Wissen: Koordinatensysteme

Autor: Dr. Volkmar Naumburger ❤️ Bedanken

Einführung Koordinatensysteme

Wofür wird ein Koordinatensystem gebraucht? Mithilfe eines Koordinatensystems lassen sich Punkte eines Raumes beschreiben. Ein Punkt eines Raumes wird im gewählten Koordinatensystem durch Angabe von Zahlenwerten, Koordinaten genannt, eindeutig bestimmt. Mittels einzelner Punkte lassen sich dann durch mehrere Punkte bestimmte Objekte (Linien, Abstände, Flächen, Körper) angeben.

Die Anzahl der zur Beschreibung notwendigen Werte entspricht der Dimension des Raumes (oft als n abgekürzt). Man fasst die Koordinaten eines n-dimensionalen Raumes dann auch als ein n-Tupel von Koordinaten auf.

Koordinatensysteme werden daher u. a.

• zur grafischen Darstellung funktioneller Zusammenhänge oder

• zur geometrischen Darstellung von Körpern benötigt.

Je nach Aufgabenbereich sind unterschiedlichste Koordinatensysteme gebräuchlich.

Für die Ziele, die diese Vorlesung verfolgt, wird vorausgesetzt, dass die verwendeten Koordinatensysteme orthogonal und im euklidischen Sinn eben sind. Dem gemäß finden hier das kartesische Koordinatensystem (DESCARTES René, 1596-1650) und das Polar-Koordinatensystem Anwendung.

Kartesisches Koordinatensystem und Polarkoordinatensystem Abbildung 5

Kartesisches Koordinatensystem

Ein kartesisches Koordinatensystem (siehe obige Abbildung, links) ist ein orthogonales Koordinatensystem, dessen Koordinatenlinien Geraden in konstantem Abstand sind. Die Linien verbinden Punkte mit gleichen Abszissenwerten (x) bzw. Ordinatenwerten (y). Sie schneiden sich in einem rechten Winkel, daher die Bezeichnung orthogonal.

Polarkoordinaten

Auch das Polar-Koordinatensystem (siehe obige Abbildung, rechts) ist ein orthogonales Koordinatensystem. Dessen Koordinatenlinien sind aber konzentrische Kreise in konstanten Abständen, bzw. Radialstrahlen, die sich in einem konstanten Winkelabstand befinden. Kreise und Strahlen schneiden sich ebenfalls in einem rechten Winkel.

Zusammenhang zwischen Kartesischen und Polarkoordinaten

Koordinaten des einen Systems sind ein-eindeutig den Koordinaten des anderen Systems zuordenbar. Dazu gibt es die folgenden Umrechnungen:

Kartesisch in Polar:

\( \begin{array}{l}R = \sqrt { {x^2} + {y^2} } \\ a = \arctan \frac{y}{x}\end{array} \) Gl. 47

Polar in Kartesisch:

\( \begin{array}{l}x = R \cdot \cos \alpha \\ y = R \cdot \sin \alpha \end{array} \) Gl. 48

Transformation von Koordinatensystemen

Koordinatentransformationen sind vor allem in der Bildverarbeitung von großer Bedeutung. Dazu gehören rotieren, skalieren oder auch entzerren eingescannter Images. Die wichtigsten Transformationen sollen hier betrachtet werden.

Translation

Das Koordinatensystem x, y wird um einen positiven Betrag in x-Richtung (y-Richtung) verschoben (siehe Abbildung).

Koordinatensystem Translation Abbildung 6

Der Punkt P(x, y) des einen Koordinatensystems wird in das verschobene Koordinatensystem transformiert:

\( \begin{array}{l} x` = x - \Delta x \\ \\ y` = y - \Delta y \end{array} \) Gl. 49

Die Translation ist eine winkeltreue Koordinatentransformation.

Rotation

Ein Objekt soll um einen bestimmten Winkel Dj gedreht werden. Diese Transformation der Koordinaten des Punktes P(x,y) ist einer gegensinnigen Drehung des Koordinatensystems um den Winkel Dj gleichbedeutend (siehe Abbildung).

Koordinatensystem Rotation Abbildung 7

Die neuen Koordinaten des rotierten Punktes P’(x,y) = P(x´,y´) ergeben sich dann durch die Projektionen der alten Koordinaten x, y auf das neue Koordinatensystem x´, y´ (siehe folgende Abbildung):

Koordinatensystem rotiert Abbildung 8

\( {x`} = x \cdot \cos \left( {\Delta \phi } \right) - y \cdot \sin \left( {\Delta \phi } \right) \) Gl. 50

und analog dazu

\( {y`} = x \cdot \sin \left( {\Delta \phi } \right) + y \cdot \cos \left( {\Delta \phi } \right) \)

Einfacher ist die Ausführung der Rotation in einem Polarkoordinatensystem auszuführen:

\(\alpha ' = \alpha + \Delta \phi \) Gl. 51

und

\(R' = R\)

Die Rotation ist eine abstandstreue Koordinatentransformation.

\(\alpha ' = \alpha + \Delta \phi \) kann durch Anwendung der Transformationsregel \( \begin{array}{l}x = R \cdot \cos \alpha \\ y = R \cdot \sin \alpha \end{array} \) wieder auf die kartesische Darstellung zurückgeführt werden:

\( \begin{array}{l}x' = R \cdot \cos (\alpha + \Delta \phi ) \\ y' = R \cdot \sin (\alpha + \Delta \phi )\end{array} \) Gl. 52

  Schreib uns deine Hinweise