Wissen: Geraden

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Punkt-Richtungs-Form

Im kartesischen Koordinatensystem werden Punkte durch ein Koordinatenpaar (x, y) eindeutig bestimmt. Eine Strecke hingegen durch ihre Länge (Betrag) und ihre Richtung (Steigung) (siehe Abbildung).

Strecke zwischen zwei Punkten Abbildung 9
Abbildung 9: Strecke zwischen zwei Punkten

Die Strecke zwischen einem festen Punkt P1 und einem beliebigen Punkt P ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras zu

\( \overline { {P_1}P} = \sqrt { { {\left( {x - {x_1} } \right)}^2} + { {\left( {y - {y_1} } \right)}^2} } \) Gl. 53

während die Richtung bzw. die Steigung durch

\(\tan \alpha = \frac{ {y - {y_1} } }{ {x - {x_1} } } = m\) Gl. 54

gegeben ist.

Aus dieser Gleichung wird durch Umstellen die Punkt-Richtungs-Form der Geradengleichung gewonnen:

\(y - {y_1} = m \cdot \left( {x - {x_1} } \right)\) Gl. 55

Achsenabschnittsform

Liegt kein bekannter Punkt vor, von dem aus die Gerade abgeleitet werden kann, bietet sich die Verwendung der Achsenabschnittsform nach an (siehe Abbildung):

\(1 = \frac{x}{a} + \frac{y}{b}\) Gl. 56

Allerdings kann diese Form nur unter gewissen Bedingungen angewendet werden:

  • Die Gerade darf weder zur x-Achse, noch zur y-Achse parallel verlaufen (⇒ a, b = ∞)
  • Die Gerade darf nicht durch den Ursprung gehen (⇒ a, b = 0).
Gerade ab Abbildung 10
Abbildung 10: Gerade ab

Die Gleichung \(1 = \frac{x}{a} + \frac{y}{b}\) kann leicht in die bekannte Form der Geradengleichung überführt werden mit \( m = - \frac{b}{a} \) zu:

\(y = m \cdot x + c = - \frac{b}{a} \cdot x + b\) Gl. 57

Allgemeine Geradengleichung

Die Abschnittsform nach \( 1 = \frac{x}{a} + \frac{y}{b} \) wird so umgeformt, dass die Bestimmenden der Geraden als ungebrochene Faktoren, d.h. als Koeffizienten der Variablen x und y auftreten:

\( 1 = \frac{x}{a} + \frac{y}{b} \Rightarrow bx + ay = ab \) Gl. 58

oder allgemeiner

\( {a_1}x + {a_2}y = c \) Gl. 59

Vorteilhaft an dieser Darstellungsart ist, dass die einschränkenden Bestimmungen, die für Gleichung \(1 = \frac{x}{a} + \frac{y}{b}\) gemacht werden mussten, hier nicht notwendig sind. Daher ist diese Darstellung allgemeiner gültig.

Dennoch kann die allgemeine Darstellung wieder in die anderen Formen zurückgeführt werden. Die Schnittpunkte der Geraden mit den Abszissen sind dann durch

\({x_1} = \frac{c}{ { {a_1} } };\,\,{y_1} = 0 \text{ und } {x_2} = 0;\,\,{y_2} = \frac{c}{ { {a_2} } }\) Gl. 60

gegeben.

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