Wissen: Inverse Matrix

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Einführung Inverse Matrix

Die Division als Rechenoperation ist für Matrizen nicht definiert.

Dennoch steht die Aufgabe, für

\(A \cdot {A^{ - 1} } = I \) Gl. 177

eine Lösung zu finden. Die Matrix A-1 wird als inverse Matrix, reziproke Matrix oder auch als Kehrwertmatrix bezeichnet.

Nicht immer kann eine Kehrwertmatrix gefunden werden, beispielsweise wenn der Wert der Matrix verschwindet: det(A)=0. In einem solchen Fall heißt die Matrix singulär, andernfalls regulär.

Berechnung der Kehrwertmatrix

Einführung

Es wird also eine Matrix B gesucht, die mit der gegebenen Matrix A multipliziert, die Einheitsmatrix I ergibt, also reziprok zu A ist.

\(A \cdot B = I \) Gl. 178

Voraussetzungen hierfür sind,

  • die Matrix A ist quadratisch.
  • die Matrix A ist regulär, also det(A) ¹ 0.

Die Invertierung einer Matrix soll am Beispiel einer Matrix mit dem Rang r=2 ausgeführt werden.

\(A \cdot B = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {b_{11} } }&{ {b_{12} } }\\{ {b_{21} } }&{ {b_{22} } }\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&0\\0&1\end{array} } \right)\) Gl. 179

Das Ausmultiplizieren ergibt vier Gleichungen mit vier Unbekannten:

\( \begin{array}{l} I. & {a_{11} } \cdot {b_{11} } & \quad & + {a_{12} } \cdot {b_{21} } & \quad & = 1 \\ II. & \quad & {a_{11} } \cdot {b_{12} } & \quad & + {a_{12} } \cdot {b_{22} } & = 0 \\ III. & {a_{21} } \cdot {b_{11} } & \quad & + {a_{22} } \cdot {b_{21} } & \quad & = 0 \\ IV. & \quad & {a_{21} } \cdot {b_{12} } & \quad & + {a_{22} } \cdot {b_{22} } & = 1 \end{array} \) Gl. 180

Dieses Gleichungssystem, in dem die bik die gesuchten Unbekannten sind, kann durch eine Determinante beschrieben und gelöst werden:

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&0&{ {a_{12} } }&0\\0&{ {a_{11} } }&0&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&0&{ {a_{22} } }&0\\0&{ {a_{21} } }&0&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = {a_{11} }^2 \cdot {a_{22} }^2 - {a_{11} } \cdot {a_{12} } \cdot {a_{21} } \cdot {a_{22} } + {a_{12} }^2 \cdot {a_{21} }^2 - {a_{11} } \cdot {a_{12} } \cdot {a_{21} } \cdot {a_{22} }\) Gl. 181

Unter Anwendung der 2. Binomischen Formel:

\( = {a_{11} }^2 \cdot {a_{22} }^2 - 2 \cdot {a_{11} } \cdot {a_{12} } \cdot {a_{21} } \cdot {a_{22} } + {a_{12} }^2 \cdot {a_{21} }^2 = {\left( { {a_{11} } \cdot {a_{22} } - {a_{12} } \cdot {a_{21} } } \right)^2} = {\left( {\det \left( A \right)} \right)^2}\) Gl. 182

D.h. der Wert der Koeffizientendeterminante der unbekannten Koeffizienten bik ist gleich dem Quadrat der Determinante der zu invertierenden Matrix A!

Die unbekannten Koeffizienten werden nach der Cramerschen Regel berechnet. Von Vorteil ist, dass die Störung aus nur zwei von 0 verschiedenen Elementen besteht, die zudem noch gleich 1 sind. Zunächst werden aber die Zählerdeterminanten berechnet:

\({D_{ {b_{11} } } } = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }1&0&{ {a_{12} } }&0\\0&{ {a_{11} } }&0&{ {a_{12} } }\\0&0&{ {a_{22} } }&0\\1&{ {a_{21} } }&0&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&0&{ {a_{12} } }\\0&{ {a_{22} } }&0\\{ {a_{21} } }&0&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| - \left| {\begin{array}{*{20}{c} }0&{ {a_{12} } }&0\\{ {a_{11} } }&0&{ {a_{12} } }\\0&{ {a_{22} } }&0\end{array} } \right| = {a_{11} } \cdot {a_{22} }^2 - {a_{22} } \cdot {a_{12} } \cdot {a_{21} } - 0 = {a_{22} } \cdot \det \left( A \right)\) Gl. 183

und analog dazu

\({D_{ {b_{12} } } } = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&1&{ {a_{12} } }&0\\0&0&0&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&0&{ {a_{22} } }&0\\0&1&0&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = 0 + \left( { {a_{12} }^2 \cdot {a_{21} } - {a_{11} } \cdot {a_{12} } \cdot {a_{22} } } \right) = - {a_{12} } \cdot \det \left( A \right)\) Gl. 184

\({D_{ {b_{21} } } } = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&0&1&0\\0&{ {a_{11} } }&0&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&0&0&0\\0&{ {a_{21} } }&1&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = {a_{12} } \cdot {a_{21} }^2 - {a_{11} } \cdot {a_{21} } \cdot {a_{22} } - 0 = - {a_{21} } \cdot \det \left( A \right)\) Gl. 185

\({D_{ {b_{22} } } } = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} } }&0&{ {a_{12} } }&1\\0&{ {a_{11} } }&0&0\\{ {a_{21} } }&0&{ {a_{22} } }&0\\0&{ {a_{21} } }&0&1\end{array} } \right| = 0 + \left( { {a_{11} }^2 \cdot {a_{22} } - {a_{11} } \cdot {a_{12} } \cdot {a_{21} } } \right) = {a_{11} } \cdot \det \left( A \right)\) Gl. 186

es folgt

\( \begin{array}{l}{b_{11} } = \frac{ { {D_{ {b_{11} } } } } }{D} = \frac{ { {a_{22} } \cdot \det \left( A \right)} }{ { { {\left( {\det \left( A \right)} \right)}^2} } } = \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }{a_{22} }; & \\{b_{12} } = - \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }{a_{12} }; & {b_{21} } = - \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }{a_{21} }; & {b_{22} } = \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }{a_{11} }\end{array} \) Gl. 187

Schließlich ergibt sich die gesuchte Kehrwertmatrix zu

\(B = {A^{ - 1} } = \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{22} } }&{ - {a_{12} } }\\{ - {a_{21} } }&{ {a_{11} } }\end{array} } \right)\) Gl. 188

Offenbar sind die bik identisch mit den Adjunkten der Ausgangsmatrix, allerdings mit vertauschten Indize:

\({b_{ik} } = \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }{A_{ki} }\) Gl. 189

also

\( {A^{ - 1} } = \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {A_{11} } }&{ {A_{21} } }\\{ {A_{12} } }&{ {A_{22} } }\end{array} } \right) = \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }{\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {A_{11} } }&{ {A_{12} } }\\{ {A_{21} } }&{ {A_{22} } }\end{array} } \right)^T} \) Gl. 190

Die Probe

\( A \cdot {A^{-1} } = \left( {\begin{array}{*{20}{c} } { {a_{11} } } & { {a_{12} } } \\ { {a_{21} } } & { {a_{22} } } \end{array} } \right) \frac{1}{ {\det \left( A \right)} } \left( {\begin{array}{*{20}{c} } { {a_{22} } } & { - {a_{12} } } \\ { -{a_{21} } } & { {a_{11} } } \end{array} } \right) \) Gl. 191

\( = \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {a_{11} }{a_{22} } - {a_{12} }{a_{21} } }&{ - {a_{11} }{a_{12} } + {a_{11} }{a_{12} } }\\{ {a_{22} }{a_{21} } - {a_{22} }{a_{21} } }&{ {a_{11} }{a_{22} } - {a_{12} }{a_{21} } }\end{array} } \right)\)

\( = \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{\det \left( A \right)}&0\\0&{\det \left( A \right)}\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&0\\0&1\end{array} } \right)\)

zeigt, dass das Produkt aus Ausgangsmatrix und Kehrwertmatrix tatsächlich die Einheitsmatrix ergibt.

Allgemeingültige Rechenvorschrift

Für beliebig große quadratische Matrizen gilt der gleiche Ansatz:

\( A · B = \left( { \begin{array}{*{20}{c} } { {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{...}&{ {a_{1L} } } \\ { {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{...}&{ {a_{2L} } } \\ {...}&{...}&{ {a_{il} } }&{...} \\ { {a_{I1} } }&{ {a_{I2} } }&{...}&{ {a_{IL} } } \end{array} } \right). \left( { \begin{array}{*{20}{c} } { {b_{11} } }&{ {b_{12} } }&{...}&{ {b_{1K} } } \\ { {b_{21} } }&{ {b_{22} } }&{...}&{ {b_{2K} } } \\ {...}&{...}&{ {b_{lk} } }&{...} \\ { {b_{L1} } }&{ {b_{L2} } }&{...}&{ {b_{LK} } } \end{array} } \right) = \left( { \begin{array}{*{20}{c} } 1&0&{...}&0 \\ 0&1&{...}&0 \\ {...}&{...}&1&{...} \\ 0&0&{...}&1 \end{array} } \right); \quad I = L = K \) Gl. 192

Demnach muss nach den Regeln der Multiplikation gelten:

\( \sum\limits_{l = 1}^L { {a_{il} } } \cdot {b_{lk} } = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c} }1&{i = k}\\0&{i \ne k}\end{array} } \right. \) Gl. 193

Genau diese Bedingung wird durch die Adjunkte der Determinante der Matrix A erfüllt. Wenn nämlich diese Determinante nach ihren Adjunkten entwickelt wird (Abschnitt Entwickeln einer Determinante nach ihren Unterdeterminanten (Adjunkte) und Eigenschaften zweireihiger Determinaten (d)), gilt:

\( \left| A \right| = \sum\limits_{l = 1}^L { {a_{il} } } \cdot {A_{il} } \quad \text{ sonst } \quad 0 = \sum\limits_{l = 1}^L { {a_{il} } } \cdot {A_{jl} } \quad j \ne i \) Gl. 194

Dividieren durch |A| ergibt:

\( \left. {\begin{array}{*{20}{c} }1\\0\end{array} } \right\} = \sum\limits_{l = 1}^L { {a_{il} } } \frac{ { {A_{jl} } } }{ {\left| A \right|} } \quad \begin{array}{*{20}{c} }{j = i}\\{j \ne i}\end{array} \) Gl. 195

Der Vergleich mit Gl. 193 zeigt, dass die gesuchten Koeffizienten der Kehrwertmatrix wie folgt ermittelt werden:

\( {b_{lk} } = \frac{ { {A_{il} } } }{ {\left| A \right|} } \quad \text{ für i=k } \quad \Rightarrow \quad {b_{lk} } = \frac{ { {A_{kl} } } }{ {\left| A \right|} } \) Gl. 196

Erinnern wir uns: Die Matrix A ist quadratisch, folglich kann der Index l auch durch den Index i ersetzt werden:

\({b_{ik} } = \frac{ { {A_{ki} } } }{ {\left| A \right|} }\) Gl. 197

Was letztlich zu der gesuchten Kehrwertmatrix führt:

\({A^{ - 1} } = \frac{1}{ {\left| A \right|} }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ {A_{11} } }&{ {A_{21} } }&{...}&{ {A_{K1} } }\\{ {A_{12} } }&{ {A_{22} } }&{...}&{ {A_{K2} } }\\{...}&{...}&{ {A_{kl} } }&{...}\\{ {A_{1L} } }&{ {A_{2L} } }&{...}&{ {A_{KL} } }\end{array} } \right)\) Gl. 198

Beachte, dass die Adjunkte stets transponiert zu den Orten ihrer zugehörigen Koeffizienten auftreten. Unter Berücksichtigung der quadratischen Gestalt, d.h. I=L=K wird obige Gl. 198 so dargestellt, dass die Adjunkte an den Orten ihrer Koeffizienten erscheinen:

\( {A^{ - 1} } = \frac{1}{ {\left| A \right|} } { \left( { \begin{array}{*{20}{c} } { {A_{11} } }&{ {A_{12} } }&{...}&{ {A_{1I} } } \\ { {A_{21} } }&{ {A_{22} } }&{...}&{ {A_{2I} } } \\ {...}&{...}&{ {A_{ii} } }&{...} \\ { {A_{I1} } }&{ {A_{I2} } }&{...}&{ {A_{II} } } \end{array} } \right)^T } \) Gl. 199

Beispiel:

Gesucht ist die zur Matrix \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }3&7&3\\1&{ - 1}&3\\3&2&1\end{array} } \right)\) inverse Matrix.

Die Berechnung erfolgt schrittweise:

1. Berechnung des Wertes der Matrix \(\det A = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }3&7&3\\1&{ - 1}&3\\3&2&1\end{array} } \right| = - 3 + 63 + 6 + 9 - 18 - 7 = 50\)

2. Berechnung aller Adjunkte

\( \begin{array}{l} {A_{11} } = - 1 - 6 = - 7; & {A_{12} } = - (1 - 9) = 8; & {A_{13} } = 2 + 3 = 5 \\ {A_{21} } = - (7 - 6) = - 1; & {A_{22} } = 3 - 9 = -6; & {A_{23} } = - (6 - 21) = 15 \\ {A_{31} } = 21 + 3 = 24; & {A_{32} } = - (9 - 3) = - 6; & {A_{33} } = - 3 - 7 = - 10 \end{array} \)

Nunmehr ergibt sich die Kehrwertmatrix zu \({A^{ - 1} } = \frac{1}{ {50} }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ - 7}&{ - 1}&{24}\\8&{ - 6}&{ - 6}\\5&{15}&{ - 10}\end{array} } \right)\)

Als Nachweis für die Richtigkeit der invertierten Matrix werden Ausgangsmatrix und invertierte Matrix miteinander multipliziert:

\(A \cdot {A^{ - 1} } = \frac{1}{ {50} }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }3&7&3\\1&{ - 1}&3\\3&2&1\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ - 7}&{ - 1}&{24}\\8&{ - 6}&{ - 6}\\5&{15}&{ - 10}\end{array} } \right)\,\, = \frac{1}{ {50} }\left( {\begin{array}{*{20}{c} }{ - 21 + 56 + 15}&{ - 3 - 42 + 45}&{72 - 42 - 30}\\{ - 7 - 8 + 15}&{ - 1 + 6 + 45}&{24 + 6 - 30}\\{ - 21 + 16 + 5}&{ - 3 - 12 + 15}&{72 - 12 - 10}\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array} } \right)\)

q.e.d.

Gauss-Jordan-Algorithmus

Zur Berechnung inverser Matrizen wird das Gauss-Jordan-Schema erweitert:

\( \left| { \begin{array}{*{20}{c} } { {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{...}&{ {a_{1K} } } \\ { {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{...}&{ {a_{2K} } } \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ { {a_{I1} } }&{ {a_{I2} } }&{...}&{ {a_{IK} } } \end{array} } \right|\left. { \begin{array}{*{20}{c} } 1&0&{...}&0 \\ 0&1&{...}&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&{...}&1 \end{array} } \right| \) Gl. 200

Auf der linken Seite des Schemas befinden sich alle Koeffizenten der zu invertierenden Matrix, auf der rechten Seite die Koeffizienten einer in der Größe passenden Einheitsmatrix.

Nun wird durch geeignetes Multiplizieren von Zeilen und Addieren zu anderen Zeilen auf der linken Seite wieder das Schema einer Diagonalmatrix erreicht. Schließlich wird durch das Normalisieren aller Zeilen auf die Diagonalkoeffizienten erreicht, dass die Einheitsmatrix auf der linken Seite des Schemas erscheint:

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} } {a_{11}^*}&0&{...}&0 \\ 0&{a_{22}^*}&{...}&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&{...}&{a_{IK}^*} \end{array} } \right|\left. {\begin{array} {*{20}{c} }{ {b_{11} } }&{ {b_{12} } }&{...}&{ {b_{1K} } } \\ { {b_{21} } }&{ {b_{22} } }&{...}&{ {b_{2K} } } \\ {...}&{...}&{ {b_{ik} } }&{...} \\ { {b_{I1} } }&{ {b_{I2} } }&{...}&{ {b_{IK} } } \end{array} } \right| \) Gl. 201

Die gefundenen bik sind die Koeffizienten der gesuchten Kehrwertmatrix.

Beispiel:

Gesucht ist die zur Matrix \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c} }3&7&3\\1&{ - 1}&3\\3&2&1\end{array} } \right)\) inverse Matrix.

GJ-Schema:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }3&7&3\\1&{ - 1}&3\\3&2&1\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array} } \right|\)

Eliminationsschritte:

Z1=Z1+7*Z2, Z3=Z3+2*Z2: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{10}&0&{24}\\1&{ - 1}&3\\5&0&7\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }1&7&0\\0&1&0\\0&2&1\end{array} } \right|\)

Z2=10*Z2-Z1, Z3=2*Z3-Z1: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{10}&0&{24}\\0&{ - 10}&6\\0&0&{ - 10}\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }1&7&0\\{ - 1}&3&0\\{ - 1}&{ - 3}&2\end{array} } \right|\)

Z1=5*Z1+12*Z3, Z2=5*Z2+3*Z3: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c} }{50}&0&0\\0&{ - 50}&0\\0&0&{ - 10}\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} }{ - 7}&{ - 1}&{24}\\{ - 8}&6&6\\{ - 1}&{ - 3}&2\end{array} } \right|\)

Normieren:

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} } {50}&0&0 \\ 0&{ - 50}&0 \\ 0&0&{ - 10}\end{array} } \right|\left. {\begin{array}{*{20}{c} } { - 7}&{ - 1}&{24} \\ { - 8}&6&6 \\ { - 1}&{ - 3}&2\end{array} } \right| \) ⇒ \( \left| {\begin{array}{*{20}{c} } 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} } \right| \left. { \begin{array}{*{20}{c} } \frac{-7}{50} & \frac{-1}{50} & \frac{24}{50} \\ \frac{-8}{-50} & \frac{6}{-50} & \frac{6}{-50} \\ \frac{-1}{-10} & \frac{-3}{-10} & \frac{2}{-10} \end{array} } \right| \)

Die inverse Matrix lautet damit:

\({A^{ - 1} } = \left( { \begin{array}{*{20}{c} } \frac{-7}{50} & \frac{-1}{50} & \frac{24}{50} \\ \frac{-8}{-50} & \frac{6}{-50} & \frac{6}{-50} \\ \frac{-1}{-10} & \frac{-3}{-10} & \frac{2}{-10} \end{array} } \right) = \frac{1}{ {50} } · \left( { \begin{array}{*{20}{c} } {-7}&{-1}&{24} \\ 8&{-6}&{-6} \\ 5&{15}&{-10} \end{array} } \right) \)

Rechenregeln für inverse Matrizen

a) Die Inversion einer Kehrwertmatrix erzeugt die Ausgangsmatrix.

\({\left( { {A^{ - 1} } } \right)^{ - 1} } = A\) Gl. 202

b) Das invertierte Produkt zweier Matrizen führt zu einer Vertauschung der Faktoren der invertierten Einzelmatrizen.

\({\left( {A \cdot B} \right)^{ - 1} } = {B^{ - 1} } \cdot {A^{ - 1} }\) Gl. 203

c) Transponierung und Inversion sind vertauschbar.

\({\left( { {A^T} } \right)^{ - 1} } = {\left( { {A^{ - 1} } } \right)^T}\) Gl. 204

d) Der Wert einer Kehrwertmatrix ist gleich dem Kehrwert der Ausgangsmatrix.

\(\det \left( { {A^{ - 1} } } \right) = \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }\) Gl. 205

e) Der Wert des Produktes einer Matrix mit ihrer Kehrwertmatrix ist gleich eins.

\(\left| {\left( {A \cdot {A^{ - 1} } } \right)} \right| = \left| I \right| = 1\) Gl. 206

f) folgt aus e)

\({A^1} \cdot {A^{ - 1} } = {A^0} = I\) Gl. 207

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