{ { {D_{ {a_0} } } } }{D}\) Gl. 114

analog ergeben sich dann auch die weiteren Koeffizienten nach den Regeln der Determinantenrechnung.

Beispiel:

Gegeben sind die vier Werte-Paare (-2;1), (-1;0), (1;0) und (2;-2) einer Messreihe. Welcher Wert ist an der Stelle x = 0,5 zu erwarten?

Lösung:

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 2}&4&{ - 8}\\1&{ - 1}&1&{ - 1}\\1&1&1&1\\1&2&4&8\end{array} } \right|\,\,\,\,\,\,\,\) \({D_{ {a_0} } } = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 2}&4&{ - 8}\\0&{ - 1}&1&{ - 1}\\0&1&1&1\\{ - 2}&2&4&8\end{array} } \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,{D_{ {a_1} } } = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&1&4&{ - 8}\\1&0&1&{ - 1}\\1&0&1&1\\1&{ - 2}&4&8\end{array} } \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{D_{ {a_2} } } = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 2}&1&{ - 8}\\1&{ - 1}&0&{ - 1}\\1&1&0&1\\1&2&{ - 2}&8\end{array} } \right|\,\,\,\,\,\,\,\,{D_{ {a_3} } } = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 2}&4&1\\1&{ - 1}&1&0\\1&1&1&0\\1&2&4&{ - 2}\end{array} } \right|\,\)

und \({a_0} = \frac{ { {D_{ {a_0} } } } }{D};\,\,\,\,\,{a_1} = \frac{ { {D_{ {a_1} } } } }{D};\,\,\,\,{a_2} = \frac{ { {D_{ {a_2} } } } }{D};\,\,\,\,{a_3} = \frac{ { {D_{ {a_3} } } } }{D}\)

Bestimmung der Koeffizienten-Determinante:

1. Vereinfachung durch Erzeugen von Nullen in der ersten Spalte der 2. bis 4. Zeile.

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 2}&4&{ - 8}\\1&{ - 1}&1&{ - 1}\\1&1&1&1\\1&2&4&8\end{array} } \right|\, = \,\left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 2}&4&{ - 8}\\0&1&{ - 3}&7\\0&3&{ - 3}&9\\0&4&0&{16}\end{array} } \right|\, = 1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 3}&7\\3&{ - 3}&9\\4&0&{16}\end{array} } \right|\, = - 48 - 108 + 84 + 144 = 72\,\,\,\)

analog dazu erfolgt die Berechnung der Zählerdeterminanten:

\( {D_{ {a_0} } } = \left|{ \begin{array}{*{20}{c} } 1 & {-2} & 4 & {-8} \\ 0 & { - 1} & 1 & {-1} \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ {-2} & 2 & 4 & 8 \end{array} } \right| \, = \, \left|{ \begin{array}{*{20}{c} } 1 & {-2} & 4 & {-8} \\ 0 & { - 1} & 1 & {-1} \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & { - 2} & {12} & {-8} \end{array} } \right| = 1 \cdot \left|{ \begin{array}{*{20}{c} }{ - 1} & 1 & {-1} \\ 1 & 1 & 1\\{ - 2} & {12} & {- 8} \end{array} } \right| \, = 8 - 2 - 12 - 2 + 12 + 8 = 12 \Rightarrow {a_0} = \frac{1}{6} \)

\( {D_{ {a_1} } } = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&1&4&{ - 8}\\1&0&1&{ - 1}\\1&0&1&1\\1&{ - 2}&4&8\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&1&4&{ - 8}\\1&0&1&{ - 1}\\1&0&1&1\\3&0&{12}&{ - 8}\end{array} } \right| = \left( { - 1} \right) \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&1&{ - 1}\\1&1&1\\3&{12}&{ - 8}\end{array} } \right| = - \left( { - 8 + 3 - 12 + 3 - 12 + 8} \right) = 18 \Rightarrow {a_1} = \frac{1}{4} \)

\( {D_{ {a_2} } } = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 2}&1&{ - 8}\\1&{ - 1}&0&{ - 1}\\1&1&0&1\\1&2&{ - 2}&8\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 2}&1&{ - 8}\\1&{ - 1}&0&{ - 1}\\1&1&0&1\\3&{ - 2}&0&{ - 8}\end{array} } \right|\, = 1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 1}&{ - 1}\\1&1&1\\3&{ - 2}&{ - 8}\end{array} } \right|\, = - 8 - 3 + 2 + 3 + 2 - 8 = - 12 \Rightarrow {a_2} = - \frac{1}{6} \)

\( {D_{ {a_3} } } = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 2}&4&1\\1&{ - 1}&1&0\\1&1&1&0\\1&2&4&{ - 2}\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 2}&4&1\\1&{ - 1}&1&0\\1&1&1&0\\3&{ - 2}&{12}&0\end{array} } \right| = \left( { - 1} \right) \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 1}&1\\1&1&1\\3&{ - 2}&{12}\end{array} } \right| = - \left( {12 - 3 - 2 - 3 + 2 + 12} \right) = - 18 \Rightarrow {a_3} = - \frac{1}{4} \)

Damit lautet die approximierende Funktion:

\(y = \frac{1}{6} + \frac{1}{4}x - \frac{1}{6}{x^2} - \frac{1}{4}{x^3} \)

und die gesuchte Lösung lautet:

\( y(0,5)=0,219 \)

Graph der approximierenden Funktion

Bei der Auswahl der Wertepaare ist darauf zu achten, dass nur linear unabhängige Paare verwendet werden. Andernfalls führt das zu überbestimmten Gleichungssystemen.

Beispiel 2:

Gegeben sind die drei Werte-Paare (-2;1), (-1;0) und (1;-2) einer Messreihe gegeben. Welche Funktion approximiert diese Werte?

Lösung:

\(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 2}&4\\1&{ - 1}&1\\1&1&1\end{array} } \right|\, = - 1 - 2 + 4 + 4 - 1 + 2 = 6\\\,\,\,\,\,\,\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{a_0} = \frac{1}{6}\left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 2}&4\\0&{ - 1}&1\\{ - 2}&1&1\end{array} } \right|\, = \frac{1}{6}\left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 2}&4\\0&{ - 1}&1\\0&{ - 3}&9\end{array} } \right| = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ - 1}&1\\{ - 3}&9\end{array} } \right| = - 1\\\,\,\,\,\,\,\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{a_1} = \frac{1}{6}\left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&1&4\\1&0&1\\1&{ - 2}&1\end{array} } \right|\, = \frac{1}{6}\left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&1&4\\1&0&1\\3&0&9\end{array} } \right| = \frac{1}{6} \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&1\\3&9\end{array} } \right| = - 1\\\,\,\,\,\,\,\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{a_2} = \frac{1}{6}\left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 2}&1\\1&{ - 1}&0\\1&1&{ - 2}\end{array} } \right|\, = \frac{1}{6}\left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&1&1\\1&{ - 1}&0\\3&{ - 3}&0\end{array} } \right| = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&{ - 1}\\3&{ - 3}\end{array} } \right| = 0 \\ \end{array}\)

Damit lautet die approximierende Funktion: \(y = - 1 - x\)

Für die angegebenen Punkte ergibt sich eine lineare Funktion, einer der drei Messwerte ist überbestimmt!

Für den praktischen Gebrauch ist dieses Verfahren aber wenig geeignet. Einerseits ist der Berechnungsaufwand für die Koeffizienten des approximierenden Polynoms verhältnismäßig hoch, andererseits können weitere Wunscheigenschaften, wie etwa Flachheit (flatness) oder Steigungsanforderungen in bestimmten Stützpunkten nicht erfüllt werde. Andere Approximationen wie z.B. die SPLINE-Approximation sind daher wesentlich besser für diese Aufgabe geeignet.

Berechnung der Fläche beliebiger Dreiecke

Die gesuchte Fläche des grünen Dreiecks ergibt sich nach Abbildung 17 aus der Fläche des gelben Dreiecks (0;0 x2;0 x2;y2) abzüglich der Dreiecksfläche (0;0 x1;0 x1;y1) sowie der Trapezfläche ( x1;0 x2;0 x2;y2 x1;y1 ) .

\( F = \frac{1}{2}{x_2}{y_2} - \frac{1}{2}{x_1}{y_1} - \left( { {x_2} - {x_1} } \right)\frac{1}{2}\left( { {y_1} + {y_2} } \right) \) Gl. 115

\( \begin{array}{l}\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left[ { {x_2}{y_2} - {x_1}{y_1} - {x_2}{y_1} + {x_1}{y_1} - {x_2}{y_2} + {x_1}{y_2} } \right]\\\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left[ { {x_1}{y_2} - {x_2}{y_1} } \right]\end{array} \)

Fläche des grünen Dreiecks Abbildung 17

Der in eckigen Klammern stehende Ausdruck kann auch als eine Determinante ausgedrückt werden:

\(F = \frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {x_1} }&{ {y_1} }\\{ {x_2} }&{ {y_2} }\end{array} } \right|\) Gl. 116

Liegt nun das Dreieck, dessen Fläche gesucht ist, nicht im Koordinatenursprung (Abbildung 18), muss eine Koordinatentransformation vorgenommen werden, um das Ergebnis von Gl. 116 weiter verwenden zu können.

Koordinatentransformation Abbildung 18

Mit der Transformation

\(\begin{array}{l}{x_1} \to {x_1} - {x_3}\\{x_2} \to {x_2} - {x_3}\\{y_1} \to {y_1} - {y_3}\\{y_2} \to {y_2} - {y_3}\end{array}\) Gl. 117

wird Gl. 116 in

\(F = \frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{\left( { {x_1} - {x_3} } \right)}&{\left( { {y_1} - {y_3} } \right)}\\{\left( { {x_2} - {x_3} } \right)}&{\left( { {y_2} - {y_3} } \right)}\end{array} } \right|\) Gl. 118

überführt.

Nach Abschnitt Eigenschaften drei- und mehrreihiger Determinanten wird die Determinante nach Gl. 118 durch Rändern erweitert:

\(F = \frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{\left( { {x_1} - {x_3} } \right)}&{\left( { {y_1} - {y_3} } \right)}&0\\{\left( { {x_2} - {x_3} } \right)}&{\left( { {y_2} - {y_3} } \right)}&0\\a&b&1\end{array} } \right|\) Gl. 119

Das hinzugefügte Element a33=1 verursacht, dass das Vorzeichen positiv ist.

Da die Größen a und b frei gewählt werden dürfen, werden a = x3 und b = y3 gewählt:

\(F = \frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{\left( { {x_1} - {x_3} } \right)}&{\left( { {y_1} - {y_3} } \right)}&0\\{\left( { {x_2} - {x_3} } \right)}&{\left( { {y_2} - {y_3} } \right)}&0\\{ {x_3} }&{ {y_3} }&1\end{array} } \right|\) Gl. 120

Eigenschaft h bei Eigenschaften zweireihiger Determinaten besagt, dass sich der Wert einer Determinante nicht ändert, wenn Vielfache einer Zeile zu anderen Zeilen addiert wird. Daher kann die dritte Zeile zu der ersten bzw. zweiten Zeile hinzu addiert werden:

\(F = \frac{1}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {x_1} }&{ {y_1} }&1\\{ {x_2} }&{ {y_2} }&1\\{ {x_3} }&{ {y_3} }&1\end{array} } \right|\) Gl. 121

Damit ist eine handliche Berechnungsvorschrift für beliebige Dreiecke an beliebigen Positionen im Koordinatensystem gegeben.

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